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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 21 juin 2011~\decofourright\\[4pt]
Physique de laboratoire et de procédé industriels }}\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} direct d'unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip
 
On considère le polynôme $P$ défini pour tout nombre complexe $z$ par : 

\[P(z) = z^3 - z^2 + 2.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $-1$ est une racine du polynôme $P$. 
\item Déterminer les réels $a,\,b$ et $c$ tels que : $P(z) = (z + 1)\left(az^2 + bz + c\right)$. 
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
On appelle A, B, C et D les points d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = - 1 \quad ; \quad z_{\text{B}} = 1 + \text{i} \quad;\quad z_{\text{C}} = 1 - \text{i} \quad\text{et}\quad z_{\text{D}} = 1 - 4\text{i}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. 
		\item Écrire $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un réel strictement positif et $\theta$ est un réel compris entre $- \pi$ et $\pi$. 
		\item Montrer que le point B est l'image du point C par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle ABD est rectangle en A. 
		\item En déduire l'affixe du centre du cercle circonscrit au triangle ABD. 
		\item Déterminer l'affixe du point E tel que le quadrilatère ABED soit un rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip 

On estime qu'une batterie de téléphone portable perd, à chaque charge, 0,2\,\% de sa capacité. La capacité initiale de la batterie, notée $C_{0}$, est de 800~mAh (milliampères-heure). Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la capacité restante après la $n$-ième charge.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $C_{1},\: C_{2}$ et $C_{3}$ arrondies à l'unité près. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n,\, C_{n+1} = 0,998 C_{n}$. 
		\item En déduire la nature de la suite $\left(C_{n}\right)$. On donnera son premier terme et sa raison.
	\end{enumerate} 
\item Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Calculer la valeur arrondie à l'unité près de la capacité restante de la batterie après 100 charges. 
\item On considère que la batterie est hors d'usage lorsque sa capacité est inférieure à 10~mAh.
 
Déterminer à partir de combien de charges la batterie est hors d'usage. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\emph{La deuxième partie peut être traitée indépendamment de la première partie.}

\medskip
 
\textbf{Première partie : résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
Dans cette partie, on se propose de déterminer une solution particulière de l'équation différentielle
 
\[(\text{E}) :\quad  y' + y = 2x - \dfrac{3}{2}\]
 
où $y$ représente une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\R$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right) : \quad  y' + y = 0$. 
7 
\item Vérifier que la fonction $u$ définie sur $\R$ par : $u(x) = 2x - \dfrac{7}{2}$ est une solution de l'équation différentielle (E). 
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : $h(x) = C\text{e}^{-x} + u(x)$ où $C$ est un réel quelconque et $u$ la fonction définie à la question 2. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $h$ est solution de l'équation (E). 
		\item Déterminer le nombre réel $C$ tel que $h(0) = - \dfrac{1}{2}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie : étude de la fonction}\,\boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 3\text{e}^{-x} + 2x - \dfrac{7}{2}\]

et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Justifier que pour tout nombre réel $x,\, f(x) = \text{e}^{-x}\left(2x\text{e}^{x} - \dfrac{7}{2}\text{e}^{x} + 3\right)$, puis en déduire la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x - \dfrac{7}{2}$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$. Préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{T}$.
	\end{enumerate} 
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. 
\item Tracer les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$, puis la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie : calcul d'une aire}

\medskip
 
On appelle $\mathcal{E}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 4$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation de l'ordre de grandeur en cm$^2$ de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ en calculant l'aire d'un trapèze \footnote{On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule $\dfrac{B + b}{2} \times h$, où $B,\, b$ et $h$ sont les longueurs respectives de la grande base, de la petite base et de la hauteur.} que l'on précisera. 
\item Calculer la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ en unités d'aire. Donner sa valeur arrondie en cm$^2$ à $0,01$ cm$^2$ près. 
 \end{enumerate}
\end{document}