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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2007~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle :

\[(\text{E}) \quad 	y' - 2y = 0.\]

On note $f$ la solution sur $\R$ de l'équation différentielle (E), vérifiant $f(0) = 1$ et $g$ la solution sur $\R$ de l'équation différentielle (E), vérifiant $g(0) =2$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = \text{e}^{2x}$.
		\item Exprimer $g(x)$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item  Sur l'annexe, à rendre avec la copie, figurent les courbes représentatives $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C}'$ des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal \Oij.\\
Soit $\Delta$ la droite d'équation $y =2$. Cette droite coupe respectivement les courbes $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C}'$ aux points A et B. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $\Delta$ et placer les points A et B.
		\item Déterminer le coefficient directeur de la droite $\mathcal{T}$   tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$   et celui de la droite $\mathcal{T}'$  tangente en B à la courbe $\mathcal{C}'$.
		\item Quelle remarque peut-on faire sur les deux tangentes $\mathcal{T}$ et $\mathcal{T}'$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

Une urne contient quatre boules, indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 4. Une expérience aléatoire se déroule de la manière suivante:

On tire au hasard une première boule de l'urne et on note son numéro. Après avoir remis cette boule dans l'urne, on en tire au hasard une seconde dont on note aussi le numéro.

À l'issue de cette expérience, on obtient un couple de nombres (on rappelle que, par exemple, le couple (2~;~3) est différent du couple (3~;~2)).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide d'un arbre ou d'un tableau, établir la liste des 16 couples possibles.
\item   Dans cette question, on donnera les probabilités sous la forme de fractions de dénominateur $16$.
	\begin{enumerate}
		\item On note $A$ l'évènement \og obtenir un couple de nombres pairs \fg.
		
Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $\dfrac{4}{16}$.
\item 	On note $B$ l'évènement \og obtenir un couple de nombres impairs \fg.

Calculer la probabilité de l'évènement $B$.
\item 	On note $C$ l'évènement \og obtenir un couple de nombres de parité différente \fg.

Calculer la probabilité de l'évènement $C$.
\end{enumerate}
\item 	On organise un jeu.

Un joueur mise 2~\euro{} et réalise ensuite l'expérience aléatoire décrite ci-dessus.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si l'évènement $A$ est réalisé, le joueur reçoit 8~\euro{} de l'organisateur du jeu;
\item[$\bullet~$] Si l'évènement $B$ est réalisé, le joueur reçoit 4~\euro{} de l'organisateur du jeu;
\item[$\bullet~$] Si l'évènement $C$ est réalisé, le joueur donne 4~\euro{} à l'organisateur du jeu.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur.

Par exemple, s'il obtient le couple (2~;~2), son gain est 6~\euro{}.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire $X$.
		\item On dit qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance de gain est nulle.

Quelle aurait du être la mise du joueur pour que le jeu soit équitable ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie I : étude de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = \left(2x^2 - 5x +2\right)\text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ (on donne $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 \text{e}^x = 0$).
		
En déduire l'existence d'une asymptote dont on précisera l'équation.
	\end{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = \left(2x^2 - x - 3\right)\text{e}^x$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
		\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$ (préciser la valeur exacte de chaque extremum).
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $f(x) = 2$ possède une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~3].
		\item	Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ du nombre $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et placer son point A d'abscisse $\alpha$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II : calcul d'une intégrale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $F$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[F(x)= \left(2x^2 - 9x+ 11\right)\text{e}^x.\]

Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
\item   Calculer l'intégrale I $= \displaystyle\int_{0,5}^2 f(x)\:\text{d}x$.
\item   Donner une interprétation graphique de cette intégrale.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}ANNEXE à rendre avec la copie

\vspace{2cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(1,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-3,0)(1,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,0)(1,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-3}{0.695}{2.71828 x 2 mul exp}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-3}{0.348}{2.71828 x 2 mul exp 2 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}