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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 18 juin 2010~\decofourright\\[4pt]
Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} direct. L'unité graphique est égale à 1~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : 

\[z^2 - 4z + 16 = 0.\]
 
\item On considère les points du plan A et B d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et} \quad  	z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}.\]
 
Déterminer le module et un argument des nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit le point C d'affixe $z_{\text{C}} = -2\sqrt{3} - 2\text{i}$.
		 
Montrer que les points A, B, C appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item  Construire le cercle $\mathcal{C}$ et les points A, B, C. (On laissera apparaître les traits de construction)
	\end{enumerate} 
\item Soit le point D d'affixe $z_{\text{D}} = 4\text{i}$. Montrer que le point D a pour image le point C par la 
rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. 
\item Montrer que le point E, image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{OB}}$, appartient au cercle $\mathcal{C}$. Placer le point E sur le graphique.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip 
 
\emph{Dans cet exercice toutes les probabilités seront données sous forme de fraction.}

\medskip

Une urne contient des boules de couleur numérotées.
 
\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Une boule blanche numérotée \ding{'300}, que l'on notera B1, 
\item[$\bullet~$] Deux boules rouges numérotées \ding{'301} et \ding{'302}, que l'on notera R2 et R3 
\item[$\bullet~$] Trois boules vertes numérotées \ding{'300}, \ding{'301} et \ding{'302}, que l'on notera V1, V2 et V3.  
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les boules sont indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On extrait une boule de l'urne, puis une deuxième, sans avoir remis la première dans l'urne. 

On appelle résultat un couple dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage, et le second celle obtenue au second tirage.
 
Par exemple (R2~;~V3) est un résultat ; il signifie que la première boule est rouge numérotée \ding{'301} et que la deuxième boule est verte numérotée \ding{'302}.
 
Pour répondre aux questions posées, on pourra s'aider d'un arbre ou d'un tableau. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de résultats possibles. 
		\item On admet que tous les tirages sont équiprobables. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[]	$A$ : \og Les deux boules sont de la même couleur.\fg 
\item[] $B$ : \og Le produit des numéros inscrits sur les boules est 6. \fg
\item[] $C$ : \og Il y a au moins une boule blanche. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\end{enumerate}

\item Un jeu consiste à tirer 2 boules de l'urne, selon la méthode décrite dans la question 1.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque résultat, le produit des numéros inscrits sur les deux boules.
 
Exemple : on associe au tirage (B1 ; V2) le nombre 2 car $1 \times 2 = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire $X$. 
		\item Montrer que la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne la valeur 9 est égale à $\dfrac{1}{15}$. 
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ sous forme de tableau. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip 

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip 
 
Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = x^2 + 3 - 2\ln x.\]
 
On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
\begin{enumerate}
\item À l'aide du tableau de signes de la fonction $g'$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, indiquer les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ : 

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6.5,2)
\psframe(6.5,2) \psline(1.5,0)(1.5,2)\psline[doubleline=true](1.7,0)(1.7,1)\psline(0,1)(6.5,1)
\uput[u](0.75,1.2){$x$} \uput[u](1.7,1.2){$0$} \uput[u](4,1.2){$1$} \uput[u](6.2,1.2){$+ \infty$}
\rput(0.75,0.5){$g'(x)$}\rput(2.75,0.5){$-$} \rput(4,0.5){0} \rput(5.25,0.5){$+$}  
\end{pspicture}
\end{center}

 
\item Calculer $g(1)$ puis en déduire le signe de $g(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij, unité graphique 2~cm.

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
	1 	1 lnx 
\[f(x) = \dfrac{1}{2}x + 1 - \dfrac{1}{2x} + \dfrac{\ln x}{x}.\] 

et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le repère \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Interpréter graphiquement le résultat.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
 	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par :
		
\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}.\] 

En déduire le signe de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif. 		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ une solution unique notée $\alpha$. 
		\item Donner, en justifiant, un encadrement d'amplitude $0,01$ du nombre réel $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}x + 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$. 
		\item  Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe la courbe $\mathcal{C}$ en un point B d'abscisse $\text{e}^{\frac{1}{2}}$. 
		\item  Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}  
\item Tracer dans le repère \Oij{} (unité graphique 2~cm) les droites $T$ et 	$\mathcal{D}$, ainsi que la courbe $\mathcal{C}$.

\end{enumerate}

\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le graphique la partie $E$ du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = \text{e}^{\frac{1}{2}}$ et $x = \text{e}$. 
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $H$ définie par $H(x) = \dfrac{1}{2} (\ln x)^2$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln x}{x}$. 
		\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
		\item Montrer que la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan hachurée $E$ est, en unités d'aire,
 
\[\mathcal{A} = \dfrac{2\text{e}^2 + 6\text{e} - 8\text{e}^{\frac{1}{2}} + 1}{8}.\]

En déduire une valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}