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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 2015}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\pagestyle{fancy}

\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  2016~\decofourright\\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à septembre 2015}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie 11 juin 2015} \dotfill \pageref{Polynesie}\\  
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane 16 juin 2015} \dotfill \pageref{Antilles}\\
\hyperlink{Metropole}{Métropole 18 juin 2015} \dotfill \pageref{Metropole}\\
%\hyperlink{Antillessep}{Antilles septembre 2015} \dotfill \pageref{Antillessep}\\ 
\hyperlink{Metropolesep}{Métropole 7 septembre 2015} \dotfill \pageref{Metropolesep} 
%\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie  novembre 2015}  \dotfill \pageref{Caledonienov}
\end{tabularx}

\newpage

\newpage
%%%%%%%%%%%%% Polynésie 11 juin 2015
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies   Polynésie 11 juin 2015~\decofourright}}
\end{center}
    
\vspace{0,3cm}
 
La calculatrice (conforme à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de  la qualité de la rédaction   dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}   

\medskip



Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.

\smallskip

\textbf{Indiquer, sans justification, le numéro de la question et la réponse correspondante sur la copie.}

\begin{enumerate}
\item  On admet qu’une valeur mesurée suit une loi uniforme sur [0,995~;~1,005]. La probabilité que la valeur mesurée soit comprise entre 0,998 et 1,002 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,01 &\textbf{b.~~}0,004  &\textbf{c.~~}0,4 &\textbf{d.~~} 0,03
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans cette question, l’unité de mesure est le micromètre.

Un élève mesure le diamètre de cellules de levure. Dans cette question, on admet que le résultat de la mesure $X$ suit une loi normale d’espérance 6 et d’écart type 2.

La probabilité d’obtenir une mesure comprise entre 4 et 8 vaut à $10^{-3}$ près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,954&\textbf{b.~~}0,876   &\textbf{c.~~}0,683 &\textbf{d.~~} 0,512
\end{tabularx}

\medskip

\item Des élèves mesurent le diamètre de cellules de levure.

Ils effectuent 50 mesures et observent que 15 d’entre elles donnent des diamètres supérieurs à $\np[\micro m]{10}$.

Le nombre $p$ désigne la proportion de cellules dont le diamètre est supérieur à $\np[\micro m]{10}$ .
L’intervalle de confiance de $p$, au niveau de confiance 95\,\% avec des valeurs à $10^{-3}$ près, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} [0,282~;~0,318]&\textbf{b.~~} [0,173~;~0,427] &\textbf{c.~~}[9,7~;~10,3]
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On injecte dans le sang d’un malade un médicament à l’aide d’une perfusion. L’efficacité de ce
médicament est optimale lorsque le débit de la perfusion est stable et que la concentration du produit ne
dépasse pas 250 microgrammes (\micro g) par cm$^3$, seuil au-delà duquel des effets indésirables et toxiques
apparaissent.

On relève l’évolution de la concentration de ce médicament et on obtient les résultats suivants :

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Temps $t_i$ en minutes						&0	& 2& 4 &6	& 10 &12	& 15\\\hline
Concentration $c_i$ en $\micro g$ par cm$^3$&0 	&64&94 &130	& 195&220	& 230\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip
\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$.}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}


On pose : $y_i = \ln \left(250 - c_i\right)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant (donner des valeurs arrondies à $10^{-2}$ ) :

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3cm}|*{7}{p{1.15em}|}}
\hline
Temps $t_i$ en minutes 				&0	& 2	& 4	& 6	& 10&12	& 15\\\hline
$y_i = \ln \left(250 - c_i\right)$	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\smallskip

\item  Dans un repère orthogonal d’unités \np[cm]{1} en abscisse et \np[cm]{2}  en ordonnée, représenter le nuage de points $M_i\ \left(t_i~;~ y_i\right)$ de la série statistique définie par le tableau précédent.
\item  Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ d’ajustement affine de $y$ en $t$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Représenter cette droite dans le repère précédent.
\item  En déduire une relation entre la concentration $c$ et le temps $t$ sous la forme $c = A + B \text{e}^{k t}$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip 

Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par  $f(t) = 250 - 284,29\text{e}^{- 0,17t}$.


On admet que la fonction $f$ donne une bonne approximation de la concentration du médicament.

La courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et son asymptote $D_1$ d’équation $y = 250$ sont données en annexe 1, page \pageref{medicament}.

\begin{enumerate}
\item  En justifiant, déterminer graphiquement le signe de la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item En justifiant, déterminer graphiquement la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Justifier que la concentration du médicament ne dépasse pas $\np[\micro g]{250}$  par cm$^3$.
\item
	\begin{enumerate}
	\item Résoudre sur $[0~;~+\infty[$ l’inéquation $f(t) > 180$.
	\item En déduire, à une minute près, le temps nécessaire pour atteindre la dose efficace qui est de $\np[\micro g]{180}$ par cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item  Retrouver ce résultat en utilisant le graphique de la partie A (on expliquera la démarche utilisée 
en laissant les traits de construction apparents).
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}
\medskip
On considère l’équation différentielle (E) : $y' + \np{0,0865} y = 0 $ où $y$ est une fonction dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

\begin{enumerate}
\item Résoudre cette équation.
\item Déterminer la fonction $f$ solution de (E) vérifiant la condition initiale : $f(0) = 4$.
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}
\medskip

Le but de cette partie est l’étude de la décroissance radioactive de l’iode 131.

On considère la fonction $N$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $N(t) = 4 \text{e}^{-0,0865 t}$.

On admet que $N(t)$ donne le nombre de noyaux, exprimé en millions, d’iode 131 présents dans un
échantillon à l’instant $t$ exprimé en jours.

On note $C$ la courbe représentative de la fonction $N$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $N(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. En donner une interprétation physique.
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Soit $N '$ la fonction dérivée de $N$. Calculer $N '(t)$ .
	\item Étudier le signe de $N'$ , puis dresser le tableau de variation de la fonction $N$.
	\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C$ au point d’abscisse 0.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabular}{|c|*{12}{p{0.5cm}|}}\hline
$t$ en jours 	&0 	&2	&4 	&6	&8	&10	&12	&14 &16	&18	&20	&25\\\hline
$N(t)$			&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabular}
\medskip

\emph {On donnera des valeurs approchées à $0,1$ million.}
\item Construire $T$ et $C$ dans le repère orthogonal donné en annexe 2, page \pageref{iode}.
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Calculer au bout de combien de jours le nombre de noyaux radioactifs est inférieur à \np{750000}.
	\item Retrouver ce résultat graphiquement (on laissera les traits de construction apparents).
	\end{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le temps nécessaire pour que le nombre de noyaux radioactifs passe de 4~millions à 2~millions, de 2~millions à 1~million, de 1~million à \np{500000}.
	
Cette valeur est appelée durée de demi-vie de l’iode 131.
	\end{enumerate}
	
\vspace{0.5cm}
	
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\medskip

Une population de bactéries a la propriété de doubler toutes les heures dans des conditions particulières.

On suppose que cette capacité de doublement ne dépend pas du nombre initial de bactéries.

Lors d’une expérience, Camille décide d’ajouter, chaque heure, un millier de bactéries du même type.

\medskip

Elle écrit l’algorithme ci-contre : \hspace{2em}
\begin{tabular}{|l|}\hline
Saisir $N$\\
$H$ prend la valeur 0\\
$V$ prend la valeur $N$\\
Tant que $V < 10^5$\\
\hspace{1.6em}$H$ prend la valeur $H + 1$\\
\hspace{1.6em}$V$ prend la valeur $2 * V + \np{1000}$\\
Fin Tant que\\
Afficher $H$\\\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour $N = \np{10000}$ ?
\item On note  $V_n$ le nombre de bactéries à la $n\ieme{}$ heure, $n$ étant un entier naturel. On admet que  $V_0 =\np{10000}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer  $V_{n+1}$  en fonction de  $V_n$ .
		\item La suite $\left(V_n\right)$ est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

Camille recommence l’expérience avec \np{10000} bactéries, dans des conditions différentes et sans ajouter de bactéries à chaque heure.

Elle constate que :
\begin{itemize}
\item[--] tant que le nombre de bactéries est strictement inférieur à \np{40000}, le nombre double toutes les
heures ;
\item [--]à partir de \np{40000} bactéries, le nombre augmente seulement de 50\,\% toutes les heures.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Modifier l’algorithme précédent pour prendre en compte ces nouvelles conditions.
\item Dans ces conditions, au bout de combien d’heures, le nombre de bactéries dépassera-t-il la valeur de~$10^5$ ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1(à rendre avec la copie)}
\end{center}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{xunit=0.84cm,yunit=0.041cm,arrowscale=1.5,showorigin=false}
\begin{pspicture}(0,0)(16,270)
\multido{\n=0+0.5}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,265)}
\multido{\n=0+10}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(16,\n)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=20,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(16,265)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=20,linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(16,265)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.75}{16}{ 2.71828 x 0.17 neg mul exp 284.29 neg mul 250 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{250}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](15.5,215){\blue $C$}\uput[u](15,250){$D_1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{medicament}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 3} }

\medskip

\begin{rotatebox}{90}{
\psset{xunit=0.8cm,yunit=1.6cm,arrowscale=1.5,showorigin=false,comma=true}
\begin{pspicture}(0,0)(23.5,7)
\multido{\n=0+0.5}{47}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0+0.25}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(23.5,\n)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=10,linewidth=1pt](0,0)(23.5,6)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=10,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](22,0){$t$ \emph{\small en jours}}\uput[ur](0,5.75){$N(t)$ \emph{\small en millions}}
\multido{\n=0+1}{7}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\multido{\n=0.5+1.0}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\end{pspicture}}
\end{rotatebox}
\label{iode}
%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 2015 
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies Antilles-Guyane~\decofourright\\[4pt]18  juin 2015}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} 

\medskip

On s'intéresse, dans cet exercice, à l'évolution annuelle en France de la production primaire d'énergie par l'éolien entre 2002 et 2012.

Le tableau ci-dessous donne cette évolution en kilotonnes équivalent pétrole (ktep).

\medskip


La \og tonne équivalent pétrole \fg, ou tep, est une unité de mesure de l'énergie correspondant au pouvoir calorifique d'une tonne de pétrole, c'est-à-dire à la quantité de chaleur dégagée par la combustion par le dioxygène d'une tonne de pétrole.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 								&2002 	&2004 	&2006 	&2008 	&2010 	&2012\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$				&2 		&4 		&6 		&8 		&10 	&12\\ \hline
Production d'énergie (ktep) : $y_i$	&26 	&54 	&192 	&495 	&860 	&\np{1290}\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source : INSEE}}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à $10^{-2}$ près:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 						&2002 	&2004 	&2006 	&2008 	&2010 	&2012\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$		&2 		&4 		&6 		&8 		&10 	&12\\ \hline
$z_i = \ln \left(y_i\right)$&  		&		&		& 		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter sur papier millimétré le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~z_i\right)$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. \emph{On prendra $1$ cm comme unité.}
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage, arrondir les résultats à $10^{-1}$ près.

Placer le point G sur le graphique.
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $D$ d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $10^{-2}$ près).
\item Dans la suite de l'exercice, on prendra pour $D$ l'équation $z = 0,41x + 2,56$.

Tracer $D$ dans le repère précédent.
\item Déduire des questions précédentes une expression de $y$ en fonction de $x$.
\item En utilisant la question précédente, à partir de quelle année la production annuelle en France d'énergie par l'éolien dépasserait-elle les \np{10000}~ktep ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} 

\medskip

Les autorités de santé d'une grande ville s'intéressent aux enfants et aux jeunes adultes atteints d'asthme.

En 2011, on a recensé environ $850$ nouveaux cas.

À partir de 2011, le nombre de nouveaux cas déclarés augmente environ de 2,5\,\% par an.

On désire modéliser la situation par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 850$.

Ainsi, $u_n$ modélise le nombre de nouveaux cas en $(2011 + n)$.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de nouveaux cas en 2012 et en 2013.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
		\item  Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item  En déduire le nombre de nouveaux cas en 2020.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer à partir de quelle année on dépassera les 1 400 nouveaux cas.
\item  On propose l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :}		& $U$, $S$, $N$\\
\textbf{Initialisation :}	&\\
							&Affecter à $U$ la valeur 850\\
							&Affecter à $S$ la valeur U\\
							&Affecter à $N$ la valeur 0\\
\textbf{Traitement :}		&\\
							&Tant que $S < \np{6000}$\\
							&\hspace{1cm}Affecter à $U$ la valeur $U \times 1,025$\\
							&\hspace{1cm}Affecter à $S$ la valeur $S + U$\\
							&\hspace{1cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
							&Fin tant que\\
\textbf{Sortie :}			&\\
							&\hspace{1cm}Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Que représente $S$ dans cet algorithme ?
		\item Déterminer la valeur finale obtenue pour $N$ avec cet algorithme.
		\item Les autorités sanitaires de la ville ont décidé que le seuil d'alerte est atteint pour \np{6000}~nouveaux cas déclarés depuis 2011.
		
En supposant que le nombre de nouveaux cas évolue de la même manière, déterminer l'année à
partir de laquelle cela se produira.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} 

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \left(x^2 - 1,5x\right)\text{e}^x + b,\]

où $b$ désigne un nombre réel. Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J) du plan.
 
\bigskip
 
\textbf{PARTIE A : détermination de la fonction }\boldmath $f$\unboldmath

\medskip

Supposons que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(0~;~3).

\medskip

\begin{enumerate}
\item En déduire la valeur de $f(0)$.
\item En utilisant la question 1, déterminer la valeur du nombre $b$.
\end{enumerate}

\medskip

Dans toute la suite du problème, on admettra que pour tout réel $x$, 

\[f(x) = \left(x^2 - 1,5x\right)\text{e}^x + 3.\]

\medskip
 
\textbf{PARTIE B : étude de la fonction }\boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Sachant que la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ est 3, qu'en déduit-on pour la courbe représentative de $f$ ?
	\end{enumerate}
\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par:

\[f'(x) = \left(x^2 + 0,5x - 1,5\right)\text{e}^x.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $x^2 + 0,5x - 1,5 = 0$ dans $\R$.
		\item En déduire le signe de $f'$ sur $\R$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs figurant dans l'annexe à joindre avec la copie, arrondir les résultats à $10^{-1}$ près.
		\item Représenter sur une feuille de papier millimétré la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $T$ dans le repère (O~;~I~;~J). \emph{On prendra comme unité $1$ cm.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par : 

\[F(x) = \left(x^2 - 3, 5x + 3,5\right)\text{e}^x + 3x.\]

Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Calculer l'aire du domaine $D$ du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.

Le résultat, dont on donnera la valeur exacte puis une valeur arrondie au dixième, sera exprimé en
cm$^2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} 

\medskip

\emph{Les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près.}

\smallskip

Une usine pharmaceutique fabrique des comprimés. Elle est dotée d'un service \og contrôle et qualité \fg{} qui est chargé de trier les comprimés et d'écarter ceux qui ont un défaut d'enrobage.

Lors d'un contrôle, ce service constate que 4\,\% des comprimés ont un défaut d'enrobage.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Un technicien, responsable de la chaîne de fabrication, prélève un échantillon de $200$~comprimés.

La production de comprimés est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à
un tirage aléatoire avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $200$ comprimés, associe le nombre de comprimés présentant un défaut d'enrobage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.
\item Déterminer la probabilité de l'évènement A \og L'échantillon contient exactement 3 comprimés
présentant un défaut d'enrobage \fg.
\item Déterminer la probabilité de l'évènement B \og Le prélèvement contient au moins 3 comprimés
présentant un défaut d'enrobage \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On décide d'approcher la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de comprimés présentant un défaut
d'enrobage dans l'échantillon de $200$ comprimés de la partie A par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'on prenne $\mu = 8$ et $\sigma \approx  2,77$ (valeur arrondie à $10^{-2}$ près).
\item Calculer $P(Y \leqslant 6)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Le technicien estime que ce pourcentage de 4\,\% de comprimés présentant un défaut d'enrobage est trop
élevé. Il décide alors de régler la machine pour abaisser ce taux à 0,8\,\%.

Après avoir terminé son réglage, le technicien fait un prélèvement de $700$~comprimés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des comprimés présentant un défaut d'enrobage dans cet échantillon de $700$~comprimés $\left(\text{arrondir à } 10^{-3}\right)$.

\medskip

Parmi les $700$ comprimés, le technicien trouve $10$ comprimés présentant un défaut d'enrobage.

\medskip

\item Déterminer la fréquence des comprimés présentant un défaut d'enrobage dans cet échantillon.
\item Le technicien peut-il considérer son réglage efficace ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\vspace{0,5cm}


\textbf{EXERCICE 3 :}

\medskip

\textbf{Partie B :}
\medskip

\textbf{5. a.} Compléter le tableau de valeurs ci-dessous, arrondir les résultats à $10^{-1}$ près.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&$-5$ 	&$-4$	&$-3$	&$-2$	&$-1,5$	&$-1$	&$-0,5$	&0	&0,5	&1	&1,5	&2\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&		&		&		& 3	&		&	& 3		&10,4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane juin 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole La Réunion juin 2015
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{18 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies   Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt] 18 juin 2015 }}
\end{center}
    
\begin{center}
\vspace{0,3cm}
 
Calculatrice autorisée conformément à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.

\medskip

Le candidat doit traiter les quatre exercices. Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

\medskip

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront
prises en compte dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,25cm}
\end{center}
\normalsize
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}   

\medskip

\emph{Les trois parties sont indépendantes. Tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$, à l’exception de la question $2$. de la partie C.}

\smallskip

Des dentistes d’une région se sont constitués en association de façon à confronter leurs
expériences.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les dentistes de cette association ont constaté que $37\,\%$ de leurs patients ont un problème de carie dentaire. On considère un échantillon de $150$ personnes prises au hasard parmi les patients de ces dentistes, suffisamment nombreux pour assimiler 1e choix de cet échantillon à un tirage avec
remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes de cet échantillon ayant un problème de carie dentaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
\begin{enumerate}
\item $A$ : \og Exactement 50 personnes parmi les 150 ont un problème de carie dentaire. \fg
\item $B$ : \og Au moins 60 personnes parmi les 150 ont un problème de carie dentaire. \fg

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une société qui fabrique le dentifrice souhaite augmenter sa part de marché. Elle envisage pour
cela de modifier le goût de son dentifrice.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avant de modifier le goût, elle a demandé aux dentistes adhérents de l’association d’interroger leurs patients. Parmi les patients de ces dentistes qui utilisent ce dentifrice, $200$ personnes ont été choisies au hasard et $45\,\%$ d’entre elles ont déclaré apprécier le goût du dentifrice. 

On note $p$ la proportion de personnes appréciant le goût du dentifrice parmi les patients qui utilisent ce dentifrice avant la modification.

Déterminer l’intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance de $95\,\%$.
\item Le goût a été modifié et une nouvelle étude est menée auprès de $300$~personnes choisies au
hasard parmi les patients des dentistes de l’association. Parmi ces $300$~personnes, $165$ ont
apprécié le nouveau goût du dentifrice.

Au vu des résultats, le chef de projet de la société lance la production de ce nouveau
dentifrice. Que penser de la décision du chef de projet ? 

Justifier la réponse en exploitant un deuxième intervalle de confiance.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un des dentistes de l’association souhaite remplacer son microscope et se renseigne sur un
nouveau modèle. Il s’intéresse notamment à la durée de fonctionnement sans défaillance de la
lampe de cet appareil. Un de ses confrères lui conseille une marque proposant un modèle dont la
durée de fonctionnement sans défaillance (en heures) est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a représenté la courbe de la fonction de densité $f$ de cette loi exponentielle dans un
repère orthogonal (l’aire totale sous la courbe vaut alors une unité d’aire).

\begin{center}
\newrgbcolor{wqwqwq}{0.3764705882352941 0.3764705882352941 0.3764705882352941}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=3.2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.7,-0.15)(8.7,2.25)
\pscustom[linecolor=wqwqwq,hatchcolor=wqwqwq,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.1]{\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{5.}{15.}{2.0*2.718281828459045^(-0.2*x)}\lineto(15.,0)\lineto(5.,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{8.7}{2.0*2.718281828459045^(-0.2*x)}
\multips(0,0)(0,0.2){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(8.7,0)}
\multips(0,0)(0.5,0){20}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(0,2.25)}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=4,tickstyle=full,
ticksize=4pt,subticks=20]{->}(0,0)(0,0)(8.7,2.25)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](8,0.54){\blue $C_f$}
\rput[bc](-0.08,-0.08){0}
\multido{\i=1+1,\n=10000+10000}{8}
{%
\rput[bc](\i,-0.08){\np{\n}}
}
\multido{\i=1+1,}{2}
{%
\rput[c](-0.35,\i){\i $\times 10^{-5}$}
}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\medskip
%\psset{xunit=0.00013cm,yunit=100000cm,algebraic=true}
%\begin{pspicture*}(-10000,-0.000005)(87000,0.000021)
%\psaxes[Dx=10000,ylabelFactor=$\times 10^{- 5}$]{->}(0,0)(-10000,-0.000005)(87000,0.000021)
%\pscustom[fillstyle=hlines]{
%\psplot[plotpoints=2000]{50000}{87000}{2*2.71828^(-0.00002*x)}
%\psline(87000,0)(50000,0)
%}
%\end{pspicture*}
\end{center}

Sachant que l’aire du domaine hachuré vaut $0,368$ unités d’aire, déterminer la probabilité
pour qu’une lampe de ce modèle prise au hasard ait une durée de bon fonctionnement de
moins de \np{50000} heures.

\medskip

\item La durée de vie moyenne d’une lampe de ce modèle est de \np{60000} heures.

En déduire une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-6}$ près.
\item Dans cette question, on choisit $\lambda = 0,00002$.

On rappelle la formule de probabilité : pour tout réel $t$ positif, $P(Y\leqslant t) = 1-\text{e}^{\np{- 0,00002} t}$

Calculer la probabilité qu’une lampe de ce modèle prise au hasard ait une durée de bon fonctionnement comprise entre \np{51000} et \np{64500} heures.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

L’objectif de cet exercice est d’identifier l’espèce microbienne présente dans deux populations
microbiennes A et B. Pour ce faire, on réalise, à partir de chacune d’elles, une préparation dont on détermine l’absorbance à intervalles de temps réguliers. L’absorbance, mesurant le trouble de la préparation, est proportionnelle à la densité de la population microbienne présente dans la
préparation.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Voici les résultats obtenus à partir de la population microbienne A durant sa phase de croissance
exponentielle :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.95cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en minutes			&30		&40		&50		&60		&70		&80		&90		&100\\\hline
Absorbance $y_i$ (sans~unité)	&0,072	&0,100	&0,134	&0,199	&0,295	&0,398	&0,599	&0,791\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant (arrondir au centième) :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en minutes	&30	&40	&50	&60	&70	&80	&90	&100\\\hline
$z_i=\ln(y_i)$			&	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter le nuage de points $M_i\left(t_i~;~z_i\right)$ dans le repère de l’annexe 1.
\item
\begin{enumerate}
\item À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ d’ajustement de $z$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{-4}$.

\item Tracer la droite $D$ dans le repère de l’annexe 1. 
\end{enumerate}
Dans la suite, on admet que la droite $D$ a pour équation $z = 0,035 t - 3,705$.
\item Le coefficient directeur de la droite $D$ représente la vitesse spécifique de croissance
exponentielle (exprimée par minute) de la population microbienne A.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la vitesse spécifique de croissance exponentielle, exprimée par minute, de la population microbienne A.
		\item Déterminer l’espèce microbienne présente dans la préparation réalisée à partir de la population microbienne A, sachant qu’il s’agit de l’une des trois référencées en annexe 2.

Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on s’intéresse à la préparation effectuée à partir de la population microbienne B.

La phase de croissance exponentielle démarre au bout de 60 minutes et l’absorbance vaut alors 1,7. Cette phase de croissance exponentielle dure au moins 210 minutes.

On note $f(t)$ l’absorbance de cette deuxième préparation pour tout temps $t$ exprimé en minutes.

On admet que la fonction $f$ ainsi définie est solution de l’équation différentielle
(E) : $y' = 0,0058 y$ sur $[60~;~270]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l’équation différentielle (E).
		\item On sait que $f(60) = 1,7$. Déterminer une expression de $f (t)$ pour tout $t$ de $[60, 270]$.
	\end{enumerate}
	\medskip
	
Dans la suite, on prend pour tout réel $t$ de $[60~;~270]$,\: $f(t)= 1,2\text{e}^{\np{0,0058}t}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[60~;~270]$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l’équation $f (t) = 3,4$ sur $[60 , 270]$.
		\item La durée nécessaire au doublement de l’absorbance et évaluée depuis le début de la
phase de croissance exponentielle représente le temps de génération de la population
microbienne B.

En déduire l’espèce microbienne présente dans la préparation réalisée à partir de la
population microbienne B, sachant qu’il s’agit de l’une des trois référencées en
annexe 2. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Le 1\ier{} janvier 2014, le père de Flo a planté des thuyas d’une hauteur de 60 cm. On admet que leur hauteur augmente de 12\,\% chaque année.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Flo voudrait savoir en quelle année la haie de thuyas atteindra sa hauteur sachant qu’elle—même
mesure 1,70 m et ne grandit plus. Pour cela, on emploie deux méthodes différentes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{En utilisant un algorithme}

On considère l’algorithme ci-dessous :

\begin{center}

\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Variables:} \\
$n$ entier naturel, $h$ réel\\
\textbf{Initialisations:}\\
Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $h$ la valeur 60\\
\textbf{Traitement :}\\
Tant que $h < 170$\\
\hspace{2em}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\hspace{2em}Affecter à $h$ la valeur $1,12\times h.$\\
Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher n\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Indiquer, dans un tableau, les valeurs successives prises par les variables $n$ et $h$ lors du déroulement de l’algorithme, jusqu’à son arrêt (les résultats seront arrondis à $10^{-1}$) :
		\item Quelle valeur cet algorithme affichera-t-il ? Interpréter concrètement ce résultat par
rapport à la situation étudiée.
	\end{enumerate}
\item \emph{Sans utiliser l ’algorithme}

Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur en centimètres des thuyas le 1\ier{} janvier $2014+n$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $h_0$. Expliquer pourquoi $h_1 = 67,2$.
		\item Exprimer $h_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
		\item En posant une inéquation, répondre à la question de Flo.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dès que la haie atteint $1,70$~m, le père de Flo décide de réduire sa hauteur de 15 cm. Ensuite,
chacune des années suivantes, il taillera la haie de $15$~cm à la même date. La législation impose que la hauteur de la haie ne dépasse pas 2~m de haut.

Pendant combien d’années encore la hauteur de la haie respectera-t-elle la législation ? 

Expliquer la démarche utilisée.
	
\vspace{0.5cm}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)}
\end{center}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\vspace{2cm}
\psset{xunit=0.08cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,comma=true}
\begin{pspicture*}(-10.,-2.75)(160.,0.25)
\multips(0,-2.7)(0,0.1){31}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-10.,0)(160.,0)}
\multips(-10,0)(5.0,0){35}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.75)(0,0.25)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10.,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.,-2.75)(160.,0.25)
\rput[tl](1.4,0.2){$z$}
\rput[tl](155.20000000000027,-0.04){$t$}
\end{pspicture*}

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 \textbf{\textsc{(Exercice 2)} } vitesse spécifique de croissance exponentielle (par heure) et temps
de génération (en heures) de trois espèces microbiennes}
\end{center}
\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}m{4.5cm}|>{\centering}m{4.5cm}|>{\centering}m{4.5cm}|}
\hline
\textbf{Espèce microbienne}&\textbf{Vitesse spécifique de croissance exponentielle par heure}&\textbf{Temps de génération en heures}\tabularnewline
\hline
\rule[-3.5mm]{0mm}{9mm}\emph{Treponema pallidum}&0,02&33\tabularnewline
\hline
\rule[-3.5mm]{0mm}{9mm}\emph{S. cerevisae}&0,35&2\tabularnewline
\hline
\emph{E. coli}&2,10&0,33 (soit~environ~20~minutes)\tabularnewline
\hline
\end{tabular}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole La Réunion juin 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole La Réunion 7 septembre 2015
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies   Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt]7 septembre 2015 }}
\end{center}
    
\medskip
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}   

\medskip

Dans une grande salle parisienne, lors de huit concerts différents, on a relevé à l'aide d'un
sonomètre la pression acoustique (en Pascal : Pa) à laquelle est soumise l'oreille d'une personne
ainsi que le niveau d'intensité sonore (en décibel: dB) du bruit responsable de cette pression.

Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Pression acoustique : $p_i$ &0,5 	&1 		&3 	&5 	&7 		&10 	&13 	&15\\ \hline
Intensité sonore : $y_i$	&88 	&94 	&103&108&111 	&114 	&116 	&117\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nuage de points correspondant est donné ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(20,52)
\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=80,Dy=5](0,0)(20,50)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,linecolor=red,dotscale=2](0.5,8)(1,14)(3,23)(5,28)(7,31)(10,34)(13,36)(15,37)
\uput[d](10,-2.5){Pression acoustique (en Pa)}
\rput{90}(-2,25){Intensité sonore (en dB)}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Un ajustement affine du nuage de points semble-t-il pertinent ? Pourquoi ?
\item On pose $x_i = \log p_i$. On rappelle que la fonction log désigne la fonction logarithme décimal.

Reproduire et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $x_i$ à $10^{- 2}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i = \log p_i$ 			& 	& 		& 	& 	& 		& 		& 		&1\\ \hline
Intensité sonore : $y_i$	&88 &94 	&103&108&111 	&114 	&116 	&117\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le repère donné en annexe , représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$.
\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point sur le graphique
donné en annexe.
\item À l'aide de la calculatrice, en arrondissant les coefficients à $10^{-  2}$, donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Tracer cette droite dans le repère donné en annexe.
\item Lors d'un concert de \og The Who \fg{} en 1976, l'oreille des spectateurs a été soumise à la
pression de $20$~Pa.

Déterminer l'intensité sonore atteinte lors de ce concert. Le résultat sera donné au décibel
près.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}   

\medskip
Dans une entreprise fabriquant des lentilles optiques, on prélève au hasard un échantillon de $100$~lentilles sur une chaîne de production particulière. On considère ce prélèvement comme un tirage avec remise.

Une lentille est considérée comme étant conforme au cahier des charges de fabrication SI sa
vergence, exprimée en dioptries, est comprise entre $5,3$ et $5,6$.

Le service de contrôle de qualité de l'entreprise estime que 90\,\% des lentilles fabriquées sont
conformes.

Dans cet exercice toutes les probabilités seront arrondies à $10^{- 2}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $100$~lentilles, associe le nombre de
lentilles conformes de cet échantillon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de
cette loi.
\item  Déterminer la probabilité $p(X = 85)$.
\item  Déterminer les valeurs de l'espérance et de l'écart type de cette variable aléatoire $X$.
Interpréter l'espérance de cette variable aléatoire $X$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On décide d'approcher la variable aléatoire $X$ par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale
d'espérance $90$ et d'écart type $3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P( 84 < Y < 96)$.
\item Déterminer la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, au moins $85$~lentilles conformes.
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des
lentilles conformes dans un lot de $100$~lentilles.

Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{- 2}$.
\item Le responsable qualité de cette entreprise veut vérifier la production. Pour cela, il prélève un échantillon de $100$ lentilles et il obtient $82$ lentilles conformes.

Devrait-il s'interroger sur le réglage de la chaîne de fabrication? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip

On injecte à un malade une dose de 5 cm$^3$ d'un produit.

Toutes les heures, on fait un relevé de la quantité, exprimée en cm$^3$, de ce produit dans le sang.

Cette quantité diminue du fait de son élimination naturelle par l'organisme.

On s'intéresse au volume de produit, exprimé en cm$^3$, dans le sang du malade $n$ heures après son
injection. L'organisme du patient élimine 6\,\% du produit présent toutes les heures.

La situation est modélisée par une suite $\left(V_n\right)$ de premier terme $V_0 = 5$ , où $V_n$ fournit une estimation du volume en cm$^3$, de produit dans le sang du malade au bout de $n$ heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $V_1$,\: $V_2$ et $V_3$ ; (arrondir les valeurs au millième).
		\item Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'écriture de $V_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de $V_n$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. Justifier.
 	\end{enumerate}
\item Calculer le volume de produit dans le sang au bout de 9 heures. Arrondir la valeur au
millième.
\item Déterminer le nombre d'heures nécessaires pour réduire de moitié le volume du produit
injecté dans le sang.
\item On donne l'algorithme ci-dessous qui se rapporte à la suite $\left(V_n\right)$ étudiée.
	
\begin{center}	
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
Variables : $V$, $N$\\
~\\
Initialisation :\\
$V$ prend la valeur $5$\\
$N$ prend la valeur $0$\\
~\\
Traitement :\\
Tant que $V \geqslant 2$\\
\qquad $V$ prend la valeur $0,94 \times V$\\$
\qquad $N prend la valeur $N + 1$\\
Fin Tant que\\
~\\
Sortie :\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur de $N$ affiche cet algorithme après avoir été exécuté ? Interpréter le résultat.
		\item On injecte la même dose de produit à un autre malade. L'organisme n'élimine toutes les
heures que 3\,\% du produit relevé à l'heure précédente.
		
On souhaite déterminer le temps nécessaire pour que le volume de produit dans le sang
soit inférieur à $0,1$~cm$^3$.
		
Modifier l'algorithme précédent pour qu'il fournisse la réponse au problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}   

\medskip

Dans une certaine usine, la température d'un moteur thermique est régulée par un système de
circulation d'eau de refroidissement. Quand la température de cette eau atteint 90~\degre C, un ventilateur se met en action afin de refroidir le liquide dans le radiateur. Il s'arrête lorsque la température redevient inférieure à 50~\degre C.

On mesure en minutes le temps $t$ écoulé à partir de l'instant où le ventilateur se déclenche.

On admet que la température de l'eau, exprimée en degrés Celsius (~\degre C), est donnée à l'instant $t$ par $f(t)$ où $f$, fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$, est solution de l'équation différentielle

\[(E) : y' + 0,04y = 2,04.\]

De plus, on sait que $f(0) = 90$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale
$f(0) = 90$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = 39\text{e}^{-0,04t} + 51.\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C})$ ?
\item  La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(t)$.
		\item En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
 	\end{enumerate}
\item  Comment varie la température de l'eau dans le moteur à partir de l'instant où le ventilateur
se déclenche ?
\item  Le ventilateur va-t-il s'arrêter ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 1}

\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=10cm,yunit=0.15cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(1.55,65)
\multido{\n=-0.50+0.05}{42}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,65)}
\multido{\n=0.0+2.5}{27}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](-0.5,\n)(1.55,\n,)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Oy=80,Dy=5]{->}(0,0)(-0.5,0)(1.55,65)
\uput[u](1.52,0){$x$}
\uput[r](0,64.5){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole La Réunion septembre 2015
\end{document}