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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{13  septembre 2011}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 13 septembre 2011~\decofourright\\[4pt] Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

On note i le complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation suivante : 

\[z^2 - 4z\sqrt{3} + 16 = 0.\]
 
Les solutions seront données sous forme algébrique. 
\item On considère les points A, B et C d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} + 2\text{i},\quad  z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i},\quad z_{\text{C}} = 6\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les formes exponentielles des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ c'est-à-dire leur écriture sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $r$ nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. 
		\item Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z_{\text{C}}$. 
		\item Construire avec précision les points A, B et C. 
		\item Calculer les longueurs OA, OC et AC. En déduire la nature du triangle OAC.
	\end{enumerate} 
\item On considère la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. On définit le point D comme l'image 
du point A par cette rotation. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la forme algébrique de l'affixe de D notée $z_{\text{D}}$. 
		\item À l'aide de la question 2. a., déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{D}}$. 
		\item Déduire de ce qui précède les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et $\sin  \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) suivante :

\[ y^{\prime\prime} + 4y = 0,\]

où $y$ est une fonction définie sur $\R$ et $y^{\prime\prime}$ sa dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la solution générale de (E). 
\item Déterminer la solution particulière, notée $f$, de (E) telle que 

\[f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 2\sqrt{3}\quad \text{et}\: f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = - 4,\: \text{où}\: f'\: \text{est la dérivée de la fonction}\: f.\] 

\item Vérifier que $f$ peut s'écrire sous la forme : $f(t) = 4 \cos \left(2t - \dfrac{\pi}{6}\right)$. 
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 9 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip
 
\textbf{Partie A\quad   Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = 1 - 2x - 2 \ln x.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la fonction $g^{\prime}$, dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur cet intervalle (les limites ne sont pas demandées). 
\item En déduire que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}~;~1\right[$.
 
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{- 2}$. 
\item En déduire le signe de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B\quad  Étude de la fonction} \boldmath$f$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{2x + \ln x}{x^2} + 3 \]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. 
		\item Vérifier que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2} + \dfrac{2}{x} + 3$.
		 
En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Interpréter graphiquement les résultats des limites précédentes.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et montrer que pour tout $x$ strictement positif : $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}$.
\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. 
\item Représenter la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{D}$ dans le repère orthonormé \Oij. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie C\quad   Calcul d'aire }

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $\mathcal{E}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. Hachurer le domaine $\mathcal{E}$ sur le graphique. 
\item Montrer que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $H(x) = 	\dfrac{- \ln x - 1}{x}$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{\ln x}{x^2}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
\item On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [1~;~e]. 
 
Montrer que la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{E}$ est $3\text{e} - \dfrac{2}{\text{e}}$ unités d'aire. 
\end{enumerate}
\end{document}