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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés  industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole septembre 2008~\decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} 
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,15cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 

\[z^2 + 6z + 12 = 0.\]
 
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv{} (unité graphique : 1~cm). 

On désigne par A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = -3 + \text{i}\sqrt{3}$ et 

$z_{\text{B}} =  - 3- \text{i}\sqrt{3}$.

Déterminer la forme trigonométrique des nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. Placer les points A et B sur une figure. 
\item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = 2\sqrt{3}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point C sur la figure. 
		\item Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z_{\text{C}}$.
		\item Quelle est la nature du triangle BOC ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Dans un laboratoire de chimie, un stagiaire utilise un liquide dont l'évaporation est importante. 

À l'origine, il y a 75~cl de liquide dans la bouteille. Le stagiaire referme mal cette bouteille et on considère alors que le liquide perd chaque jour 5\,\% de son volume par évaporation.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $u_{n}$ la quantité de liquide, exprimée en cl, présente dans la bouteille au bout de $n$ jours. 

Ainsi, $u_{0} = 75$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
		\item Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$.
		
Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
		 
Vérifier que, pour tout nombre entier $n,{} u_{n} = 75 \times (0,95)^n$. 
		\item Calculer la quantité de liquide restant dans la bouteille au bout de sept jours (on donnera le résultat arrondi au dixième). 
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer le nombre minimum de jours nécessaires pour que la bouteille contienne moins de $25$~cl. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}(2 - x)\text{e}^{x}.\]
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité graphique : 2~cm).
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans ce repère.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  En observant que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = \text{e}^{x} - \dfrac{1}{2} x\text{e}^{x}$, déterminer la limite  
de la fonction $f$ en $- \infty$. 
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = \dfrac{1}{2}(1 - x)\text{e}^{x}$.  
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item Calculer la valeur exacte de $f(1)$. En donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2. 

Montrer que la droite $\mathcal{T}$ a pour équation $y = \dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~\dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x) - f(x) = \dfrac{1}{2}(2 - x)\left(\text{e}^2 - \text{e}^x\right)$. 
		\item Étudier le signe de $\left[\dfrac{1}{2}\text{e}^2 (2 - x) - f(x)\right]$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{T}$.
	\end{enumerate}		 
\item Tracer la droite $\mathcal{T}$ dans le repère \Oij{} puis, sur le même graphique, la partie de la courbe $\mathcal{C}$ correspondant aux valeurs de $x$ appartenant à l'intervalle $[- 4~;~3]$. 

\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par
 
\[g(x) = \dfrac{1}{2}(x - 3)\text{e}^x + \dfrac{1}{2} \text{e}^2 \left(2x - \dfrac{x^2}{2}\right).\]
 
On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$ sur $\R$.
 
On admet que, pour tout nombre réel $x,~ g'(x) = \dfrac{1}{2}(2 - x)\left(\text{e}^2 - \text{e}^x\right)$. 

On note $\mathcal{D}$ le domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{T}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique représentant la droite $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$. 
\item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$. En donner la valeur arrondie au centième. 
\end{enumerate}
\end{document}