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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de laboratoire (STL)spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL spécialité biotechnologies  Polynésie~\decofourright\\[5pt] 18 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.25cm}

Un médecin prescrit une prise de sang à son patient qui se plaint de fatigue récurrente. Cette prise
de sang fait apparaître que la concentration en vitamine B12 est anormalement basse.

Le médecin décide de lui prescrire une injection par jour de vitamine B12, ainsi qu’une prise de
sang chaque semaine pour en contrôler la concentration. On note $V(t)$ la concentration en picogramme
par millilitre (pg$\cdot$mL$^{-1}$) au bout de la semaine $t$ .

On obtient le tableau ci-dessous :

\smallskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6.85cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Durée $t_i$ écoulée (en semaine)& 0 &1& 3& 5 &7& 9\\
\hline
Concentration $y_i$ de vitamine B12 (en pg$\cdot$mL$^{-1}$) &100 &104& 118& 128& 141& 156\\\hline
\end{tabularx}
\smallskip

On se propose de modéliser la concentration en vitamine B12 en fonction du temps écoulé depuis
le début du traitement.

Comme un ajustement affine n’est pas pertinent, on effectue le changement de variable $z_i =\ln(y_i)$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs à $10^{-3}$).

\smallskip 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$& 0 &1& 3& 5 &7& 9\\
\hline
$z_i=\ln(y_i)$&&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ d’ajustement de $z$ en $t$
par la méthode des moindres carrés sous la forme $z = at+b$, où les coefficients réels $a$ et $b$
seront arrondis au millième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Pour la suite, on prend comme modèle d’ajustement, la droite $\mathcal{D}$ d’équation $z = 0,05t+4,61$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Déduire de la question précédente que pour tout réel positif $t$, $100\e^{0,05t}$ représente la concentration
en vitamine B12 exprimée en pg$\cdot$mL$^{-1}$, $t$ semaines après le début du traitement.
\item Le patient doit atteindre une concentration de  \np[pg\cdot mL^{-1}]{500} pour que les symptômes de fatigue
disparaissent nettement. Au bout de combien de semaines le patient peut-il espérer arrêter son traitement ?
\item Cet ajustement serait-il adapté à long terme ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip


En France, l’eau du robinet est l’une des substances les plus contrôlées. Elle fait l’objet d’un suivi
sanitaire permanent, destiné à en garantir la sécurité.

Depuis plusieurs années, la communauté scientifique s’interroge sur la présence dans l’eau, à
l’état de traces, de résidus de médicaments de type anxiolytique. Chaque année, les pouvoirs publics
en mesurent la concentration.

En 2010, on constatait qu’il y avait en moyenne dans l’eau du robinet 2 microgrammes par litre
(\textmu g$\cdot$L$^{-1}$) de molécules d’anxiolytique.

Depuis 2010, on constate une réduction de 2\,\% par an de la quantité de molécules d’anxiolytique
dans l’eau du robinet.

On choisit de modéliser la concentration de molécules d’anxiolytique par une suite. Pour tout
entier naturel $n$, on note $C_n$ la concentration de cette molécule d’anxiolytique dans l’eau l’année
(2010+$n$). Cette concentration est exprimée en \textmu g$\cdot$L$^{-1}$.

\begin{enumerate}
\item  Donner la valeur de $C_0$ et calculer $C_1$.
\item\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(C_n\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $(C_n)$ lorsque $n$ tend vers l’infini. Interpréter cette limite dans
le contexte de l’exercice.
\item Les pouvoirs publics souhaitent limiter la concentration en molécules d’anxiolytique à \np[\tcmu g \cdot L^{-1}]{0,5}.

Pour cela, on considère l’algorithme incomplet suivant :
\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||p{4cm}|}
\hline
1& $C \longleftarrow  2$\\
2&  $N\longleftarrow  0$\\
3& Tant que $C >\ldots$\\
4& $\phantom{tant} N \longleftarrow  N +1$\\
5& $\phantom{tant} C \longleftarrow C \times \ldots$\\
6& Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item  Recopier cet algorithme et compléter les lignes 3 et 5 afin que cet algorithme détermine la
durée nécessaire à la réalisation de l’objectif fixé par les pouvoirs publics.
\item Déterminer la valeur de la variable $N$ à la fin de l’exécution de l’algorithme. En quelle année
l’objectif sera-t-il atteint ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip


\emph{Cet exercice est constitué de deux parties indépendantes.}


Dans cet exercice, on s’intéresse à la fabrication de tubes destinés à être utilisés dans un laboratoire
pharmaceutique.

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A}

\vspace{0.25cm}


\emph{Pour chacune des affirmations de cette partie, on précisera si elle est vraie ou fausse, en justifiant de
manière claire et concise la réponse donnée.}

On note $C$ la variable aléatoire qui à chaque tube fabriqué associe sa capacité en millilitre (mL).

On suppose que $C$ suit la loi normale d'espérance $\mu=50$ et d'écart type $\sigma= 2$.
\begin{description}
\item[Affirmation 1 :] La probabilité que la capacité du tube soit comprise entre \np[mL]{48} et \np[mL]{52} est environ égale à 0,95.
\item[Affirmation 2 :] 30\,\% des tubes ont une capacité inférieure ou égale à \np[mL]{49}, à \np[mL]{1} près.
\end{description}

On note $E $ l'événement \og Le tube présente un défaut de fabrication. \fg.
On suppose que la probabilité de l'événement $E$ est $P(E)=0,03$.
 
On prélève au hasard dans la chaîne de production 200 tubes pour vérification. On suppose que la production est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 200 tubes, associe le nombre de tubes ayant un défaut.

\begin{description}[resume]
\item[Affirmation 3 :] $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p = 0,03$.
\item[Affirmation 4 : ] En moyenne, un lot de 200 tubes contient 5 tubes avec défaut.
\item[Affirmation 5 : ] La probabilité qu’au moins 5 tubes soient défectueux est 0,719 au millième près.
\end{description}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B}

\vspace{0.25cm}



Le fabricant veut améliorer la qualité de fabrication de ses tubes.

Pour cela, il en teste 400 et constate que 90\,\% n’ont pas de défaut.

Après des réglages permettant d’améliorer la qualité de fabrication, un nouvel échantillon de 400
tubes est prélevé : 94\,\% sont sans défaut.

Est-il raisonnable, au niveau de confiance 95\,\%, de penser que la qualité de fabrication s’est améliorée ?

\medskip

On rappelle les formules suivantes :
\begin{itemize}
\item  L’intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d’une fréquence obtenue sur un échantillon
de taille $n$, lorsque la proportion $p$ dans la population est connue est :

\[\left[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p)}{n}} ~,~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\right]\]

\item Un intervalle de confiance à 95\,\% d’une proportion, calculé à partir d’une fréquence $f$ sur un
échantillon de taille $n$ est  donné par :
\[\left[f -1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~,~ f +1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\right]\]
\end{itemize}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip


À un patient souffrant de douleurs intenses, on injecte un antidouleur en perfusion au rythme de
4 milligrammes par heure.

On suppose que cet antidouleur n’était pas présent dans le sang avant la perfusion.

La quantité d’antidouleur présent à un instant donné est modélisée par une fonction $f$.

Lorsque $t$ représente le temps écoulé, en heure, depuis le début de la perfusion, $f(t)$ représente la quantité, en milligramme, d’antidouleur présent dans le sang.

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A}

\vspace{0.25cm}

On admet que la fonction $f$ est solution sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$ de l’équation différentielle $(\mathcal{E})$ :
\[(\mathcal{E})~~:\quad  y'+0,02y = 4.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions de l’équation différentielle $(\mathcal{E})$ sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item On admet que $f(0)=0$. En déduire une expression de $f(t)$ sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B}

\vspace{0.25cm}



On admet que la fonction $f$ est définie pour tout $t$ appartenant à l’intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[f (t)=-200\e^{-0,02t} +200\]
\begin{enumerate}
\item  On admet que $f'(t )$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$, est donnée sur l’intervalle
$[0~;~+\infty[$ par :

\[f '(t )=4\e^{-0,02t}\]

Quelle information peut-on en déduire sur les variations de la fonction $f$ ?

\end{enumerate}

On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\mathcal{D}$, asymptote à la
courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.


\begin{center}
\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.04cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-10,-10)(260,220)
\multido{\n=0+10}{26}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,210)}
\multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(260,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=20,]{->}(0,0)(260,220)
\def\Func{2.71828 x 0.02 neg mul exp 200 neg mul 200 add}
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{260}{\Func}
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{260}{200}
 \uput[u](15,200){\cyan $\displaystyle \mathcal{D}$}
 \uput[dl](35,110){\blue $\displaystyle \mathcal{C}$}
 
% \uput[u](-8,13000){\rotatebox{90}{Bénéfice en euros} }
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}[resume]
\item Donner, à l’aide du graphique, la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}

Cette valeur représente la quantité limite de l’antidouleur présent dans le sang.

\begin{enumerate}[resume]
\item Le débit de perfusion est satisfaisant si au bout de vingt-quatre heures, le sang contient au
moins 50\,\% de la quantité limite de l’antidouleur.

Déterminer si le débit de perfusion est satisfaisant.

\item On admet que la quantité moyenne de l’antidouleur présent dans le sang pendant les dix
premières heures de perfusion est égale à

\[\displaystyle \dfrac{1}{10}\int_{0}^{10}f(t)\mathrm{d}t.\]
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $F$, définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(t)=\np{10000}\e^{-0,02t}+200t$, est une
primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$.

\item On pose $\displaystyle I=\int_{0}^{10}f(t)\mathrm{d}t$. 

Déterminer la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième, de $I$ .

\item Donner une valeur approchée, au dixième de milligramme près, de la quantité moyenne

 de l’antidouleur présent dans le sang pendant les dix premières heures de perfusion.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%



BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE
SESSION 2019
MATHÉMATIQUES
Série : Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : BIOTECHNOLOGIES
Durée de l’épreuve : 4 heures
Coefficient : 4
L’usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
compte dans l’appréciation de la copie.
19MABIPO1 Page 1/6
