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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et deprocédés industriels}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2007 \decofourright\\[4pt]
Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,5cm}

Calculatrice autorisée \hfill 4 heures 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : $1$~cm).

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $P(z) =  z^3 +4z^2\sqrt{3} + 24z +24\sqrt{3}$ où $z$ est une variable complexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que $P(z) = \left(z+2\sqrt{3}\right)\left(z^2+2z\sqrt{3}+ 12\right)$.
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation \\$z^2+2z\sqrt{3}+ 12 = 0$.
\item  En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C d'affixes respectives  \[z_{\text{A}} =  -2\sqrt{3},~ z_{\text{B}} = - \sqrt{3} 	+ 3\text{i},~ z_{\text{C}} = - \sqrt{3} -3\text{i}.\]
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}},~ z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
		\item  Donner l'écriture exponentielle de $z_{\text{A}},~ z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
	\end{enumerate}
\item 	$R$ est la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner l'écriture complexe de $R$.
		\item  Montrer que l'image de A par $R$ est B. 
		\item  Calculer, sous forme algébrique, l'affixe de D, image de B par $R$.
	\end{enumerate}
\item 	Soit $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre [CD].
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que O est le centre de $\mathcal{C}$.
		\item  Montrer que les points A et B appartiennent à $\mathcal{C}$.
		\item  En déduire la nature des triangles CAD et CBD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

La tension $u$ aux bornes d'un circuit électrique vérifie l'équation différentielle (E):

\[u'' + \nombre{3600}\pi^2  u =  0\]
	
dans laquelle $u''$ désigne la dérivée seconde de la tension par rapport au temps $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E).
\item 	Déterminer la solution particulière $f$ de (E) telle que :

\[f\left(\dfrac{1}{180}\right) = 0~~\text{ et}~~f'(0) = - \dfrac{\pi}{2}\]
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout réel $t$, on a :
\[f(t) = \dfrac{1}{60}\cos \left(60\pi t + \dfrac{\pi}{6} \right)\]
		\item  Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $\left[0 ~;~\dfrac{1}{90}\right]$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

 \[g(x) = x^2 - 8\ln x + 8.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g'(x)$.
		\item  Étudier le signe de $g'(x)$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $g$ (l'étude des limites de $g$ n'est pas demandée).
	\end{enumerate}
\item  Donner une valeur approchée de $g(2)$ à $10^{-2}$ près, en déduire le signe de $g(x)$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B : étude et représentation graphique d'une fonction}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij, unité graphique 1~cm.
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par
 
 \[f(x) = \dfrac{x^2 - 3 x + 8\ln x}{x}\]
 
et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$ on a : $f(x) = x - 3 + \dfrac{8\ln x}{x}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les limites en $0$ et en $+ \infty$ de $f(x)$.
		\item  En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$, et en donner une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la dérivée $f'$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item  Vérifier que pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$ on a : $f'(x)= \dfrac{g(x)}{x^2}$ et en déduire le signe de $f'(x)$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x - 3$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $\mathcal{D}$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
		\item  Calculer les coordonnées du point d'intersection A de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{D}$.
		\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de  $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item  Tracer dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
 
 \medskip
 
\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
\[h(x) =  \dfrac{\ln x}{x}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier qu'une primitive de $h$ sur $]0~;~+ \infty[$ est la fonction $H$ définie par $H(x)  = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2$.
		\item  En déduire une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 5$.
		\item  Calculer en cm$^2$ l'aire de la partie du plan hachurée ; on donnera la valeur exacte et une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}