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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 2013}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\pagestyle{fancy}

\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  2013~\decofourright\\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à septembre 2013}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie 7 juin 2013} \dotfill \pageref{Polynesie}\\  
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane 19 juin 2013} \dotfill \pageref{Antilles}\\
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\end{tabularx}

\newpage

\newpage
%%%%%%%%%%%%% Polynésie 16 juin 2013
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{7 juin 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies Polynésie~\decofourright\\[4pt]7 juin 2013}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au centième.}

\medskip
 
On s'intéresse à la désintégration radioactive de l'iode 131.
 
On désigne par $N_{0}$ le nombre d'atomes d'iode 131 à l'instant $0$ et par $N$ le nombre d'atomes d'iode 131 à l'instant $t$ ($t$ étant exprimé en jours).
 
Les mesures à différents instants de $\dfrac{N}{N_{0}}$ ont donné les résultats suivants : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t$ (en jours)&0 &2 	&4 		&6 		&8 		&10 	&12 	&14 	&16 \\ \hline
$\dfrac{N}{N_{0}}$ 	&1 &0,82&0,69 	&0,61 	&0,49 	&0,43 	&0,36 	&0,30 	&0,26 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t$ (en jours)					&0 	&2 	&4 	&6 	&8 	&10 &12 &14 &16 \\ \hline
$z = \ln \left(\dfrac{N}{N_{0}}\right)$	&	&	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(t_{i}~;~z_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
 
On prendra comme unités 1~cm pour 2~jours sur l'axe des abscisses et 10~cm pour 1~unité sur l'axe des ordonnées. 
\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. 
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $D$ d'ajustement de $z$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. 
\item Tracer $D$ dans le repère précédent. 
\item En déduire que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, $\dfrac{N}{N_{0}} = \text{e}^{- 0,08t-0,02}$. 
\item Que vaut le rapport $\dfrac{N}{N_{0}}$ au bout de 20~jours ? 
\item Au bout de combien de jours, la quantité initiale a-t-elle été divisée par $10$ ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 3 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\
 Recopier le numéro de chaque question et préciser la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant ($N$ désigne un entier naturel)

\begin{center} 
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Entrée :		& Saisir la valeur de $N$ \\
Initialisation :& Affecter à $i$ la valeur $0$\\ 
				&Affecter à $A$ la valeur $25$ \\
Traitement :	& Tant que $i < N$\\ 
				&Affecter à $i$ la valeur de $i + 1$\\ 
				&Affecter à $A$ la valeur de $1,05 \times A - 0,1$\\ 
				&Fin Tant que\\ 
Sortie :		&Afficher A\\ \hline
\end{tabular} 

\end{center}
 
Pour $N = 4$, l'arrondi à $10^{-2}$ du nombre affiché est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 26,15& \textbf{b.~~} 28,63& \textbf{c.~~} 29,96& \textbf{d.~~} 30,82.
\end{tabularx}
\medskip 
\item L'ensemble des solutions dans $]0~;~+ \infty[$ de l'inéquation 

\[(1 - x) \ln x \leqslant 0\]

est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} ]0~;~1]& \textbf{b.~~} $[1~;~+\infty[$& \textbf{c.~~} $]0~;~\text{e}]$ & \textbf{d.~~} $]0~;~+ \infty[$.
\end{tabularx}
\medskip 

\item Soit $I = \displaystyle\int_{0}^1 \left(\text{e}^{2x} - x \right)\:\text{d}x$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $I = \dfrac{\text{e}^2 - 2}{2}$& \textbf{b.~~} $I = \dfrac{2 - \text{e}^2}{2}$& \textbf{c.~~} $I = \text{e}^2 - 2$ & \textbf{d.~~} $I = \text{e}^2 - \dfrac{3}{2}$.
\end{tabularx}
\medskip 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on appelle \og poids de naissance \fg, la masse, exprimée en grammes, d'un nouveau né.\\
 Les résultats seront arrondis au centième pour les probabilités et à l'entier pour les poids de naissance donnés en grammes.}
 
\medskip
  
\textbf{Les trois parties sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On s'intéresse au poids de naissance (exprimé en grammes) des enfants dans une région donnée. On note $X$ la variable aléatoire qui, à un enfant choisi au hasard dans une maternité, associe son poids de naissance. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance \np{3300} et d'écart type $600$.
 
On choisit un enfant au hasard dans cette maternité.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que cet enfant ait un poids de naissance compris entre \np{2700}~g et \np{3900}~g. 
\item Déterminer l'entier $h$ tel que $P(\np{3300} - h \leqslant  X \leqslant \np{3300} + h)$ soit égale à $0,95$ à $10^{-2}$ près. 

Interpréter le résultat obtenu. 
\item Quelle est la probabilité que cet enfant ait un poids de naissance inférieure à \np{2100}~g ? 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans cette partie, on considèrera l'hypotrophie sévère qui concerne les enfants dont le poids de naissance est inférieur ou égal à \np{2170}~g. On admet que la probabilité qu'un enfant choisi au hasard soit concerné par une hypotrophie sévère est égale à $0,03$.
 
Dans une maternité naissent $100$ enfants par mois. Le nombre de naissances dans cette maternité est suffisamment important pour que le choix d'un enfant soit assimilé à un tirage avec remise. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui, à un mois donné, associe le nombre d'enfants concernés par une hypotrophie sévère.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $100$ et $0,03$. 
\item Déterminer la probabilité qu'au moins un enfant soit concerné par une hypotrophie sévère au cours d'un mois donné.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Dans une autre région, on s'intéresse à la proportion $p$ des enfants qui ont un poids de naissance compris entre \np{2600}~g et \np{4000}~g.
 
En prenant un échantillon de $500$ enfants nés dans cette région, on observe que 370~enfants ont un poids de naissance compris entre \np{2600}~g et \np{4000}~g.
 
Donner une estimation de $p$ par un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Les deux premières parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Plusieurs questions de la partie C peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip
 
Lors de l'administration d'un analgésique au moyen d'une perfusion à débit continu, on désigne par $y(t)$ la quantité (en $\mu$g) d'analgésique présente dans l'organisme d'un patient en fonction de l'instant $t$ 
(en min). On admet que $y$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, solution de l'équation différentielle (E) suivante : 

\[y' + 0,14y = 2\]

où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : Résolution de l'équation différentielle (E)}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie $f(0) = 0$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath.

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[(t) = 14,29\left(1 - \text{e}^{- 0,14 t}\right).\]
 
On désigne par $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
 
On prendra comme unités 1~cm pour 2~min sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 1 $\mu$g sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. Que représente la droite $D$ d'équation $y = 14,29$ pour la courbe $C$ ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 

Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, $f'(t) = \np{2,0006} \text{e}^{-0,14t}$. 
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}		 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter, après l'avoir reproduit sur la copie, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs seront arrondies au dixième.
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
$t$ 	&0	&5 	&10 	&15 &20 &30\\ \hline 
$f(t)$	&	&	&10,8	&	&	&\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item Tracer les droites $T$ et $D$ puis la courbe représentative $C$ dans le repère orthogonal.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C : Exploitation des résultats de la partie B}

\medskip
 
La fonction $f$ étant la fonction définie dans la partie B, on admet que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~30], $f(t)$ représente, à l'instant $t$, la quantité d'analgésique présente dans l'organisme au cours d'une perfusion.
 
La quantité $Q = 14,29\: \mu$g s'appelle  \og quantité d'analgésique à l'équilibre \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Cette quantité $Q$ peut-elle être atteinte ? Justifier la réponse. 
\item À l'aide de la courbe $C$, déterminer graphiquement le temps au bout duquel la quantité d'analgésique présente dans l'organisme du patient atteint la moitié de $Q$. Arrondir à l'entier le plus proche. 
\item Au bout de 25~minutes, quel pourcentage représente la quantité d'analgésique par rapport à la quantité $Q$ ? 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie 16 juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane 19 juin 2013
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small Antilles-Guyane}
\rfoot{\small 19 juin 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies 19 juin 2013 ~\decofourright\\[4pt]Antilles-Guyane}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\medskip
 
Suite à un gros orage, la plage municipale de la commune d'Aistéhel subit une pollution momentanée du fait du débordement de la station d'épuration.

\medskip
 
La concentration en bactéries E. coli (Escherichia coli) est retenue comme indicateur de contamination d'origine fécale.

\medskip
 
Rappel (simplifié) des normes de qualité des eaux de baignade :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Qualité de l'eau &bonne &moyenne &mauvaise \\ \hline
Concentration en E. coli en ufc/100~mL(*)&0 \`a 100& 
100 à \np{2000}& supérieur à \np{2000}\\ \hline 
\multicolumn{4}{r}{\footnotesize (*) \emph{ufc : unit\'es formant colonies}}\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
Des analyses sont faites toutes les six heures afin de suivre l'évolution de la concentration en E. coli.
 
Les mesures des deux premiers jours sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{9}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Durée écoulée en heures $\left(t_{i}\right)$&0 &6 &12 &18 &24 &30 &36 &42 &48\\ \hline 
Concentration en E. coli $\left(y_{i}\right)$ (ufc/100~mL)&\np{38000} &\np{26500} 
&\np{21400} &\np{14800} &\np{11100} &\np{8300} &\np{5900} &\np{4500} &\np{3300}\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

Ces mesures sont représentées graphiquement ci-dessous.

\medskip 

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.0002cm}
\begin{pspicture}(-8,-5000)(50,40000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=6,Dy=5000](0,0)(50,40000)
\multido{\n=0+5000}{9}{\psline(0,\n)(48,\n)}
\psdots[dotstyle=square*,dotscale=1.7](0,38000)(6,26500)(12,21400)(18,14800)(24,11100)(30,8300)(36,5900)(42,4500)(48,3300)
\uput[d](21,-2500){heures}\rput{90}(-8,20000){ufc/100~mL}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}

\end{center}

\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Indiquer pourquoi un ajustement affine ne paraît pas approprié. 
\item On propose de réaliser un ajustement exponentiel. 
Pour cela, on pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$ où $y_{i}$ désigne la $i$-ème mesure de la concentration en E. coli. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier sur votre feuille et compléter le tableau fourni en annexe 1 (arrondir les résultats à $10^{-3}$ près). 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de $z$ en $t$ selon la méthode des moindres carrés.
		 
On donnera la réponse sous la forme $z = at + b$, en arrondissant les coefficients $a$ et $b$ à $10^{-3}$ près. 
		\item On considère désormais comme ajustement affine de $z$ en $t$ , la droite d'équation $z = - 0, 05 t + 10,53$. En déduire un ajustement exponentiel de la concentration en E. coli de la forme $y(t) = C\text{e}^{kt}$ ($C$ et $k$ étant deux constantes à déterminer à $10^{-2}$ près). 
		\item Pour cette question, on prendra $y(t) = \np{37400}\text{e}^{- 0,05t}$. 

		\begin{enumerate}
			\item[$\bullet~~$]En supposant que le modèle reste valide au-delà des deux premiers jours, quelle concentration est attendue trois jours après le début des mesures? (la valeur sera arrondie à $10^{-2}$ près).
			\item[$\bullet~~$]Au bout de combien d'heures après le début des mesures la concentration correspondra-t-elle à une eau de baignade de bonne qualité ?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
On appelle $\left(c_{n}\right)$ la concentration en E. coli au temps $n$ (où $n$ est le temps en heures).
 
Un technicien du laboratoire où sont réalisées les analyses propose de modéliser l'évolution de la concentration en E. coli par la suite géométrique $\left(c_{n}\right)$ pour laquelle :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $c_{0} = \np{38000}$ 
\item[$\bullet~~$] la raison est $q = 0,947$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Comparer ce second modèle au modèle proposé à la question 2. d. de la partie A. 
 
Argumenter votre réponse.

\medskip
 
\emph{Pour cette question, le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse.} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} 

\medskip

\textbf{PARTIE A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
Les fonctions intervenant dans cette partie sont définies sur $\R$.
 
On considère l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  y'+ 0,5y = 12.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une fonction constante solution de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la fonction $c$ solution de l'équation différentielle $(E)$ telle que $c(0) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = 24\left(1 - \text{e}^{-0,5t}\right).\]
 
On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ et étudier son signe sur $[0~;~+ \infty[$.
\item En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de $f$ ; que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ? 
\item Représenter cette fonction sur une feuille de papier millimétré à remettre avec la copie.
 
Unités graphiques : 1~cm en abscisse ; 0,5~cm en ordonnée 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} 

\medskip

La courbe $(C)$ tracée à l'annexe 2 est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
 
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
 
On constate sur la représentation graphique que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] La tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ au point A(0~;~3) passe par le point I(1~;~5).
\item[$\bullet~~$] La droite $(D)$ d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la courbe $(C)$ au voisinage de $+ \infty$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant les données précédentes et le graphique, préciser : 
	\begin{enumerate}
		\item La valeur du nombre réel $f(0)$ et la valeur du nombre réel $f'(0)$ (justifier votre raisonnement). 
		\item La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate} 
\item On note $(S)$ l'aire de la partie du plan située entre la courbe $(C)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.
 
Préciser un encadrement de l'aire $(S)$, en unités d'aire par deux entiers consécutifs. 
\item On admet que la fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel $x$ par :
 
\[f(x) = (4x + 2)\text{e}^{- x} + 1.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$:\quad  $f'(x) = (2 - 4x)\text{e}^{- x}$. 
		\item Étudier le signe de $f'$. En déduire le sens de variation de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par :

\[ F(x) = (- 4x - 6)\text{e}^{- x} + x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. 
		\item Déterminer la valeur exacte, puis la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $(S)$, en unités d'aire. 
		\item Ce résultat est-il cohérent avec l'encadrement obtenu à la question 2 ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} 

\medskip

Une agence de voyages propose, dans un de ses circuits très fréquenté, une excursion sous forme d'option supplémentaire.

\medskip
 
\emph{Le responsable de l'agence fait l'hypothèse que la proportion de clients prenant l'option est $0,25$}.

\medskip
 
On choisit au hasard un échantillon de $60$~clients. Tous les clients ont la même chance d'être choisis.
 
On considère que le nombre de clients de l'agence est suffisamment grand pour assimiler le choix de cet échantillon à un tirage successif avec remise de $60$~clients.

\medskip
 
\textbf{Les trois parties A, B, C peuvent être traitées de façon indépendante}

\bigskip

\textbf{PARTIE A : loi binomiale}

\medskip
 
On appelle $X$ la variable qui, à tout échantillon de $60$~clients, associe le nombre des clients qui ont pris l'option supplémentaire.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 60$ et $p= 0,25$. 
\item À l'annexe 3, ont été reportées dans un tableau les valeurs approchées des probabilités $P(X = k)$, pour $6 \leqslant k \leqslant 25$ (sauf la valeur pour $k = 10$).
 
Les valeurs des probabilités $P(X = k)$ pour $k \geqslant 26$ et $0 \leqslant k \leqslant 5$ sont inférieures à $10^{-3}$ et elles seront considérées comme nulles.
 
On a également tracé l'histogramme de la variable aléatoire $X$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur l'histogramme de l'annexe 3 à rendre avec la copie, l'aire correspondant à la probabilité $P(X \leqslant 21)$. 
		\item En utilisant le tableau de valeurs de l'annexe 3, ou par toute autre méthode, déterminer une valeur approchée de $P(X \leqslant 21)$, en détaillant la démarche utilisée (arrondir le résultat à $10^{-2}$).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : approximation par une loi normale}

\medskip
 
On suppose que les conditions permettant d'approximer une loi binomiale par une loi normale sont remplies.
 
On appelle $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma$ et approximant la loi binomiale $\mathcal{B}(60~;~0,25)$ (de paramètres $n = 60$ et $p = 0,25$).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les paramètres $\mu$ et $\sigma$ (valeurs arrondies à $10^{-3}$ près). Justifier votre réponse. 
\item On considère désormais que $\mu = 15$ et $\sigma = 3,35$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, sans utiliser la calculatrice, $P(15 \leqslant Y \leqslant 18,35)$ (valeur arrondie à $10^{-3}$ près). Justifier votre raisonnement. 
		\item Sans utiliser la calculatrice, justifier que $P(15 \leqslant Y \leqslant 25,05)$ a pour valeur approchée \np{0,4985}. 
		\item Sachant que $P(21 \leqslant Y \leqslant 25,05)$ a pour valeur approchée \np{0,03529}, déduire des questions précédentes une valeur approchée de $P(Y \leqslant 21)$. 
		\item Le résultat précédent est-il cohérent avec le résultat de la question A 2. b) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C : prise de décision}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique à $95$\,\% de la fréquence des clients ayant pris l'option dans un échantillon de $60$~clients. On note $J$ cet intervalle. 
\item Pour vérifier l'hypothèse que la proportion de clients prenant l'option est $0,25$, au niveau de confiance $95$\,\%, l'adjoint du responsable de l'agence choisit au hasard un échantillon de $60$~clients. Il observe alors qu'un tiers des clients a pris cette option.
 
En utilisant l'intervalle $J$ précédent, l'adjoint du responsable de l'agence décide de rejeter l'hypothèse, au niveau de confiance $95$\,\%. Êtes-vous d'accord ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 : À RECOPIER SUR VOTRE FEULLE ET À COMPLÉTER\\ (EXERCICE 1) \\Cette annexe n'est pas à rendre}

\vspace{1cm} 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ (en heures)				&0 	&6 	&12 &18 &24 &30 &36 &42 &48\\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$
 (à $10^{- 3}$ près)			&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
 
\newpage

\textbf{ANNEXE 2 \\(EXERCICE 3)\\ 
Cette annexe n'est pas à rendre}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.2)(7.5,6.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.5,-3.2)(7.5,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(0,3)(1,5)
\psplot{-3.2}{1.8}{2 x mul 3 add}
\uput[dr](1.2,5.55){$(T)$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](-2.5,1){$(D)$}\uput[u](5.5,1.1){\blue $(C)$}
\psline(-3.5,1)(7.5,1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{7.5}{x 4 mul 2 add 2.71828 x exp div 1 add}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 3 À RENDRE AVEC LA COPIE\\
(EXERCICE 4)}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Histogramme de la loi binomiale \boldmath$\mathcal{B}(60~;~0,25)$\unboldmath (de paramètres \boldmath$n = 60$ et $p = 0,25$\unboldmath)}

\begin{center}

\psset{xunit=0.38cm,yunit=90cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.005)(33,0,13)
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.12)}
\multido{\n=0.005+0.005}{24}{\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](0,\n)(32,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.02,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(33,0.125)
\psframe(3.5,0)(4.5,0.000192)
\psframe(4.5,0)(5.5,0.000717)
\psframe(5.5,0)(6.5,0.00219)
\psframe(6.5,0)(7.5,0.005632)
\psframe(7.5,0)(8.5,0.012437)
\psframe(8.5,0)(9.5,0.023953)
\psframe(9.5,0)(10.5,0.040719)
\psframe(10.5,0)(11.5,0.061696)
\psframe(11.5,0)(12.5,0.083975)
\psframe(12.5,0)(13.5,0.103354)
\psframe(13.5,0)(14.5,0.115658)
\psframe(14.5,0)(15.5,0.118228)
\psframe(15.5,0)(16.5,0.110838)
\psframe(16.5,0)(17.5,0.0895626)
\psframe(17.5,0)(18.5,0.076146)
\psframe(18.5,0)(19.5,0.056108)
\psframe(19.5,0)(20.5,0.03834)
\psframe(20.5,0)(21.5,0.024343)
\psframe(21.5,0)(22.5,0.014385)
\psframe(22.5,0)(23.5,0.007922)
\psframe(23.5,0)(24.5,0.004071)
\psframe(24.5,0)(25.5,0.001954)
\uput[d](33,0){$k$}\uput[u](0,0.125){$P(X = k)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Table des valeurs de la loi binomiale \boldmath$\mathcal{B}(60~;~0,25)$ \unboldmath pour \boldmath $6 \leqslant k \leqslant 25$\unboldmath}

\textbf{(sauf la valeur pour \boldmath $k = 10$ \unboldmath}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline
$P(X = k)$&\np{0,0022}&\np{0,0056}&\np{0,0124}&\np{0,0240}&\ldots&\np{0,0617}&\np{0,0840}&\np{0,1034}&\np{0,1157}&\np{0,1182}\\ \hline \hline
$k$&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
$P(X = k)$&\np{0,1108}&\np{0,0956}&\np{0,0761}&\np{0,0561}&\np{0,0383}&\np{0,0243}&\np{0,0144}&\np{0,0079}&\np{0,0041}&\np{0,0020}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane 19 juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%% Métropole 20 juin 2013
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat STL Métropole Biotechnologies 20 juin 2013~\decofourright}}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}

%\begin{center} 
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante  dans l'appréciation des copies.

%\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   


\medskip
    
Le responsable d'un site de compostage fait un bilan de l'évolution des quantités de déchets compostés 	dans son entreprise. 	
	
Il constate qu'en 2002, sur le site, \np{5900} tonnes de déchets ont été traitées et qu'ensuite les quantités 
traitées augmentent régulièrement de 15\,\% par an. 

On admet que la progression se poursuivra au même rythme jusqu'en 2020.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en tonnes, de déchets traités durant l'année 2002 + $n$ . On 
aura ainsi $u_0 = \np{5900}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Préciser la nature, le premier terme et la raison de la suite $\left(u_n\right)$. 

En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
\item Calculer la quantité de déchets traités en 2006. Arrondir à l'unité près. 
\item Déterminer à partir de quelle année la quantité de déchets traités dépassera les \np{20000} tonnes. 
Justifier votre réponse. 
\item Calculer la quantité totale de déchets traités depuis le début de l'année 2002 jusqu'à la fin de 
l'année 2020. Arrondir à l'unité près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}   
    
\medskip

On introduit un inoculum bactérien dans un bioréacteur contenant un milieu de culture. 
On mesure la population bactérienne toutes les heures à partir de la troisième heure. 
Le tableau suivant donne le résultat de ces mesures. 
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{2.5cm}|*{7}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en heures 	  &3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9 \\\hline 			Nombre $N_i$ de bactéries &$1,09\times 10^5$&$2,68\times10^5$ &$7,31\times10^5$&$2,2\times10^6 $	&$6,93\times10^6$ &$1,79\times10^7$ &$5,12\times10^7$ \\\hline
\end{tabularx}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant, les valeurs étant arrondies à $10^{-2}$ près. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.2cm}|*{7}{>{\centering\arraybackslash}p{1cm} |}}
\hline
Temps $t_i$ en heures	&3 &	4& 	5 &	6 &	7 &	8& 	9 \\
 	\hline						
$y_i= \ln (N_i)$ &11,60&&&& 				15,75 &&	\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

	
\item Tracer dans le repère orthonormé donné en annexe, page \pageref{papier}, le nuage de points M$_i\left(t_i~;~y_i\right)$ en prenant comme unité 1~cm sur chaque axe. 
\item 	Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $t$ par la 
méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{-2}$ près. 

Tracer cette droite dans le repère précédent. 
\item On suppose que l'évolution du nombre de bactéries se poursuit suivant le même modèle jusqu'à ce que les éléments nutritifs commencent à manquer. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à $10^6$ près, le nombre de bactéries dans le bioréacteur au bout de 11 heures. 
\item Les éléments nutritifs commencent à manquer dès que le nombre de bactéries atteint $3 \times 10^9$. 

À quel moment cela se produit-il ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip
 
Une société fabrique des tubes à essai. 
 
Une étude a montré que la probabilité pour un tube, pris au hasard dans la production, de présenter un défaut est égale à 0,03. 

On suppose la production suffisamment importante pour assimiler chaque prélèvement à un tirage avec remise. 

\smallskip

Les deux questions suivantes sont indépendantes.
 
\smallskip

\emph{Dans cet exercice, toutes les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près.}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On prélève 10 tubes dans la production. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de 
tubes défectueux dans le prélèvement. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0,03. 
		\item Déterminer la probabilité $P(X = 1)$. 
		\item Déterminer la probabilité que, parmi les $10$ tubes, un tube au moins présente un défaut. 
	\end{enumerate}
\item On prélève $300$ tubes dans la production. 
	On décide d'approcher la variable aléatoire donnant le nombre de tubes défectueux dans le 	prélèvement par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $9$ et d'écart type $3$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que le prélèvement contienne entre 6 et 12 tubes défectueux. 
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de tubes défectueux pour un échantillon de taille 300. Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$ près. 
		\item Le responsable qualité veut vérifier la production. Pour cela, il prélève un échantillon de $300$ tubes.
		
Dans cet échantillon, 14 tubes sont défectueux. Doit-il faire procéder à un réglage des machines  ? Justifier votre réponse. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}   
    
\begin{center}
\textbf{Partie A : Lecture graphique}
\end{center}

La courbe $C_f $ tracée ci-dessous est la représentation graphique sur $[0~;~4]$ d'une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$.

 \medskip
 
On admet que: 

\begin{description}
\item[] La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses en $\dfrac{1}{2}$. 
\item[] La tangente T à la courbe $C_f$ au point A $(0~,~-1)$ passe par le point B $(1~,~2)$. 
\item[]La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $\dfrac{3}{2}$ est parallèle à l'axe des abscisses. 
\end{description}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(4.5,3)

\multido{\n=-0.5+0.5}{10}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-1.5)(\n,2.7)}
\multido{\n=-1+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](-0.6,\n)(4.3,\n)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1,linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-1.5)(4.4,2.8)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(4.4,2.8)
\psdots[dotstyle=Bo,dotscale=1.2](0,-1)(1.5,0.44626)(0.5,0)(1,2)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{4}{x 2 mul 1 sub 2.71828 x neg exp mul}
\psline[linecolor=blue,linewidth=0.45pt,linestyle=dashed](-0.6,0.44626)(4.3,0.44626)
\psplot[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-0.1}{1.25}{x 3 mul 1 sub }
\uput[r](1,2){B}\uput[r](0,-1){A}\uput[ur](1,2.5){T}\uput[u](3.6,0.1){\blue $C_f$}\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~,~4]$. 
\item Déterminer les valeurs de $f'(0)$ et de $f^\prime \left(\dfrac{3}{2}\right)$. 
\end{enumerate}
\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B : Étude de la fonction }
\end{center}

On admet que la fonction $f$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = (2x - 1) \e^{-x} .\]
 
\begin{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\e^{-x} = 0$. Déterminer $\displaystyle \lim _{x \to +\infty}f(x)$. 
		\item Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $f$ ? 
	\end{enumerate}
\item La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f'(x) = (3 - 2x)\e^{-x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0~;~+\infty[$. 
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie C : Calcul d'aire}
\end{center}

On donne ci-dessous les tableaux de variation et des tableaux de valeurs de trois fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ : $F_1,\ F_2$ et $F_3$.

\medskip
\begin{minipage}{9cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(0,0)(7.5,2.7)\psline(0,1.7)(7.5,1.7)\psline(1,0)(1,2.7)
\rput(0.5,2.2){$x$}\rput(1.3,2.2){0}\rput(7.1,2.2){$+\infty$}
\rput(4.3,2.2){$\dfrac{3}{2}$}\rput(0.5,1){$F_1(x)$} \rput(1.3,1.5){3}\rput(7.1,1.5){$+\infty$}
\rput(4.3,0.425){$\dfrac{-2}{\sqrt{\e}}$}
\psline{->}(1.6,1.4)(3.9,0.5)\psline{->}(4.65,0.5)(6.8,1.4)
\end{pspicture}
\end{minipage}
 \begin{minipage}{5cm}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
$x$&0&$\frac{1}{2}$&$\frac{3}{2}$&2\\
\hline
$F_1(x)$&3&0&$\frac{-2}{\sqrt{\e}}$&$\frac{1}{\e^2}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}


\medskip
\begin{minipage}{8.5cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(0,0)(7.5,2.7)\psline(0,1.7)(7.5,1.7)\psline(1,0)(1,2.7)
\rput(0.5,2.2){$x$}\rput(1.3,2.2){0}\rput(7.1,2.2){$+\infty$}
\rput(4.3,2.2){$\dfrac{1}{2}$}\rput(0.5,1){$F_2(x)$} \rput(1.3,1.5){$-1$}\rput(7.1,1.5){$0$}
\rput(4.3,0.425){$\dfrac{-2}{\sqrt{\e}}$}
\psline{->}(1.6,1.4)(3.9,0.5)\psline{->}(4.65,0.5)(6.8,1.4)
\end{pspicture}
\end{minipage}
 \begin{minipage}{5.5cm}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
$x$&0&$\frac{1}{2}$&$\frac{3}{2}$&2\\
\hline
$F_2(x)$&$-1$&$\frac{-2}{\sqrt{\e}}$&$-4\e^{\scriptstyle-\frac{3}{2}}$&$-\frac{5}{\e^2}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\medskip
\begin{minipage}{9cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(0,0)(7.5,2.7)\psline(0,1.7)(7.5,1.7)\psline(1,0)(1,2.7)
\rput(0.5,2.2){$x$}\rput(1.3,2.2){0}\rput(7.1,2.2){$+\infty$}
\rput(4.3,2.2){$\dfrac{1}{2}$}\rput(0.5,1){$F_3(x)$} \rput(1.3,0.3){$\frac{3}{2}$}\rput(7.1,0.3){$-\infty$}
\rput(4.3,1.5){$\sqrt{\e}$}
\psline{->}(1.6,0.4)(3.9,1.5)\psline{->}(4.65,1.5)(6.8,0.4)
\end{pspicture}
\end{minipage}
 \begin{minipage}{5cm}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
$x$&0&$\frac{1}{2}$&$\frac{3}{2}$&2\\
\hline
$F_3(x)$&$\frac{3}{2}$&$\sqrt{\e}$&0&$-\frac{\e^2}{2}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item  Une de ces fonctions est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$ . Laquelle ? Justifier votre choix. 
\item  À l'aide de cette fonction, calculer l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $C_f$, les droites d'équation $x = \dfrac{1}{2} $et $x = 2$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}

\newpage

\newgeometry{left=1cm, right=1cm, top=1.3cm, bottom=2.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hspace{3cm}Annexe( à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(17,24)

\multido{\n=0+0.5}{35}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,24)}
\multido{\n=0+0.5}{49}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(17,\n)}
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt](17,24)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{papier}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole 20 juin 2013
\newpage
%%%%%%%%%%%%% Métropole 12 septembre 2013
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{12 septembre 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole Biotechnologies ~\decofourright\\[4pt]12 septembre 2013}}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}   

\medskip
 
Monsieur Durand est embauché le 1\up{er} janvier 2012. Son salaire mensuel est de \np{1300}~euros en 2012, puis il augmentera de 1,7\,\% chaque année.
 
Madame Martin est embauchée à la même date. Son salaire mensuel est de \np{1150}~euros en 2012, puis il augmentera de 2,3\,\% chaque année.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ le salaire mensuel de Monsieur Durand au cours de l'année 
$2012+n$ et $b_{n}$ celui de Madame Martin au cours de l'année $2012+n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ ; en déduire la nature de la suite $\left(a_{n}\right)$.
		\item Déterminer l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$.
 	\end{enumerate} 
\item Déterminer l'expression de $b_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Pour répondre à une question concernant le salaire de Monsieur Durand, un élève propose l'algorithme ci -dessous : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$B$ prend la valeur \np{1300}\\
$N$ prend la valeur 0\\
Tant que $B \leqslant \np{1400}$\\ 
\qquad Remplacer $N$ par $N+ 1$\\
\qquad Remplacer $B$ par $B \times 1,017$\\
Fin Tant que\\ 
Afficher $N + 2012$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner cet algorithme. 
		\item Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire un algorithme permettant de déterminer l'année où le salaire mensuel de Madame Martin dépassera \np{1500}~euros. 
		\item À partir de quelle année le salaire mensuel de Madame Martin dépassera-t-il \np{1500}~euros ?
	\end{enumerate} 
\item À partir de quelle année le salaire mensuel de Madame Martin dépassera-t-il celui de Monsieur Durand ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}   

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le tableau suivant donne la tension artérielle (systolique) moyenne $y_{i}$ d'une population d'hommes à différents âges $x_{i}$ :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\^Age $x_{i}$ en années& 25 &40 &50 &60 &70\\ \hline 
Tension artérielle moyenne $y_{i}$ en mm de mercure&118,2 &124,3 &131,9 &136,5 &142,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal. L'axe des ordonnées sera gradué à partir de $100$ et on prendra pour unités : 2 cm pour 10 ans sur l'axe des abscisses ; 2 cm pour 10~mm de mercure sur l'axe des ordonnées. 
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $10^{-4}$ près). 

\medskip

Pour la suite de l'exercice, on prendra pour équation de la droite $D :\:  y = 0,55 x + 103,75$. 
\item Tracer la droite $D$ sur le graphique précédent. 
\item Avec ce modèle d'ajustement, estimer graphiquement, en laissant apparents les traits de construction, la tension artérielle moyenne d'un homme de $75$~ans. 
\item Avec ce modèle d'ajustement, déterminer algébriquement à partir de quel âge un homme a une tension artérielle moyenne supérieure à $150$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans la population étudiée en partie A, 30\,\% des hommes souffrent d'hypertension artérielle.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère 200 hommes pris au hasard dans cette population et on mesure leur tension artérielle moyenne. La population est suffisamment importante pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise. 

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'hommes souffrant d'hypertension.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. 
\item On décide d'approcher la variable aléatoire donnant le nombre des hommes souffrant d'hypertension artérielle dans le prélèvement par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $60$ et d'écart type $6,5$.
 
Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$ près, que dans ce groupe de $200$ ~hommes : 
	\begin{enumerate}
		\item entre $47$ et $73$ individus souffrent d'hypertension ; 
		\item plus de $73$ individus souffrent d'hypertension.
	\end{enumerate} 
\item Un médecin constate que, parmi $100$ hommes en surpoids choisis au hasard dans cette population, $42$ souffrent d'hypertension. 

Peut-il considérer que cette proportion d'hommes hypertendus est conforme à celle de la population masculine étudiée ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}   

\medskip
 
La conservation d'une variété de fruits nécessite de les placer, après la récolte et avant le stockage, dans un tunnel refroidissant à air pulsé.
 
On s'intéresse à l'évolution de la température du fruit en fonction du temps.
 
À l'instant $t = 0$, les fruits, dont la température est de 24~\degres C, sont placés dans le tunnel où l'air pulsé est à 2~\degres C.
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ qui à tout instant $t$, exprimé en heures, associe la température d'un fruit, exprimée en ~\degres C. 

On admet que $f$ est la solution de l'équation différentielle : 

\[y'+ 0,61y = 1,22\quad  \text{vérifiant}\quad  f(0) = 24.\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle 

\[y'+ 0,61y = 1,22\]

où $y$ est une fonction dérivable sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire que pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$, $f(t) = 2 + 22\text{e}^{- 0,61t}$.
 
La courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}$, est donnée en annexe. 
\item Calculer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. 

Que peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(t)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$. 
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer graphiquement en faisant apparaître les traits de construction utiles : 
	\begin{enumerate}
		\item la température d'un fruit au bout de 4 heures ; 
		\item au bout de combien de temps la température d'un fruit aura diminué de moitié par rapport à la température initiale.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $F(t) = 2t - \dfrac{\np{2200}}{61} \text{e}^{- 0,61t}$ est une  primitive  de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire $I = \displaystyle\int_{0}^6 f(t)\:\text{d}t$ (valeurs exacte puis approchée au centième). 
		\item On admet que la température moyenne d'un fruit durant les 6 premières heures est $\dfrac{I}{6}$.
		 
Déterminer cette température moyenne au dixième de degré près.
	\end{enumerate} 
\item On considère que la vitesse de refroidissement est satisfaisante lorsque la température d'un fruit baisse de $\dfrac{7}{8}$ en moins de $6$~heures. Peut-on considérer que la vitesse de refroidissement est satisfaisante ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\begin{flushleft}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{1cm}

Représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = 2 + 22\text{e}^{- 0,61t}$.
\end{flushleft}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(15.5,24)
\multido{\n=0.0+0.5}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,24)}
\multido{\n=0+1}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(15.5,24)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(0,0)(15.5,24)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15}{22 2.71828 0.61 x mul exp div 2 add}
\uput[u](14,0){$t$ en heures}
\uput[r](0,24.5){température en \degres C}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole 12 septembre 2013
\end{document}