\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  septembre 2009~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,15cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip
 
Un sac contient cinq jetons : un bleu noté $B_{1}$ deux rouges notés $R_{1}$ et $R_{2}$, deux verts notés $V_{1}$ et $V_{2}$.
 
Lorsqu'on tire un jeton de ce sac, chaque jeton contenu dans le sac a la même probabilité d'être tiré.

Dans tout l'exercice, on s'intéresse à l'expérience aléatoire suivante: on tire un jeton du sac, puis un deuxième jeton sans remettre le premier dans le sac.
 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide d'un tableau ou d'un arbre, les 20 résultats possibles de cette expérience. 
\item On considère les évènements :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ : \og obtenir deux jetons de couleurs différentes \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] $B$ : \og obtenir au moins un jeton rouge \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] $C : A \cap B$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Déterminer la probabilité des évènements $A$, $B$ et $C$.
\end{enumerate}
 
\item On décide que le jeton bleu vaut 3 points, que les jetons rouges valent chacun 2 points et que les jetons verts valent chacun 1 point.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux jetons, associe la somme des points de ces jetons.
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 0,5~cm). On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}.$ 
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :
 
\[z^2 + 4z\sqrt{3} + 16 = 0.\] 
\item  On considère les points A, B, C, D du plan complexe d'affixes respectives :
 
\[z_{\text{A}} = 4,~z_{\text{B}} = 4\left(\sqrt{3}+ 2\right)\text{i},~ z_{\text{C}} = -2\sqrt{3} + 2\text{i},~z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Donner sans justification le module et un argument des nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
\item Déterminer le module et un argument du nombre $z_{\text{C}}$. 
\item Placer les points A, B, C, D sur une figure.
\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Quelle est la nature du triangle ABC ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

Le plan $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 5~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée).

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 
\[f(x) = \left(\text{e}^x  - 3\right)^2. \]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $\mathcal{P}$.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. 
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\mathcal{D}$ dont on donnera une équation. 
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f(x) - 9 = \text{e}^x \left(\text{e}^x - 6\right)$. 
		\item En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate} 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x -3\right)$. 
		\item Déterminer le signe de la fonction $f'$ sur $\R$. Établir le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Tracer, dans le plan $\mathcal{P}$, la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Calcul d'aire}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
\[F(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{2} - 6\text{e}^x + 9x\]
 est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan $\mathcal{P}$ limitée par la droite $\mathcal{D}$, la courbe $\mathcal{C}$, la droite d'équation $x = 0$ et la droite d'équation $x = \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie $\mathcal{S}$ sur le graphique réalisé à la question 4. de la partie A. 
		\item Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie $\mathcal{S}$.
 
Exprimer $\mathcal{A}$ à l'aide d'une intégrale.
		\item  Montrer que $\mathcal{A}$ a pour valeur $\dfrac{9}{2}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}