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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2009}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 19 juin 2009~\decofourright\\[4pt]Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Soit l'équation différentielle
 
\[(E) : \quad  y' + y = 2x,\]

 où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable $x$ et $y'$ sa dérivée.
  
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle $(H) : \quad  y' + y = 0$. 
\item  Déterminer les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie dans $\R$ par $g(x) = a x + b$ soit solution de l'équation $(E)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Le nombre $k$ désignant une constante réelle, on considère la fonction définie sur $\R$ par :
		
\[ f(x) = k\text{e}^{-x}  +2x - 2. \]
		
Vérifier que la fonction $f$ est solution de l'équation $(E)$. 
		\item Déterminer le réel $k$ pour que $f(0) = 0$. 
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $k = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur moyenne $m$ de la fonction $f$sur l'intervalle [0~;~2]. 
	\item Donner une valeur approchée de $m$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} direct. L'unité graphique est égale à 4~cm.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\C$ l'équation: 
\[z^2 -2z\sqrt{3} + 4 = 0.\] 
	\item  On désigne par $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions, $z_{1}$ étant celle dont la partie imaginaire est négative. 
	
Écrire $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme exponentielle.
	\end{enumerate} 
\item Soit A le point du plan d'affixe $z_{1}$ et B celui d'affixe $z_{2}$. 

Placer les points A et B dans le plan complexe et démontrer que le triangle OAB est équilatéral. 

\item  Soit E le point d'affixe $z_{3} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et F d'affixe $z_{4} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
	\begin{enumerate}
		\item  F est l'image de E par une transformation du plan. 
		
Donner la nature de cette transformation et ses éléments caractéristiques.
	\item  Montrer que F est le milieu du segment [OB].
 	\end{enumerate} 
\item Soit D l'image de E par la translation de vecteur $2\vect{v}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points D, E et F sur la figure. 
	\item Déterminer l'affixe de D. 
	\item Montrer que OD = DB. 
	\item Qu'en déduire pour la droite (AD) ?
	
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$ par 
\[g(x)  =  x - 5 + 5 \ln x.\]
 On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ pour $x$ dans J'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$. Étudier le signe de $g'(x)$ et donner le sens de variation de la fonction $g$ (\emph{l'étude des limites n'est pas demandée}). 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une solution unique dans l'intervalle [1~;~ 5]. On note $\alpha$ cette solution. 
		\item  Déterminer la valeur décimale arrondie au centième de $\alpha$. 
	\end{enumerate}		
\item Étudier le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~ ;~ +\infty[$. 

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~ ;~ +\infty[$ par 
\[f(x) = \dfrac{(x - 5)\ln x}{x}.\]
 
On peut donc aussi écrire $f(x) = \dfrac{1}{x}(x - 5) \ln x$  
ou encore  $f(x) = \ln x- \dfrac{5\ln x}{x}$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $0$.
		 
Interpréter graphiquement ce résultat.
	\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. 
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$. 
	\item  Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$  et en déduire le signe de $f'(x)$.
	\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit A le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $1$.
		 
Donner une équation de la droite $\mathcal{D}$ tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$.
 
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{D}$ et de l'axe des ordonnées. 
	\item  Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $F$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[F(x)= x \ln x - x - \dfrac{5}{2} (\ln x)^2.\]
 
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer l'aire du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. 
	\item Déterminer graphiquement une valeur approchée au cm$^2$ de l'aire de ce domaine. 
	\item Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de ce domaine. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}