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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole septembre 2006~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle $y''+ 4y = 0$, où $y$ est une fonction deux fois dérivable de la variable réelle $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E).
\item 	Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E), dont la courbe représentative passe par le point A de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{2}~;~- \sqrt{3}\right)$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur $2$.
\item 	Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = 2 \cos \left(2x  + \dfrac{\pi}{6}\right).$
\item 	Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~ ;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation	$\dfrac{1}{2}z^2 + z + 1 =  0$.
		\item  On note $z_{1},\:  z_{2},~ z_{3}$ et $z_{4}$ les nombres complexes définis par :
\[z_{1} = -1+ \text{i},\quad 	z_{2}= \overline{z_{1}},\quad 	z_{3} = - 2 \quad  	\text{et}~ z_{4}= -2z_{1}.\]
Écrire $z_{2}$ et $z_{4}$ sous forme algébrique.
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique: 1 cm).

On désigne par A, B, C et D les points d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2},~ z_{3}$ et $z_{4}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B, C, D dans le repère \Ouv.
		\item  On note I le milieu du segment [CD]. Déterminer l'affixe du point I. 
		\item  Montrer que le triangle ACD est rectangle.
		\item  Préciser le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ACD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip
	
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
 
\[f (x) = \left(3 - x^2\right) \text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthononnal \Oij.

Une partie de la courbe $\mathcal{C}$ est représentée sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.

\medskip

\textbf{Partie I : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item  Étudier la limite de $f$ en $- \infty$. On pourra utiliser le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^n\text{e}^x = 0~;~n \in \N$.
	\end{enumerate}
\item 	On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'$ sur $\R$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item	Déterminer les coordonnées des points A et B, points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie II: Tracé d'une parabole}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y =  6 - 2x^2$.

Vérifier que les points A et B, définies à la question 3 de la partie I, appartiennent à la parabole $\mathcal{P}$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $x$,
\[\left(6- 2x^2\right) - f(x) = \left(3  - x^2\right)\left(2 - \text{e}^x\right).\]
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~ \ln 2\right]$,
		
 \[\left(3- x^2\right)\left(2- \text{e}^x\right) \geqslant 0.\]
		\item 	En déduire que, sur l'intervalle $\left[- \sqrt{3}~;~\ln 2\right]$, la parabole $\mathcal{P}$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item 	Tracer la parabole $\mathcal{P}$ sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie III : Calcul d'aires}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $G$ définie sur $\R$ par
 
\[G(x) = \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^x.\] 

	\begin{enumerate}
		\item  On note $G'$ la fonction dérivée de la fonction $G$. Calculer $G'(x)$. 
		\item  En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item 	On considère le domaine du plan limité par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$, les droites d'équations	respectives $x= -\sqrt{3}$ et $x = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.
		\item 	On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine $\mathcal{D}$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire.
		
Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(3,7)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(-5,-4)(3,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{1.897}{3 x 2 exp sub 2.71828 x exp mul}
\uput[r](2,-3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}