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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  juin 2006~\decofourright\\[4pt] Chimie de laboratoire et de  procédés industriels}}    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}


\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout nombre complexe $z$, on note 

\[P(z) = z^3	- 4z^2 + 8z - 8.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(2).$

Vérifier que, pour tout nombre complexe $z,~ P(z)$ peut s'écrire sous la forme
$P(z) =  (z - 2)\left(z^2 - 2z + 4\right)$.
\item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 

$z^2 - 2z +4 = 0$.

En déduire les solutions, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, de l'équation $P(z) =0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).

On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
\[a = 2 \qquad 	b = 1 + \text{i}\sqrt{3} \qquad  c = 1 - \text{i}\sqrt{3}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer, sur la copie, les points A, B et C dans le plan complexe.
		\item Démontrer que les points A, B et C sont sur un même cercle $\Gamma$ de centre O.
		\item Construire le cercle $\Gamma$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer un argument du nombre complexe $b$. En déduire une mesure de l'angle $\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}})$. Quelle est la nature du triangle OAB ?
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Au niveau de la mer (altitude 0), la pression atmosphérique est \np{1013} hectopascal.

Dans cet exercice, on admet que la pression atmosphérique diminue de 1,25\,\%  à chaque élévation de 100~m.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $P_{n}$ la pression, exprimée en hectopascal, à l'altitude $100n$, exprimée en mètres. Soit $\left(P_{n}\right)$ la suite numérique des valeurs prises par cette pression atmosphérique. On a alors $P_{0}= \np{1013}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les pressions $P_{1}$ et $P_{2}$, arrondies à l'unité, aux altitudes $100$ et $200$.
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}$.
		\item En déduire la nature de la suite $\left(P_{n}\right)$. Préciser sa raison et son premier terme.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ P_{n} = \np{1013} \times  \np{0,9875}^n$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la pression atmosphérique, arrondie à l'unité, à l'altitude \np{3200}.
\item Calculer à partir de quelle altitude, à $100$ m près, la pression atmosphérique devient inférieure à $600$ hectopascal.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par

\[f(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item En remarquant que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[,~f(x)$ est égal à $\dfrac{1}{x} - \dfrac{\ln x}{x}$, déterminer la limite de la fonction  $f$ en $+ \infty$.

Interpréter graphiquement le résultat.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		
Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$,

\[f'(x) = \dfrac{- 2+\ln x}{x^2}.\]

\item Étudier le signe de $- 2 + \ln x$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

En déduire le signe de $f'$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item On note I le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.

Déterminer les coordonnées du point I.
\item On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1.

Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$.
\item Sur la feuille de papier millimétré, tracer, dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{T}$.

On prendra 1 cm pour unité graphique sur l'axe $\left(\text{O}~ ;~ \vect{\imath}\right)$ et 5~cm pour unité graphique sur l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par
		 
\[g(x) = (\ln  x)^2.\]

On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.

Calculer $g'(x)$.
		\item En déduire une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{\ln x}{x}$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer J $= \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$, où $f$ est la fonction définie dans la partie A.
\item Interpréter graphiquement l'intégrale J.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 