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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{11 septembre 2012}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL 11 septembre 2012 \decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}
    
\vspace{0,4cm}

\begin{center}

Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,4cm}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\emph{On note \emph{i} le nombre complexe de module $1$ et d'argument } $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip

On considère les nombres complexes 

\[z_{1} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad z_{2} = 1 - \text{i}.\] 


\begin{enumerate}
\item Calculer le module et un argument de $z_{1}$ et $z_{2}$. 
\item On donne $Z = \dfrac{z_{1}^2}{z_{2}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le module et un argument de $Z$ et en déduire une écriture trigonométrique de $Z$. 
		\item Donner la forme algébrique de $Z$. 
		\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{19\pi}{12} \right)$ et de $\sin \left(\dfrac{19\pi}{12} \right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient 100 jetons, bleus, verts ou rouges.
 
15 jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons verts que de jetons bleus.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Un joueur tire au hasard un jeton. On considère les évènements suivants : 

$A$ : \og Le jeton tiré est rouge \fg{} ; 

$B$ : \og Le jeton tiré est vert ou bleu \fg.
 
Montrer que la probabilité de $A$ est de $0,4$. 

En déduire la probabilité de $B$. 
\item Un joueur mise 8~\euro, tire un jeton et reçoit :
 
5~\euro{} s'il tire un jeton rouge, 9~\euro{} s'il tire un jeton vert et 10~\euro{} s'il tire un jeton bleu.
 
Le gain du joueur (différence entre sa mise et la somme reçue après tirage) est une variable aléatoire notée $X$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs possibles pour la variable aléatoire $X$ ? 
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		
\emph{On présentera les résultats dans un tableau}. 
		\item Calculer l'espérance du gain d'un joueur.
	\end{enumerate} 
\item On change le montant reçu par le joueur lorsqu'il tire un jeton bleu.
 
Un joueur reçoit $x$~\euro{} s'il tire un jeton bleu et les autres montants sont inchangés.
 
Pour quelle valeur de $x$ l' espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ associée est-elle nulle ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. L'unité graphique est 1~cm.
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f (x) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3x + 7.\]
 
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
 
La courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé \Oij, notée $\mathcal{C}_{f}$, est donnée en annexe.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Tracer la droite $D$ d'équation $y = 3x+ 7$ sur le même graphique que $\mathcal{C}_{f}$. 
		\item Montrer que la droite $D$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de $- \infty$. 
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite D suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout $x$ réel, $f(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 7 + \dfrac{3}{\text{e}^x}+ \dfrac{7}{\text{e}^x}\right)$.
		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \left( 2\text{e}^x - 1\right)\left(\text{e}^x - 3\right)$ . 
		\item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ et déterminer le signe de $f'(x)$. 
		\item Établir le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}		 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f'(x) = 3$. 
		
En déduire l'abscisse du point B de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ où la tangente notée $D'$ est parallèle à la droite $D$. 
		\item Vérifier que le point A de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, d'abscisse $\ln 7$, est un point de la droite $D$. 
		\item Dans le repère \Oij, placer les points A et B et tracer $D'$.
	\end{enumerate} 
\item  On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire exprimée en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la droite $D$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 7$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus. 
		\item Calculer la valeur de l'aire $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(4,15) 
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\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}