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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 2014}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\pagestyle{fancy}

\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  2016~\decofourright\\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à septembre 2014}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie 16 juin 2014} \dotfill \pageref{Polynesie}\\  
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane 18 juin 2014} \dotfill \pageref{Antilles}\\
\hyperlink{Metropole}{Métropole 19 juin 2014} \dotfill \pageref{Metropole}\\
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\hyperlink{Metropolesep}{Métropole 11 septembre 2014} \dotfill \pageref{Metropolesep} 
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\end{tabularx}

\newpage

\newpage
%%%%%%%%%%%%% Polynésie 16 juin 2014
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{19 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies 19 juin 2014 Polynésie~\decofourright\\ }}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{ - 3}$ près.}

\medskip

Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes à essais destinés à des laboratoires.

L’objectif de l’exercice est d’analyser la qualité de la production.

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}
\medskip

La direction de l’entreprise affirme que la probabilité qu’un tube à essais ait un défaut est égale à 0,04.

On prélève au hasard 100 tubes à essais dans la production. La production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 100 tubes à essais, associe le nombre de tubes à essais présentant un défaut.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de
cette loi.
\item Déterminer la probabilité de l’évènement A : \og Le prélèvement contient exactement 5 tubes
à essais présentant un défaut\fg.
\item Déterminer la probabilité de l’évènement B : \og Le prélèvement contient au plus 2 tubes à essais présentant un défaut\fg.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à un tube à essais prélevé au hasard dans la
production, associe son diamètre en millimètres. Le service qualité de l’entreprise estime que
la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d’espérance $19,9$ et d’écart type $0,25$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu’un tube à essais ait un diamètre compris entre \np[mm]{19.5}  et
\np[mm]{20.5}.
\item Déterminer la probabilité qu’un tube à essais ait un diamètre supérieur ou égal à \np[mm]{20}.
\end{enumerate}


\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}
\medskip

Le réglage d’une machine de production est tel que 3\,\% des tubes à essais fabriqués ont une
épaisseur non conforme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des tubes
essais d’épaisseur non conforme dans un échantillon de 200 tubes à essais.
\item On prélève un échantillon de 200 tubes à essais. On constate que dans cet échantillon 12
tubes à essais ont une épaisseur non conforme.
Ce constat remet-il en question le réglage de la machine de production ? Justifier la
réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Dans un lac de montagne, on a observé qu’une population de poissons diminuait de 6\,\% tous
les ans en raison d’une modification écologique du lac.

On s’intéresse au nombre de poissons, $n$ années après la première observation effectuée en
2004, où l’on comptait \np{3500} poissons.

La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = \np{3500}$ , $u_n$ fournissant
une estimation du nombre de poissons l’année $2004 + n$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
\item On propose l’algorithme suivant :

\begin{center}

\begin{tabular}{|ll|}
\hline
Variables : & $U$, $N$\\
Initialisation :& $U$ prend la valeur \np{3500}\\
&$N$ prend la valeur 0\\
Traitement :& Tant que $U > \np{2500}$\\
&\hspace{2em} $U$ prend la valeur $U \times 0,94$\\
&\hspace{2em} $N$ prend la valeur $N + 1$\\
&Fin du tant que\\
Sortie&\\
Afficher $N$&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Déterminer la valeur de $N$ obtenue en faisant fonctionner l’algorithme et interpréter le
résultat.
\item En 2010, une association s’est mobilisée pour améliorer les conditions écologiques du lac.
Depuis, la population de poissons a augmenté de 4\,\% chaque année.

En 2010, l’association a constaté que le lac contenait \np{2400} poissons.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le nombre de poissons présents en 2014.
 \item Si cette augmentation se maintient au même rythme, en quelle année la population de
poissons observée retrouvera-t-elle la valeur de l’année 2004 ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

On étudie l’évolution d’une colonie de bactéries dans une gélose nutritive non renouvelée.

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\medskip

On admet que le nombre de bactéries en fonction du temps est donnée à l’instant $t$ (exprimé
en heures) par $N(t)$ où $N$, fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ , est solution de l’équation
différentielle (E) : $y' = - 0,92y$.

Le nombre de bactéries à l’instant initial est égal à $525$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) sur $[0~;~+\infty[$.
\item Déterminer la fonction $N$, solution de l’équation différentielle (E) sur $[0~,~+\infty[$, qui vérifie la condition \mbox{$N(0)=525$}.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

On admet que la fonction $N$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[N (t ) = 525 \e^{- 0,92 t}\]

 et on note $\mathcal{C}_N$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de la fonction $N$ en $+\infty$. Quelle interprétation graphique peut-on
donner de cette limite ?
\item Calculer $N'(t)$ où $N '$ désigne la fonction dérivée de $N$.
\item $N '(t)$ représente la vitesse instantanée de l’évolution du nombre des bactéries à l’instant $t$ ;
cette vitesse est exprimée en nombre de bactéries par heure.

Déterminer la vitesse instantanée pour $t = 0$ puis pour $t = 3$.
\item  Au bout de combien de temps la vitesse instantanée est-elle égale à la moitié de celle à
l’instant $t = 0$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip

Le but de cet exercice est de comparer les résultats, obtenus par expérience et selon un modèle
théorique, d’un titrage d’une solution d’hydroxyde de sodium (NaOH) par une solution
d’acide chlorhydrique (HCl).

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A : Expérience et approximation affine}
\end{center}

\medskip

Lors d’une expérience, on obtient les mesures suivantes :

\smallskip
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro de la mesure 				&1		&2		&3		&4		&5		&6 \\\hline
Volume en ml d’acide versé : $x_i$	&0		&10		&20		&40		&50		&60\\\hline
pH : $y_i$							&11,80	&11,68 	&11,52	&11,32	&11,22 	&11,08\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Sur l’annexe page \pageref{reglin}, représenter le nuage de points M$_i$ $(x_i~;~y_i)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  À l’aide d’une calculatrice, donner une équation de la droite D d’ajustement de $y$ en $x$ par
la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $10^{-4}$ près).
		\item En utilisant l’ajustement réalisé à la question précédente, déterminer le pH du mélange
après versement de 35 ml d’acide chlorhydrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B : Modèle théorique}
\end{center}

\medskip


Pour un volume $x$ (en ml) d’acide chlorhydrique ajouté, compris entre 0 et 150, le pH de la
solution est égal à $f (x)$ où $f$ est la fonction définie sur [0~,~150] par : \[ f(x)=\np{3.8} -\np{0.01}x+\dfrac{8}{1+\e^{\np{0.2}x-16}}\]

La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur [0~;~150].

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ de l’intervalle [0~,~150] : $f'(x)=-\np{0,01}-\dfrac{\np{1,6}\e^{\np{0,2}x-16}}{\left(1+\e^{\np{0,2}x -16}\right)^2}$
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur [0~,~150].
\end{enumerate}
\item Représenter la courbe représentative de $f$ sur le graphique de la partie A, annexe page \pageref{reglin}.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie C : Comparaison}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour \np[ml]{60} d’acide versé, comparer la valeur du pH obtenue par l’ajustement affine réalisé
dans la partie A et celle obtenue par le modèle théorique de la partie B.
\item Le modèle théorique étant validé, l’ajustement affine réalisé dans la partie A pour $x$
appartenant à [0~;~60] semble-t-il pertinent sur [0~;~150] ? Argumenter la réponse.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{{\large Annexe} (à  rendre avec la copie) }
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.8cm}

\begin{pspicture}(-8,-1)(162,14)

\multido{\n=0+0.5}{26}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(160,\n)}
\multido{\n=0+5}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,12.5)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=10,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(161,12.5)
\uput[d](140,-0.5){Volume d'acide versé}\uput[r](0,13){pH de la solution}\uput[r](160,-0.2){$x$}\uput[l](0,12.5){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\label{reglin}
%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie 16 juin 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane 18 juin 2014
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies 18  juin 2014~\decofourright\\[4pt] Antilles-Guyane}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} 

\medskip

Des scientifiques étudient la croissance de plants de tomates d’une variété donnée après plantation.
Ils ont établi que la hauteur des plants en centimètres peut être modélisée en fonction du temps par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[f (t)=\dfrac{120}{5\e^{-0 ,08t}+1}\]

où $t$ est le temps en jours après le jour de plantation.

\bigskip

\textbf{PARTIE A : ÉTUDE DE LA FONCTION \boldmath{$f$}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la hauteur des plants le jour où ils sont plantés, c’est-à-dire $f (0)$ .
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer $\displaystyle \lim_{ t\to +\infty}f(t)$ (on rappelle que  $\displaystyle \lim_{t\to +\infty } \e^{-0,08 t}= 0$).
	\item  En déduire l’existence d’une asymptote à la courbe représentative de $f$. Tracer cette asymptote sur une feuille de papier millimétré fournie (\emph{échelle : $1$ unité pour $10$ jours en abscisse et $1$ unité pour \np[cm]{10}  en ordonnée). Note : le graphique sera complété par la suite.}
	\item Comment cela se traduit-il pour la croissance d’un plant ?
	\end{enumerate}
\item Calculer la dérivée de $f$ et montrer que $f'(t)=\dfrac{48\e^{-0,08t}}{(5 \e^{-0,08t}+1)^2}$.
\item Étudier le signe de $f^\prime$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item Compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ donné en \textbf{Annexe 1} (arrondir à $10^{-1}$ près).
\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur le papier millimétré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B : EXPLOITATION}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner une inéquation permettant de déterminer au bout de combien de jours le plant mesurera plus
de \np[cm]{30} de haut.
\item Résoudre cette inéquation (\emph{on donnera une valeur exacte puis une valeur approchée à l’unité du
résultat}).
\item Retrouver le résultat du \textbf{2.} en utilisant la courbe représentative de $f$ ou la calculatrice.
(Dans les deux cas, on explicitera la démarche suivie).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C : ALGORITHME }

\medskip

\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{6.5cm}
\textbf{\uline {Initialisations}}

$t$ prend la valeur 0\\
$f$ prend la valeur 20\\

\textbf{\uline{Traitement}}

\textbf{Tant que \boldmath $f < 30$}\\
\phantom{mmm}$t$ prend la valeur $t + 1$\\
\phantom{mmm}$f$ prend la valeur $\dfrac{120}{5\e^{-0,08t}+1 }$
   
\textbf{Fin Tant que}

\vspace{1ex}

\textbf{\uline{Sortie}}

Afficher $t$
\end{minipage}
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L’entrée dans la boucle \textbf{Tant que} de cet algorithme dépend d’une condition. Quelle est cette
condition ? Quand sortira-t-on de cette boucle ?
\item Quelles seront les trois premières valeurs de la variable $t$ ? Donner les valeurs correspondantes de la
variable $f$. (\emph{Les résultats seront arrondis à l’unité.})
\item Quelle sera la valeur de $t$ affichée à la fin de l’algorithme ? Que représente concrètement cette valeur ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} 

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 2x \ln(x) + x.\]

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de cette fonction dans un repère orthonormé est donnée en \textbf{Annexe~2}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par    $F(x) = x^2 \ln(x)$ est une primitive de $f$.
\item Calculer $\displaystyle A = \int_{1}^{ 2}  (2x \ln(x) + x) \mathrm{d}x$.

(\emph {on donnera la valeur exacte du résultat, puis une valeur approchée à  $10^{-2}$ près})
\item À quoi cette intégrale correspond-elle sur le graphique de l’\textbf{Annexe 2} ?

Illustrer la réponse en hachurant la zone correspondante du graphique.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} 

\medskip
\emph{\textbf{Dans cet exercice, les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}}

\smallskip

Production de l’antibiotique spiramycine.

\smallskip

L’espèce \emph{Streptomyces ambofaciens} a été sélectionnée pour sa production de spiramycine. Cet
antibiotique est obtenu par la fermentation de la \emph{Streptomyces ambofaciens} en bioréacteur.

Afin de prévoir au mieux la production de cet antibiotique, on cherche le développement de la
\emph{Streptomyces ambofaciens} dans le bioréacteur.

\bigskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

À $t=0$ heure, la concentration de \emph{Streptomyces ambofaciens} est mesuré à \np[g/l]{3.10}. Puis, à $t= \np[h]{1}$, elle est
mesurée à \np[g/l]{3,22}.

En conséquence dans cette partie, on suppose que la concentration augmente de 4\,\% par heure.
\begin{tabbing}
On note : \qquad\=  $c_0$ la concentration au temps $t=0$, et $c_0 = 3,10$ .\\
  \> $c_1$ la concentration au temps $t=1$\\
\>\qquad \dots \\
 \> $c_n$ la concentration au temps $t= n$\\
\end{tabbing}

\emph{Tous les résultats de cette partie seront arrondis au centième.}

\begin{enumerate}
\item Calculer  $c_1$,  $c_2$ et  $c_3$.
\item Exprimer  $c_{n +1}$  en fonction de $ c_n$.
\item En déduire la nature de la suite $\left(c_n\right)$  et préciser sa raison.
\item Exprimer  $c_n$ en fonction de $n$.
\item  Si la fermentation se produit pendant 24 heures, calculer la concentration \emph{Streptomyces ambofaciens}
au bout de \np[h]{24}.
\end{enumerate}

\bigskip

PARTIE B :

\medskip

Après \np[h]{24} le milieu est renouvelé au sein du bioréacteur, à partir de ce moment on obtient le relevé suivant :

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Heures						&24 	&29		&32		&34 	&36		&38		&40\\\hline
Rang de l’heure :  $x_i$	&0		&5		& 8		&10		&12		&14		&16\\\hline
Concentration de \emph{Streptomyces
 ambofaciens }:  $y_i$		&7,95	&11,05	&12,05	&13,45	&14,15	&15,45	&16,75\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthogonal, construire un nuage de points  $M(x_i~;~y_i)$. En abscisse, pour le rang de
l’heure, on prendra comme échelle \np[cm]{1}  pour 2 heures et en ordonnée \np[cm]{1} pour \np[g/l]{2} ; on
positionnera l’intersection des axes de coordonnées au point de coordonnées (0~;~7).
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. \emph{On arrondira les coordonnées au dixième.}

Placer G dans le repère.
\item Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ par la méthode
des moindres carrés. \emph{Les coefficients seront arrondis à  $10^{-2}$ près}.
\item  On décide d’ajuster le nuage avec la droite (D) d’équation $y = 0,53x +8,03$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite (D) dans le repère précédent.
\item En utilisant cet ajustement affine, estimer par une méthode graphique la concentration de
\emph{Streptomyces ambofaciens} au bout de \np[h]{48} (la réponse sera accompagnée de tracés sur le graphique).
\item  À partir de quelle heure la concentration de \emph{Streptomyces ambofaciens} dépassera-t-elle \np[g/l]{30} ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} 

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Toutes les probabilités seront données à \boldmath{$10^{-3}$}\unboldmath près.}

\bigskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

Une entreprise agroalimentaire dispose d’un parc de machines d’ensachage toutes identiques.

La durée de vie en année d’une machine d’ensachage est une variable aléatoire X qui suit une loi
exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.

On rappelle que :    $ P( X\leqslant a)=1 -  \e^{-\lambda a}$

Sur l’\textbf{Annexe 3}, on donne la courbe de la fonction représentative $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par   

\[f(t) = \lambda\e^{-\lambda t }.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Caractérisation de la loi.
	\begin{enumerate}
	\item  Représenter graphiquement sur l’\textbf{Annexe 3} la probabilité $P(X > 20)$.
	\item Comment peut-on déduire du graphique la valeur de $\lambda$?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
Dans cette question, on prendra $\lambda = 0,1$.
\begin{enumerate}[resume]
\item  Quelle est la probabilité qu’une machine d’ensachage tombe en panne entre la dixième et la vingtième année ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

L’entreprise lance une production de paquets de préparation pour pancakes. Les paquets doivent contenir
\np[g]{650}  de préparation. On considère qu’un paquet est commercialisable s’il contient entre \np[g]{648} et \np[g]{652}.

On considère que la quantité Q, exprimée en grammes (g), de préparation réellement introduite dans les
paquets par une machine d’ensachage suit une loi normale d’espérance $\mu= 650$ et d’écart-type $\sigma= 1$.

A l’aide d’un logiciel, on obtient les résultats suivants :

\medskip
\framebox[\linewidth]{
\psset{xunit=2cm,yunit=9cm,arrowscale=1.5,comma=true,}
\begin{pspicture}(-4,-0.05)(3.6,0.475)
\psaxes[Ox=650,Oy=0,Dx=0.5,Dy=0.05,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-3.6,0)(3.2,0.43)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{-3.6}{3.2}{x 0 1 GAUSS}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linecolor=cyan,hatchwidth=0.5pt]{
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{-3.6}{-1}{x 0 1 GAUSS}
\psline(-1,0.24197)(-1,0)
}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linecolor=cyan,hatchwidth=0.5pt]{
\psline(2,0)(2,0.05399)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{2}{3.2}{x 0 1 GAUSS}
}
\uput[l](-2.7,0.07){\fbox{Zone A}}\psline{->}(-2.765,0.07)(-1.5,0.06)
\uput[u](2,0.11){\fbox{Zone B}}\psline{->}(2,0.129)(2.3,0.015)
\uput[u](-2.45,0.11){\footnotesize $P(X \leqslant 649)=\np{0.1587}$}
\uput[ur](2.08,0.06){\footnotesize $P(X \geqslant 652)=\np{0.023}$}
\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité qu’un paquet de préparation pour pancakes pris au hasard dans la
production a pour masse entre \np[g]{649} et \np[g]{652}.
\item Calculer la probabilité qu’un paquet de préparation pour pancakes pris au hasard dans la production a
pour masse moins de \np[g]{648}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C :}

\medskip
Les réglages de la machine d’ensachage ont été modifiés dans l’objectif d’obtenir une proportion $ p = 97\,\%$
de paquets de préparation commercialisables.
Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un premier échantillon
de 400 paquets fabriqués.
\begin{enumerate}
\item  En supposant que cet objectif a été atteint déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil de 95\,\% de la proportion de paquets de préparation commercialisables dans un échantillon de
taille 400.
\item Parmi les 400 paquets de l’échantillon, 381 sont commercialisables.

En utilisant l’intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on estimer au seuil de 95\,\% que
l’objectif a été atteint ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ ANNEXE 1 \hspace{1em} À rendre avec la copie}
\end{center}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 1 :~} Tableau de valeurs de la fonction \boldmath $f$ } 

\begin{center}

\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{1cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$t$&0&10&20&30&40&50&60\\\hline
$f(t)$&&&&&&&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{center}
\textbf{ ANNEXE 2 \hspace{1em}À rendre avec la copie}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2 :~} Courbe représentative de la fonction \boldmath $f$} 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(5,6.5)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1.5,-0.5)(4.5,6.2)
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-1.3,\n)(4.3,\n)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.3)(\n,6)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.0001}{2.28}{2 x mul x ln mul x add}
\uput[l](-0.75,6){\boldmath{$f(x)$}}  \uput[dl](3,6){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[dr](4.1,-0.35){\boldmath{$x$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{ ANNEXE~3\hspace{1em} À rendre avec la copie}
\end{center}\textbf{\textsc{Exercice 4 :~} Courbe représentative de la fonction \boldmath $f$}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=45cm,showorigin=false,comma=true}
\begin{pspicture}(0,0)(30,0.16)
\multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,0.155)}
\multido{\n=0+0.01}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(30.1,\n)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,Ox=0,Oy=0,Dx=2,Dy=0.02]{->}(0,0)(0,0)(30.3,0.155)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,Ox=0,Oy=0,Dx=2,Dy=0.02](0,0)(0,0)(30.3,0.155)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{30.1}{ 2.71828 x 0.1 neg mul exp 0.1 mul }
\uput[dl] (0,0.156){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](30.5,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles--Guyane 18 juin 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%%% Métropole 19 juin 2014
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies  19 juin 2014~\decofourright\\ [4pt]Métropole}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} 


On s'intéresse dans cet exercice à l'évolution de la production annuelle en Indonésie de la 
vanille, épice utilisée dans les industries agroalimentaire et cosmétique. 
Le tableau ci-dessous donne la production de vanille en Indonésie : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.7cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&1970	&1980	&1990		&1995 		&2000 		&2005		&2010 \\ \hline
Rang de l'année : $x_i$		&0 		&10 	&20			&25			&30			&35			&40\\ \hline
Production en tonnes : $y_i$&250 	&761 	&\np{1262}	&\np{1958} 	&\np{1681}  &\np{2366} 	&\np{2600} \\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize Source: FAOSTAT}
\end{tabularx}	
\end{center}					

\begin{enumerate}
\item 	On pose $z_i = \ln (y_i)$ 

Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant, en arrondissant les résultats à $10^{-2}$ près.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année : $x_i$ &0 	&10 &20	&25	&30	&35	& 40\\ \hline 				
$z_i$					& 	&	& 	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}	
\end{center}				
\item Représenter le nuage de points $M_i (x_i, z_i)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal sur l'annexe, page \pageref{stat}. 

\item Calculer les coordonnées, à $10^{-2}$ près, du point moyen G du nuage. Placer le point G sur le graphique. 
\item On réalise un ajustement affine de ce nuage de points $M_i\left(x_i~;~z_i\right)$. 

À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $D$ d'ajustement de $z$ en $x$ 
obtenue par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $10^{-4}$ près). 

Construire la droite $D$ sur le graphique de l'annexe, page \pageref{stat}. 
\item	En déduire, selon ce modèle d'ajustement, l'expression de la production $y$ en fonction du 
rang de l'année $x$. 
\item	Quelle serait, selon ce modèle d'ajustement, la production de vanille en Indonésie en 2015 ? 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

On injecte dans le sang par piqûre intraveineuse une dose de \np[cm^3]{2}  d'un antalgique. 

L'organisme du patient élimine 5\,\% du produit présent tous les quarts d'heure. 

On s'intéresse à la quantité d'antalgique, en mm$^3$, présent dans le sang du patient au bout de $n $
quarts d'heure après le début de l'injection. 

La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 2000$, $u_n$
représentant une estimation de la quantité d'antalgique en mm$^3$ présent dans le sang du patient 
après $n$ quarts d'heure.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 	Vérifier que la quantité de produit présent dans le sang du patient un quart d'heure après 
l'injection est égale à \np[mm^3]{1900}. 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$. 
		\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Interpréter le résultat. 
\item Le produit est jugé inefficace lorsque la quantité présente dans le sang est inférieure à \np[mm^3]{1500}. 
Déterminer au bout de combien de quarts d'heure le produit devient inefficace. On précisera la démarche choisie. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pendant une durée égale à $N$ quarts d'heure, on décide de réinjecter \np[mm^3]{500}  du même 
antalgique dès que la quantité du produit présent dans le sang devient inférieure à \np[mm^3]{1500}.
				
Compléter, sur l'annexe page \pageref{stat}, l'algorithme déterminant la quantité d'antalgique présent dans le sang du patient au bout de ces $N$ quarts d'heure. 
		\item En faisant fonctionner l'algorithme, déterminer la quantité d'antalgique présent dans le sang au bout de quatre heures. 
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

Le but de l'exercice est de suivre l'évolution d'une concentration de bactéries. 

Les unités choisies sont l'heure pour le temps et le million de bactéries par millilitre pour la concentration. 

\begin{center}
\textbf{Partie A }
\end{center}

On admet que la concentration de bactéries en fonction du temps est donnée à l'instant $t$ par 
$f(t)$ où $f$, fonction définie sur $[0,+\infty[$, est solution de l'équation différentielle $(E)$ :

 \[(E) :\quad  y' + 0,2 y = 8.\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 	Donner l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0, +\infty[$ . 
\item À l'instant $t = 0$, la concentration est de 4 millions de bactéries par millilitre. Donner 
l'expression de la concentration des bactéries en fonction du temps. 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$  par $f(t ) = - 36 \e ^{- 0,2 t} + 40$ et on note (C) sa 
courbe représentative dans un repère orthogonal. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ . Quelle interprétation graphique peut-on donner de cette limite ? 
\item	
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.\\ 
Calculer $f'(t)$ pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0, +\infty[$ . 
\item En déduire les variations de $f$ sur $[0, + \infty[$ . 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie C }
\end{center}

\medskip

On admet que $f(t)$ représente la concentration des bactéries étudiée dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal. On prendra \np[cm]{1}  pour 
une heure en abscisse et \np[cm]{1} pour 5 millions de bactéries par millilitre en ordonnée. 
\item 	En faisant apparaître les constructions utiles, déterminer graphiquement:
			\begin{enumerate}
			\item la concentration des bactéries au bout de 6 h 30 ; 
			\item	le temps nécessaire pour que la concentration des bactéries soit supérieure à 35 millions 
					de bactéries par millilitre. 
			\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  5 points}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A }
\end{center}


Un laborantin dispose d'un stock de pipettes jaugées. Une pipette est considérée conforme au 
cahier des charges si son volume est compris entre 24,95 et 25,05~ml.
 
On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à toute pipette prise au hasard dans le stock, 
associe son volume en ml. Le fabricant affirme que $Y$ suit la loi normale d'espérance $25$ et 
d'écart type $0,03$. 

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité 
pour qu'une pipette prise au hasard soit conforme au cahier des charges, selon les affirmations du fabricant. 
\item Le laborantin prélève un échantillon de $100$ pipettes et constate que seulement $83$ d'entre 
elles sont conformes au cahier des charges. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de 
		pipettes conformes dans un échantillon de taille 100 (on donnera les bornes de 
		l'intervalle à $10^{- 4}$ près). 
		\item La fréquence de pipettes conformes observée remet-elle en question l'affirmation du 
		fabricant ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B }
\end{center}

Dans cette partie, on s'intéresse aux défaillances d'une machine qui fabrique les pipettes. 
Lorsqu'une révision complète de cette machine a été effectuée, la durée de fonctionnement 
(en jours) avant une défaillance est une variable aléatoire notée $X$ qui suit la loi exponentielle 
de paramètre $\lambda = 0,005$. 

On rappelle que, dans ces conditions, pour tout $t$ positif, la probabilité que cette machine ait 
une défaillance avant un temps $t$ est égale à $\displaystyle P(X \leqslant t) = \int_0^t \lambda\e^{-\lambda x}\mathrm{d}x$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\displaystyle \int_{0}^{t} 0, 005 \e^{- 0,005x}\mathrm{d}x = 1- \e^{- 0,005 t}$. 
\item Déterminer la probabilité $P(X \leqslant 200)$ à $10^{- 4}$ près. Quelle interprétation peut-on donner de 
cette probabilité ? 
\item Déterminer, à $10^{- 4}$ près, la probabilité que la machine ait une défaillance au-delà de 300 
jours après une révision complète. 
\item	Un arrêt pour entretien doit intervenir systématiquement lorsque la probabilité que la 
machine soit défaillante est égale à 0,5. 

Au bout de combien de jours faut-il prévoir l'arrêt pour l'entretien de cette machine ? 
 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{{\large ANNEXE } (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 1}
\psset{xunit=0.16cm,yunit=1.6cm}

\begin{pspicture}(-2,-0.4)(85,6.1)
\multido{\n=0+0.25}{23}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(85,\n)}
\multido{\n=0+2.505}{35}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,5.5)}
\psaxes[Ox=0,Oy=5,Dx=10,Dy=1,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(85,5.5)
\uput[d](0,-0.1){$0$}\uput[d](85,-0.01){$x$}\uput[l](0,5.5){$z$}
\end{pspicture}


\vspace{1cm}

EXERCICE 2 
 \begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}
\hline
Variables:& $u$ nombre réel, $N$ entier \\
Entrée: & Saisir $N$ \\
Traitement:& \\
    & Affecter à $u$ la valeur \np{2000} \\
	&Pour $i$ allant de $1$ à \dots\dots 	faire \\
	&Affecter à $u $la valeur $u$ $\times \dots	$\\ 
	&Si $u$ est inférieur à \dots\dots \\ 
	&Alors affecter à $u$ la valeur $u + \dots\dots	$\\	
&Fin si \\
&Fin pour \\
&Afficher $u$ \\
Fin &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\label{stat}
%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole 19 juin 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%%% Métropole 11 septembre 2014
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{11 septembre 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[4pt]11 septembre 2014 }}
\end{center}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip

Une entreprise fabrique en très grande quantité des gélules vides destinées à l'industrie
pharmaceutique. La fabrication est faite à l'aide d'une machine.

On admet que la masse $M$, en milligrammes, d'une gélule suit une loi normale d'espérance $66$ et d'écart type $0,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité pour qu'une gélule prise au hasard ait :
	\begin{enumerate}
		\item une masse comprise entre 65 et 67 mg.
		\item une masse inférieure à 65,5 mg.
Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Une gélule est considérée comme conforme si sa masse est comprise entre 65 et 67 mg. La
probabilité pour qu'une gélule soit considérée comme conforme est égale à 0,95.
	
On prélève au hasard un lot de 50 gélules. On suppose que l'effectif est assez important pour
pouvoir assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
	
On désigne par $X$ le nombre de gélules considérées comme conformes dans ce lot.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Déterminer $n$ et $p$.
		\item Déterminer la probabilité que le lot contienne 50 gélules conformes.
		
Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse maintenant à la couleur de chaque gélule. On prélève un lot de \np{1000} gélules dans la production quotidienne de la machine. Dans cet échantillon, 43 gélules présentent un défaut de teinte.
	
Déterminer l'intervalle de confiance à 95\,\% de la proportion de gélules présentant un défaut de teinte.
	
Les bornes de l'intervalle seront arrondies à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}   

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans une expérience de laboratoire, sous certaines conditions, une population de bactéries double toutes les heures. Initialement, on compte \np{1000}~bactéries. On souhaite déterminer l'heure où il y en aura dix fois plus.
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les trois algorithmes suivants, quel est celui répondant au problème ?
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.1cm}|X|m{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 1}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 2}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 3}}\\
$N$ prend la valeur \np{1000}&&N prend la valeur \np{1000}&&N prend la valeur \np{1000}\\ 
$H$ prend la valeur 0&&Tant que $N < \np{10000}$ faire&&$H$ prend la valeur 0\\
Tant que $N < \np{10000}$&&$N$ prend la valeur $2 \times N$&&Tant que $N < \np{10000}$ faire\\
faire&&Fin Tant que&&$H$ prend la valeur $H + 1$\\
$N$ prend la valeur $2 \times N$&&$H$ prend la valeur $H + 1$&&$N$ prend la valeur $2 \times N$\\
Fin Tant que&&Afficher $H$&&Fin Tant que\\
Afficher $H$&&&&Afficher $H$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx} 
\medskip

		\item Quelle sera la valeur affichée par l'algorithme répondant au problème posé?
	\end{enumerate}
\item Dans une autre expérience, au début il y a 300 anticorps et 500 bactéries. Les anticorps augmentent
de 10\,\% par heure, les bactéries augmentent de 7\,\% par heure.
	
On note $a_n$ et $b_n$ respectivement le nombre d'anticorps et de bactéries à l'heure $n$.
	
Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 500$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1}= 1,1 \times a_n$, et en déduire une expression de $a_n$ en fonction de $n$.
		\item Exprimer par une démarche analogue $b_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $a_n > b_n$. En déduire l'heure à partir de laquelle il y aura plus d'anticorps que de bactéries.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip

Les deux parties de l'exercice proposent une approche différente de l'étude cinétique d'une réaction
catalysée par la $\beta$-fructosidase.

La vitesse initiale $v$ de la réaction a été mesurée en présence de différentes concentrations, notées $s$, de substrats dans des conditions identiques de pH et de température. Les résultats sont les suivants :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Concentration de substrat $s_i$ en mmol.L$^{-1}$	& 0,1	& 0,2	&0,3	& 0,5	& 1		& 1,3\\ \hline
Vitesse initiale $v_i$ en $\mu$mol par minute		& 4,5	&5,6 	&6,3	& 6,9	& 7,7	& 8,1\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A : Utilisation d'un changement de variable}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On effectue les changements de variable : $x_i = \dfrac{1}{s_i}$ et $y_i = \dfrac{1}{v_i}$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ 	&10		&	& 	& 	& 	& \\ \hline
$y_i$	&0,22	&  	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessus (valeurs arrondies à $10^{-2}$ près).
		\item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i,~y_i\right)$ sur une feuille de papier millimétré.
		
On choisira 1 cm pour 1 en abscisse et 1 cm pour $0,02$ en ordonnée.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par la méthode des moindres carrés, déterminer une équation de la droite d'ajustement $D$
sous la forme $y = a x + b$ ($a$ est arrondi à $10^{-4}$ près et $b$ est arrondi à $10^{-2}$ près).
		\item Tracer la droite $D$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}		
\item On admet que la $\beta$-fructosidase suit le modèle de Michaelis-Menten et on peut alors écrire :
	
$\dfrac{1}{v} = \dfrac{K_M}{v_{\text{max}}} \times \dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{v_{\text{max}}}$ où $v_{v_{\text{max}}}$ est la vitesse initiale maximale et $K_M$ est la constante de Michaelis
spécifique de la $\beta$-fructosidase.
	
On admet que $a = \dfrac{K_M}{v_{\text{max}}}$  et $b = \dfrac{1}{v_{\text{max}}}$ où $a$ et $b$ sont les valeurs obtenues à la question \textbf{2. a}.

En déduire $v_{\text{max}}$ à $10^{-2}$ près, puis $KM$ à $10^{-4}$ près.

 \end{enumerate}
 
\begin{center} 
\textbf{Partie B : Utilisation d'une représentation de Michaelis-Menten}
\end{center}
 
Sur l'annexe, on a placé les points $N_i\left(s_i,~v_i\right)$ relevés expérimentalement et on a tracé la courbe de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
 
\[f(s)= v = \dfrac{s}{0,01+0,12s} = \dfrac{1}{\dfrac{0,01}{s} + 0,12}.\]

On estime que cette courbe $C$ est un ajustement acceptable des relevés expérimentaux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $v$ lorsque $s$ tend vers $+ \infty$. Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
		\item En déduire que la courbe $C$ admet une asymptote que l'on tracera sur l'annexe.
		\item En admettant que $v_{\text{max}}$ est la limite de $v$ quand $s$ tend vers  $+ \infty$, donner $v_{\text{max}}$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre graphiquement $f(s) = \dfrac{v_{\text{max}}}{2}$. On laissera apparents les traits de construction.

Remarque : la solution est appelée la constante de Michaelis $K_M$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}   

\begin{center}

\textbf{Partie A}
\end{center}

Soit l'équation différentielle (E) : 

\[y' + 0,2y = 100\]

où $y$ est une fonction dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E).
\item Démontrer que la solution $y$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale
$y(0) = 0$ est la fonction $y$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $y(t) = 500\left(1 - \text{e}^{-0,2t}\right)$.
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{Partie B}
\end{center}

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(t) = 500\left(1 - \text{e}^{-0,2t}\right).\]

On désigne par $C_1,$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. Que représente la droite $D$ d'équation $y = 500$ pour la courbe $C_1$ ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		
Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\: $f'(t) = 100\text{e}^{-0,2t}$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C : exploitation des résultats de la partie B}
\end{center}

Lors de l'étude de la progression d'une épidémie sur une population de \np{2000}~personnes, on a établi que
le nombre d'individus contaminés à la date $t$, exprimée en jours, est donné par :

\[f(t) = 500\left(1 - \text{e}^{-0,2t}\right)\quad  \text{pour } t \text{ entre }\: 0 \text{ et }\: 30.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Combien de personnes sont contaminées après un jour d'épidémie ? Après dix jours ? Les résultats
seront arrondis à l'unité près.
\item De quel pourcentage a augmenté le nombre de personnes contaminées entre le premier et le dixième
jour de l'épidémie? On donnera la réponse en \%, arrondie au centième près.
\item Le tiers de la population peut-il être contaminé ?
\item Au bout de combien de jours, le huitième de la population est-il contaminé ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3 :} Points $N_i\left(s_i,~n_i\right)$ et représentation graphique de la fonction $f$ définie par :
\end{flushleft}

\[f(s) = v = \dfrac{s}{0,01 + 0,12s}\quad  \text{où}\: v \:\text{est en $\mu$mol par minute et $s$ en mmol par litre}.\]

\vspace{1cm}

\psset{xunit=8cm,yunit=0.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-1.5)(1.6,10)
\multido{\n=0.00+0.05}{33}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,10)}
\multido{\n=0.0+0.5}{21}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,linewidth=0.2pt](0,\n)(1.6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1]{->}(0,0)(0,0)(1.6,10)
\uput[r](0,9.8){$v$ en micromole par minute}
\uput[u](1.44,0){$s$ en mmole par L}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.1,4.5)(0.2,5.6)(0.3,6.3)(0.5,6.9)(1,7.7)(1.3,8.1)
\uput[dr](0.1,4.5){$N_1$} \uput[dr](0.2,5.6){$N_2$} \uput[dr](0.3,6.3){$N_3$} \uput[dr](0.5,6.9){$N_4$} 
\uput[ul](1,7.7){$N_5$} \uput[ul](1.3,8.1){$N_6$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.6}{x 0.12 x mul 0.01 add div}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole 11 septembre 2014
\end{document}