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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{14 septembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 14 septembre 2011 Métropole~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle :
 
\[(\text{E}) :\quad  4 y'' + 25 y = 0,\]
 
dans laquelle $y$ est une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y''$ la fonction dérivée seconde de $y$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer la fonction $f$, solution de (E) vérifiant : $f(0) = \sqrt{2}$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$. 
\item Vérifier que, pour tout $t$ de $\R$, on a : $f(t) = 2\cos \left(\dfrac{5}{2}t - \dfrac{\pi}{4}\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

Le plan complexe est muni du repère orthonormal \Ouv. On prendra pour unité graphique 1~cm. On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
 
\[z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i},\quad  z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}, \quad  z_{\text{C}} = -2\left(1 + \sqrt{3}\right)\text{i}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$. 
\item  Écrire les nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle. Écrire $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. Placer les points A, B et C sur une figure. 
\item  Déterminer la nature du triangle ABC. 
\item  Déterminer l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un rectangle. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f( x) = - \text{e}^{2x} + 6\text{e}^{x} - 4x - 5.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij. On prendra pour unité graphique 5~cm sur l'axe des abscisses et 10~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item Montrer, pour tout $x$ réel, l'égalité : $f(x) = \text{e}^{x}\left(- \text{e}^{x}  + 6 - 4x\text{e}^{-x} - 5\text{e}^{-x}\right)$.

 En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $f$. 
		\item Montrer, pour tout $x$ réel, l'égalité:
		
		\[f'(x) = 2\left(\text{e}^{x} - 1 \right)\left(2 - \text{e}^{x} \right).\] 
		\item Étudier le signe de $f'$. 
		\item Dresser le tableau de variation de $f$. On calculera les valeurs exactes de $f(\ln 2)$ et $f(0)$.
	\end{enumerate}		 
\item Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant. On donnera les résultats arrondis au centième.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 1$ &$- 0,8$ &$- 0,6$&$- 0,4$&$- 0,2$& 0		&0,2 	&0,4 	&0,6 	&0,8	&1\\ \hline 
$f(x)$	&	   &		&		&		&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Représenter la courbe $\mathcal{C}_{f}$. On placera les tangentes horizontales.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\mathcal{D}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = -1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer ce domaine sur la figure. 
\item Montrer l'égalité : $\displaystyle\int_{-1}^0  f(x)\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}^{-2}}{2} - 6\text{e}^{-1}  + \dfrac{5}{2}$. 
\item Exprimer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$. On donnera un arrondi au centième de ce nombre. 
\end{enumerate}
\end{document}