% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : François Kriegk
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% version 1 : 2026-07-01
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
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  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
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\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
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\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
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%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
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    pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale)  -- Voie technologique -- Session 2026},
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% Pour scratch (code)
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% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
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  % usage (exemple)
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%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
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%    return n
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% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
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%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
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\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
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%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
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%
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\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{8 septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]Sujet\\[10pt]Voie technologique -- Série STL -- Métropole -- 8 septembre 2026 }}
\end{center}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\section*{Exercice 1 (2 points) : }

On considère une goutte d’huile sphérique de masse $m$, de volume $V$ et possédant
une charge $q < 0$.
Données :
\begin{itemize}
\item Champ de pesanteur $\vect{g} =  g \vect{u_z}$
\item Intensité du champ de pesanteur : $g = 9,8$~m.s$^{-2}$
\end{itemize}

En l'absence de champ électrique, la goutte d’huile est soumise à :
\begin{itemize}
\item Son poids $\vect{P}$ tel que $\vect{P} = m \vect{g}$
\item La poussée d'Archimède exercée par l'air et qui est négligeable dans cette
expérience
\item Une force de frottement visqueux : $\vect{f} = - \alpha \vect{v(t)}$ où $\vect{v(t)} = v(t)\vect{u_z}$ est le vecteur
vitesse instantanée de la goutte de coordonnée $v(t)$  et $\alpha$ une
constante.
\end{itemize}

On note $\vect{a(t)} = a(t)\vect{u_z}$  l'accélération verticale de la goutte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Rappeler la relation entre la coordonnée $a(t)$ du vecteur accélération et la
coordonnée $v(t)$ du vecteur vitesse.
\item En appliquant la seconde loi de Newton à la goutte, établir l’équation différentielle vérifiée par la coordonnée $v(t)$ du vecteur vitesse.

On rappelle que l’effet de la poussée d’Archimède est négligé devant celui des autres forces mises en jeu.
\item {\blue[Mathématiques]} La goutte est lâchée avec une vitesse initiale nulle.

Montrer que la fonction $v$, définie pour tout $t$ positif par

\[v(t) = -1,4 \times 10^{-4} \times \e^{\np{-70000}t} + 1,4 \times  10^{-4}\]

est solution de l’équation différentielle 

\[y' + \np{70000}y = 9,8.\]

\item {\blue[Mathématiques]}  Calculer la limite de $v(t)$ en $+\infty$.

On admet que la vitesse de la goutte est modélisée par la fonction $v$ définie par

\[v(t) = -1,4 \times 10^{-4} \times \e^{\np{-70000}t} + 1,4 \times  10^{-4}\]

\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}
% saut de page si moins de 10 lignes disponibles

\section*{Exercice 3 {\blue [Mathématiques]} (4 points)}

Dans cet exercice, les quatre questions sont indépendantes

Il faut traiter les quatre questions.

\medskip

\textbf{Question 1}

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ appartenant à $\R$ par 

\[f(x) = \e^{0,01x} + 12x - 12\]

Calculer $f(0)$.

\medskip

\textbf{Question 2}

Soit la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[c(x) = \e^{-0,5x}.\]

Déterminer la limite de $g(x)$ en $+\infty$.

\medskip

\textbf{Question 3}

$a$ est un nombre réel strictement positif différent de 1.

On considère :

\[M = \dfrac{\ln \left(a^6\right)}{\ln\left(a^2\right)}\]

En simplifiant l’expression, montrer que $M$ est un nombre entier que l'on précisera.

\medskip

\textbf{Question 4}

Dans un circuit électrique, la tension $u(t)$, exprimée en volts en fonction du temps $t$, exprimé en secondes, est modélisée par :

\[ u(t) = 6 - 6 \times \e^{0,5t}\]

Déterminer le temps $t$nécessaire pour obtenir une tension égale à 3,0 volts. 

Arrondir le résultat à $0,1$~s.
\end{document}