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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de   procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 19 juin 2009 \decofourright
\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 

\vspace{0,15cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle
 
\[2y' + y = 0 \quad 	(E),\] 

où l'inconnue $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item On note $f$ la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant $f(0) = 2$. 

Montrer que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) =  2\text{e}^{-\frac{x}{2}}$. 
\item On note $M$ la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2].
 
Calculer $M$. On donnera la valeur exacte de $M$ et son arrondi à $10^{-1}$ près. 
\item La courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] est donnée par l'un des trois graphiques suivants : 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(2.2,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](0,0)(2.2,3.2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=1](0,0)(0,0)(2.2,3.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve(0,2)(1,0.77)(2,0.3)
\end{pspicture*}&\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(2.2,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](0,0)(2.2,3.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0)(2.2,3.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{0}{2}{2 2.71828 x 2 div exp div}
\end{pspicture*}&
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(2.2,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](0,0)(2.2,3.2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(2.2,3.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve(0,2)(1,2.45)(2,3)
\end{pspicture*}\\ \hline
Graphique 1 &Graphique 2&Graphique 3 \\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip 

Quel est le graphique qui donne la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] ? On explicitera le raisonnement qui a conduit au choix de ce graphique.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). 

On considère les points A, B, C d'affixes respectives : 
\[ z_{\text{A}} = 3+ \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}} },\: z_{\text{C}} = 2. \]

\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}},\:z_{\text{B}},\: z_{\text{C}}$. 
\item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et  $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. 
\item Placer les points A, B, C sur une figure. 
\item Déterminer l'affixe du point A$'$ symétrique du point A par rapport au point C. 
\item Montrer que les points A, B, A$'$ et O appartiennent à un même cercle de centre C.

 On précisera le rayon de ce cercle. 
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

Montrer que la droite (AC) est une médiane du triangle OAB. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 9 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = x + \text{e}^{-x}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. 
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~f(x) =  \text{e}^{-x}\left(x\text{e}^x  + 1\right)$. 

En déduire la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. 
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
		\item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur $\R$. 
		\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ (on indiquera les limites). 
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$. 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$. 
	\end{enumerate}
\item  Calcul d'aire 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la  droite d'équation $x = 2$.

Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie $\mathcal{S}$. 
Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis son arrondi à $10^{-2}$ près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}