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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{14  septembre 2010}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 14 septembre 2010~\decofourright\\[4pt] Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
\vspace{0,25cm}

\begin{center}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique 2~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :

\[z^2 + 2z\sqrt{6} + 8 = 0.  \]
 
\item  On considère les points A, B, C d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = - \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{2}\quad ; \quad  	z_{\text{B}} = - z_{\text{A}}\quad  \text{et} \quad  z_{\text{C}} = 2 - 2\text{i}. \]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$· 
		\item En déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Déterminer la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les nombres complexes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $r > 0$. 
		\item Soit $\mathcal{R}$ la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{12}$. Quelle est l'image du point B par la 
rotation $\mathcal{R}$ ? Justifier la réponse.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

On note $y$ une fonction de la variable $x$, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, et $y''$ sa dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E) : 

\[\dfrac{1}{4}y'' +y = 0.\]
 
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ solution de l'équation (E), qui vérifie les  conditions suivantes :
 
\[f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \quad  \text{et} \quad  f'(0) = \sqrt{3}\]
 
Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = - \dfrac{3}{2} \cos (2x) + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin (2x)$. 
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) = -\sqrt{3} \cos \left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$· 
\item Calculer la valeur moyenne $m$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$. 
\end{enumerate}



\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Probl\`eme}  \hfill 11 points}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par :

\[f(x) = x - 1 - 2\text{e}^{-2x} + 5\text{e}^{-x}.  \]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij, (unité graphique : 2~cm).

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item En remarquant que, pour tout nombre réel $x,~f(x) = \text{e}^{-x}\left(-2\text{e}^{-x} + 5 + x\text{e}^{x} - \text{e}^{x}\right)$, déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item Soit la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
		\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
 	\end{enumerate} 
\item Montrer que $f(\ln 4) = \dfrac{1}{8} + \ln 4$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
 
Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = 	\dfrac{\left(\text{e}^{x} - 4\right)\left(\text{e}^{x} - 1\right)}{\text{e}^{2x}}$. 
		\item  Déterminer le signe de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $[-1~;~0]$.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}		 
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal \Oij, (unité graphique : 2~cm).

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip	 

\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
\item Hachurer sur le graphique la partie $E$ du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 4$. 
\item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie $E$ du plan en unités d'aire. En déduire la valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$. 
\end{enumerate}
\end{document}