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\begin{document}
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\rhead{\\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Chimie de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole  juin 2008~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de  procédés industriels}}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

 Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation 

\[z^2 + 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]

On note $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire  est positive et $z_{2}$ la solution dont la partie imaginaire est négative.
\item Déterminer le module et un argument de $z_{1}$ puis de $z_{2}$.
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Oij{}(unité graphique : $2$~cm).

On considère les points A, B et C d'affixes respectives

\[z_{\text{A}}= 2\text{e}^{5\text{i}\frac{\pi}{6}	}\quad 	;\quad 	z_{\text{B}} = 2\text{e}^{-5\text{i}\frac{\pi}{6}}\quad ; \quad 	z_{\text{C}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$  et $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique.
		\item  Placer les points A, B et C sur une figure.
		\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse,
 sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Quelle est la nature du triangle AOC ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Dans cet exercice l'unité de temps est l'heure et l'unité de température est le degré Celsius.

À l'instant $t =  0$, une tarte  sort d'un four, à la température de 220\degres. Elle est alors placée dans une salle à 20~\degres.

On désigne par $f(t)$ la température de la tarte à l'instant $t$. On définit ainsi une fonction $f$ dérivable sur
l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

On suppose que la vitesse $f'(t)$ de refroidissement de la tarte est proportionnelle à la différence entre la température de la tarte et celle de la salle, c'est-à-dire $f(t) - 20$.

On admet donc qu'il existe un nombre réel $\lambda$ tel que, pour tout nombre réel positif $t$,
 
\[f'(t) = \lambda[ f(t) - 20].\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On pose : $y(t) = f(t) - 20.$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $y$ ainsi définie est solution de l'équation différentielle $y' = \lambda y$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[.$ 
		\item Résoudre cette équation différentielle sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire que, pour tout nombre réel positif $t,~f (t) = C\text{e}^{\lambda t} + 20$, où $C$ est un nombre réel. 
		\item En utilisant la valeur de $f(0)$, déterminer $C$.
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Au bout d'un quart d'heure (c'est-à-dire pour $t =\frac{1}{4}$), la température de la tarte est égale à 60~\degres.
		
Montrer que, pour tout nombre réel positif $t,\: f(t) = 200\text{e}^{(-4\ln  5)t} + 20$.
		\item Déterminer la température de la tarte au bout d'une demi-heure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par
 
\[f(x) = \text{e}^{2x} -10 \text{e}^x + 16.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{}(unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 0,5~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x - 8\right)$.
		\item En déduire la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que, pour tout nombre réel $x, ~f'(x) =  2 \text{e}^x \left(\text{e}^x -5\right)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au dixième.

\medskip
		
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-3$	&$-2$	&$-1$	&0&1&2	&2,2\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&7&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$.
		\item Construire la droite $\mathcal{T}$ puis, sur le même graphique, la partie de la courbe correspondant aux valeurs de $x$ appartenant à l'intervalle $[-3~;~2,2]$.
		\item Compléter le graphique précédent en traçant la droite d'équation $y = 16$. On mettra en évidence le point B d'abscisse $\ln 5$, ainsi que la tangente à $\mathcal{C}$ en ce point.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(\ln 2)$. Indiquer, sans justification, le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~\ln 2]$.
		\item On considère le domaine plan $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et  la droite d'équation $x = \ln 2$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$).
		\item Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième par défaut.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}