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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STL  Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2006 \decofourright\\[4pt]Physique de laboratoire et de procédés industriels}}
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient  : 4

\vspace{0,25cm}

Le sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher.

Sur chacune d'elles est inscrit un nombre comme l'indique le tableau ci-dessous :

\[ \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{Nombre inscrit}	&1		&2		&5	&10\\ \hline
\text{Nombre de boules}	&4		&3		&2	&1\\ \hline
\end{tabularx}\]

Un joueur mise 4 euros, tire une boule au hasard et reçoit le montant (en euros) inscrit sur la boule.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le joueur effectue un tirage.

On appelle $p_{1}$ la probabilité pour qu'il perde (c'est à dire qu'il reçoive moins de 4 euros)	et $p_{2}$ la probabilité pour qu'il gagne (c'est à dire qu'il reçoive plus de 4 euros).

Calculer $p_{1}$ et$p_{2}$.
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le \og gain \fg{} du joueur (positif s'il gagne, négatif s'il perd),
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ?
		\item Présenter la loi de probabilité de $X$ dans un tableau.
		\item Calculer son espérance mathématique E($X$).
	\end{enumerate}
\item Un jeu est équitable si et seulement si E($X) =  0$.\\
On décide de changer le nombre inscrit sur une seule boule portant le nombre $1$.

Quel nombre doit-on y inscrire pour que le jeu soit équitable?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}	
	
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip
	
Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal \Ouv. (unité graphique 1 cm).

On considère un polynôme $P$ défini par $P(z) = z^3 - 2z^2 +16$ où $z$ est une variable complexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que $P(z) = (z + 2)\left(az^2 + bz + c\right)$. 
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item On considère les points A et B d'affixes respectives :
\[z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i}\quad \text{et} \quad  z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Écrire sous forme trigonométrique puis sous forme exponentielle les nombres $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item Placer dans le plan $\mathcal{P}$ les points A et B.
		\item Quelle est la nature du triangle OAB ?
	\end{enumerate}
\item On considère la transformation T du plan $\mathcal{P}$ dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que

\[ z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}z.\]
	\begin{enumerate}
		\item Caractériser géométriquement la transformation T.
		\item Déterminer sous forme trigonométrique et sous forme algébrique l'affixe du point A$'$ image de A par la transformation T.
	\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}	
	
\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}	
	
\medskip

On considère la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = (x + 1)^2 \text{e}^{-x}\]

dans le plan rapporté a un repère orthonormal \Oij (unité graphique 2cm).
	
\bigskip
	
\textbf{PARTIE A}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
		\item Montrer que si $x$ est différent de zéro on a : $f(x) =  x^2 \text{e}^{-x}\left(1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)$.\\
En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^{-x}.$
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à  la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item Étude de la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{T}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout réel $x$ on a :

\[f(x) - (x + 1) =  (x+1)\text{e}^{-x}\cdot g(x)\quad  \text{avec} \quad  g(x) = x + 1 - \text{e}^x.\]
	
		\item Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. 
		\item En déduire le signe de $g(x)$, puis de $f(x) - (x + 1)$. 
		\item En déduire la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{T}$.
	\end{enumerate}
\item Après avoir reproduit et complété le tableau de valeurs ci-dessous,
 tracer $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.\\
Donner les valeurs de $f(x)$ arrondies à $10^{-2}$ près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&-2	&$-1$	&$-0,5$	&0	&0,5&1	&2	&3	&4	&6\\ \hline
$f(x)$&	&		&		&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{PARTIE B}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = \left(-x^2 - 4x - 5\right)\text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.
\item Calculer l'aire en cm$^2$ de la région du plan comprise entre les axes de coordonnées, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite d'équation $x =  3$.
 
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{document} 