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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 20 juin 2012 \decofourright\\[4pt]Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.
 
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\textbf{I.} On considère l'équation : $z^2 - 4\sqrt{2}z + 16 = 0$.

\smallskip
 
Résoudre cette équation dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes.

\medskip
 
\textbf{II.} On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = 4,\quad  z_{\text{B}} = 2\sqrt{2} + 2\text{i}\sqrt{2},\quad  z_{\text{C}} = 2 + 2\text{i}\quad \text{et}\:\: z_{\text{D}} =1 - 3\text{i}.\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument des nombres $z_{\text{A}},  z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ puis donner leur  expression sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta},\: r > 0.$ 
		\item Placer les points A, B, C et D dans le repère.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que les points O, B et C sont alignés. 
\item Quelle est la nature du triangle ACD ? Justifier la réponse. 
\item Déterminer l'affixe du point E tel que ACDE soit un parallélogramme. Placer E. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que B est l'image de A par une rotation $r$ de centre O dont on déterminera l'angle. 
		\item Calculer l'affixe du point B$'$, image de B par $r$ (on donnera le résultat sous forme algébrique). Placer le point B$'$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise commercialise un appareil électrique. Un client qui achète cet appareil peut l'emporter immédiatement, ou se faire livrer à domicile.

\medskip
 
Dans le cas de la livraison, deux services sont proposés aux clients  : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item livraison simple 
\item livraison avec mise en service
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le prix de l'appareil en magasin est de 120\:\euro.


En cas de livraison, les tarifs des services supplémentaires sont les suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{3cm}X}  
--- frais de livraison :& 15 euros pour une livraison à une distance inférieure ou égale à 50 km \\
& 25 euros pour une livraison à une distance supérieure à 50 km\\  
--- frais de mise en service :&20 euros\\
\end{tabularx}

\medskip

Une étude a été réalisée sur un lot de \np{1000} appareils vendus. Le tableau suivant indique la répartition des effectifs, en fonction des choix des clients et des distances de livraison : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Emporté&Livré de 0 à 50 km &Livré à plus de 50 km& TOTAL\\ \hline
Sans mise en service  &550&100& 50& 700\\ \hline
Avec mise en service && 200 &100 &300\\ \hline 
&550 &300 &150& 1 000\\ \hline  
\end{tabularx} 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p_{1}$ qu'un appareil choisi au hasard dans ce lot, ait été livré avec mise en service. 
		\item Calculer la probabilité $p_{2}$ qu'un appareil choisi au hasard dans ce lot, ait été livré.
	\end{enumerate} 
\item Soit $F$ la variable aléatoire égale au montant facturé pour un appareil. 

	\begin{enumerate}
		\item Donner les cinq valeurs prises par la variable aléatoire $F$. (Par exemple, pour un appareil livré à moins de 50 km avec mise en service, $F$ prend la valeur 155). 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $F$. 
		\item Calculer son espérance mathématique. 
		\item Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Probl\`eme}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : utilisation d'un graphique}

\medskip

Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_{g}$ est la représentation graphique d'une 
fonction $g$, définie sur $]0~;~- \infty[$, que l'on se propose de déterminer. La droite $d$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse 1 et l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_{g}$. 

\medskip

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7,6)
\psline[linewidth=1.25pt](0,2)(7,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(7,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](3.75,2){$d$}\uput[d](5.5,4.7){$\mathcal{C}_{g}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{6.73}{x 1 add x ln sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, en utilisant le graphique: 
	\begin{enumerate}
		\item le minimum de la fonction $g$ sur $]0~;~ +\infty[$ et la valeur en laquelle il est atteint. 
		\item le signe de la fonction $g$ sur $]0~;~ +\infty[$. 
		\item la limite de $g$ en $0$.
	\end{enumerate} 
\item  Expliquer pourquoi $g^{\prime}(1) = 0$.
 
On admet que la fonction $g$ a pour expression : $g(x) = a x + b - \ln x$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on souhaite déterminer.
 
En utilisant les résultats des questions 1. a. et 2. déterminer les valeurs de $a$ et $b$ et en déduire que : 

\[g(x) = x + 1 - \ln x.\]

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : 

\[f(x) = \ln x + \dfrac{\ln x}{x}.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item En remarquant que $f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) \ln x$, déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
		 
Interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ et vérifier que, pour tout $x$ de $]0~;~ +\infty[$ : 

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.\]

		\item  Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de $]0~;~ +\infty[$ : 

\[f(x)= \dfrac{(x+1)\ln x}{x}\]

		\item En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1. 
\item Tracer la droite $T$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère orthonormé \Oij{} sur une feuille de papier millimétré.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : détermination d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On appelle $\mathcal{A}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$.
 
Hachurer $\mathcal{A}$ sur le graphique précédent. 
\item On considère la fonction $F$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par 

\[F(x) = x \ln x - x + \dfrac{1}{2} (\ln x)^2.\]
 
Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. 
\item Déterminer la valeur de l'aire de la partie $\mathcal{A}$ du plan, exprimée en unités d'aire, 
puis en cm$^2$ ? 
\end{enumerate}
\end{document}