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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2008}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 17 juin 2008 \decofourright\\
[4pt]Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,5cm}

Calculatrice et formulaires autorisés \hfill 3 heures

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. 

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

On note i le complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} (unité 1~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes les équations suivantes (les solutions seront données sous forme algébrique) :
\[\begin{array}{p{2.5cm} l}	
(1)&	z^2  - 10z + 50 = 0\\
(2)&	z + 2 =\text{i}z\sqrt{3} - 6\\
\end{array}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit A le point d'affixe  $z_{\text{A}} = 5 - 5\text{i}$.
		
Déterminer le module, un argument et la notation exponentielle de $z_{\text{A}}$.
		\item Soit B le point d'affixe $z_{\text{B}},~z_{\text{B}}$ étant le nombre complexe conjugué de $z_{\text{A}}$.
		
Déterminer la notation exponentielle de $z_{\text{B}}$, puis celle de
	$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}.$
	
En déduire que B est l'image de A par une rotation de centre O dont on précisera l'angle. Construire le triangle OAB dans le repère donné et indiquer sa nature.
		\item Soit C le point d'affixe  $z_{\text{C}}= - 2 -2\text{i}\sqrt{3}$.
		
Montrer que l'image de C par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ est le point D, d'affixe $z_{\text{D}} = -2\sqrt{3} + 2\text{i}$.

Calculer la distance OC et construire avec précision le triangle OCD.
		\item  Soit K le milieu de [AC].
		
Calculer les affixes des vecteurs $\vect{\text{OK}}$ et $\vect{\text{DB}}$ puis montrer que les droites (DB) et (OK) sont perpendiculaires.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle du second ordre :

\[y'' +\dfrac{9\pi^2}{16} = 0\qquad 	(\text{E})\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la solution générale de (E).
\item  Déterminer la solution particulière, notée $f$, de (E) telle que $f(4) = -\sqrt{3}$	et $f'\left(\dfrac{4}{3} \right)  = - \dfrac{3\pi}{4}$.
\item  Vérifier que $f$ s'écrit sous la forme : $f(x) = 2\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item 	Montrer que $f$ est périodique de période $\dfrac{8}{3}.$
\item 	Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{8}{3}\right].$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip
 	
Les trois parties du problème peuvent être résolues indépendamment.
Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

$\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On note E le point de coordonnées $(\ln 2,~ \ln 2)$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels, on désigne par $g$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[g(x) = ax + b - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de $g$.

\item Déterminer $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de $g$ passe par le point E et admette en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se propose d'étudier la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}.\]

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ on a :

\[f(x) = x - 2 + \dfrac{8}{\text{e}^x + 2}\]

\item En utilisant l'une des formes de $f(x)$, calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.\\
Montrer que les droites $\mathcal{D}_{1}$ d'équation $y = x - 2$ et $\mathcal{D}_{2}$ d'équation $y = x + 2$ sont 	asymptotes à la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$.

\item Montrer que la dérivée  de $f$ est $f'(x) = \left(\dfrac{\text{e}^x - 2}{\text{e}^x + 2} \right)^2$.

\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.

\item Construire la courbe $\mathcal{C}$, sa tangente en E et ses asymptotes.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}$.

\item En déduire une primitive de $f$.

\item Déterminer en cm$^2$, en valeur exacte puis au mm$^2$ près, l'aire de la partie du plan comprise
	entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
\end{enumerate}
\end{document}