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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Physique de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole septembre 2007 \decofourright\\
[4pt]Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$ 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : 

\[z^2 + 2\sqrt{3} z + 4 = 0.\] 

		\item Déterminer le module et un argument de chacune des solutions. 
		\item Donner la forme exponentielle de chacune des solutions.
	\end{enumerate} 
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = -\sqrt{3} + \text{i}$  et $z_{\text{B}} = -\sqrt{3} - \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item On note E le symétrique du point A par rapport à O. Déterminer l'affixe $z_{\text{E}}$ du point E. 
		\item On note D l'image de B par la rotation de centre O d'angle $- \dfrac{2\pi}{3}$. 
		
Déterminer l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D. 
		\item Placer les points A, B, E et D dans le plan complexe.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que les points A, B, E et D sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item En déduire, en justifiant votre réponse, la nature du triangle AED.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle : 
	
\[16y'' + \pi^2 y = 0 \]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y''$ sa dérivée seconde.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Démontrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$ est une solution de (E) 
 vérifiant les deux conditions : 
\[f(1) = \sqrt{2}\quad  \text{et}  \quad f'(0) = 0.\]
 
\item  Résoudre, dans l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$, l'équation $f(x) = \sqrt{2}$. 
\item  Calculer la valeur efficace de $f$ sur [0~;~2], c'est-à-dire le réel positif I défini par : 

\[\text{I}^2 = \dfrac{1}{2}\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x.\] 
 
(On pourra utiliser la formule : $\cos ^2 a = \dfrac{1}{2}(1 + \cos 2a)$) 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : 

\[g(x) = (x+1)\text{e}^x + 2.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $g$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
		\item  Déterminer la limite de $g$ en $- \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on précisera une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On nomme $g'$ la dérivée de $g$, calculer $g'(x)$. 
		\item  Étudier le signe de la dérivée $g'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $g$. 
	\end{enumerate}
\item Montrer que $g(x) > 0$ pour tout réel $x$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Calcul d'aire}

\medskip
 
Soit $a$ et $b$ deux réels, on désigne par $G$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[G(x) = (ax + b)\text{e}^x + 2x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $G$ soit une primitive de la fonction $g$. 
\item La représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $g$ est donnée sur la feuille jointe en annexe qui est à rendre avec la copie. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{E}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$, les deux axes de coordonnées et la droite d'équation $x = - 1$. 
		\item  Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{E}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Étude d'une fonction \boldmath $f$ \unboldmath et représentation graphique}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $]-1~;~+\infty[$ par
 
\[ f(x) = \text{e}^x+ 2 \ln (x + 1).\]
  
On note $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. 
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $-1$. En déduire que la courbe $\Gamma$ admet une asymptote $\mathcal{D}$  dont on précisera une équation.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle 
		
$]-1~;~+\infty[, \: \:f'(x) = \dfrac{(x + 1)\text{e}^x + 2}{x + 1}$.

		\item  En utilisant les résultats de la partie A, étudier le signe de la dérivée $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $0$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle  $\left[- \dfrac{9}{10}~;~0\right]$.
		\item Donner la valeur arrondie à $0,1$~près de $\alpha$. 
\item Tracer les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$, puis la courbe $\Gamma$ sur une feuille de papier millimétré dans le repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE À REMETTRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.333cm}
\begin{pspicture}(-6,-0.5)(3,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-6,0)(3,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,0)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](3,0){$x$} \uput[l](0,6){$y$}\uput[d](-4,1.9){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-6}{0.8}{2.71828 x exp x 1 add mul 2 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}