\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{enumitem}
%\usepackage{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,pst-math,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.4cm, right=3.4cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 2016}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\pagestyle{fancy}

\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  2016~\decofourright\\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à septembre 2016}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie 13 juin 2016} \dotfill \pageref{Polynesie}\\  
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane 16 juin 2016} \dotfill \pageref{Antilles}\\
\hyperlink{Metropole}{Métropole 16 juin 2016} \dotfill \pageref{Metropole}\\
%\hyperlink{Antillessep}{Antilles septembre 2005} \dotfill \pageref{Antillessep}\\ 
\hyperlink{Metropolesep}{Métropole 8 septembre 2016} \dotfill \pageref{Metropolesep}\\ 
%\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie  novembre 2005}  \dotfill \pageref{Caledonienov}
\end{tabularx}

\pagebreak
~
\pagebreak
%%%%%%%%%%%%% Polynésie 13 juin 2016
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 juin 2016}}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies   Polynésie 13 juin 2016~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse au taux de cholestérol LDL de la population d'adultes d'un pays.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un adulte de cette population, associe son taux de cholestérol LDL, exprimé en grammes par litre.

On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $1,27$ et d'écart type $0,39$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité qu'un adulte, choisi au hasard dans cette population, ait un taux de cholestérol LDL compris entre 1 et $1,6$ gramme par litre.
		\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité qu'un adulte, choisi au hasard dans cette population, ait un taux de cholestérol LDL supérieur à $1,9$ gramme par litre.
	\end{enumerate}
\item Dans la population étudiée, $28$\,\% des adultes souffrent d'hypercholestérolémie LDL (ils ont un taux de cholestérol LDL trop élevé).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence d'adultes souffrant d'hypercholestérolémie LDL, dans un échantillon de $300$ adultes choisis au hasard dans la
population étudiée. On arrondira les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$.
		\item Les médecins d'une ville de ce pays s'interrogent sur la proportion d'adultes souffrant
d'hypercholestérolémie LDL dans leur ville. Ils disposent d'un groupe de $300$~adultes pris au
hasard parmi les adultes de la ville. Ils constatent que $96$ d'entre eux souffrent
d'hypercholestérolémie LDL.
		
En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, peut-on dire, que la proportion d'adultes
souffrant d'hypercholestérolémie LDL dans cette ville est significativement plus élevée que dans
l'ensemble de la population du pays? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Deux laboratoires fabriquent un médicament anti-cholestérol LDL.
	
Le médicament du laboratoire A est testé sur un échantillon de \np{1000} adultes et s'avère efficace pour
$870$ d'entre eux.
	
Le médicament du laboratoire B est testé sur un échantillon de $800$ adultes et s'avère efficace pour
$720$ d'entre eux.
	\begin{enumerate}
		\item Un intervalle de confiance à 95\,\% de la proportion $p_A$ d'adultes pour lesquels le médicament du laboratoire A est efficace, est [0,849~;~0,891].
		
Déterminer un intervalle de confiance à 95\,\% de la proportion $p_B$ d'adultes pour lesquels le
médicament du laboratoire B est efficace.
		\item Ces résultats permettent-ils de considérer qu'il y a une différence significative entre ces deux médicaments en termes d'efficacité ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}   

\medskip

Pierre possède une piscine naturelle de \np{80000}~litres d'eau. Des plantes épuratives jouent le rôle de
filtration naturelle. Afin d'améliorer l'oxygénation de l'eau, Pierre décide de recycler en permanence une
partie de l'eau de la piscine en la remplaçant par l'eau d'un puits voisin. Malheureusement, Pierre ne sait pas que l'eau du puits, captée par une pompe, est contaminée par des germes.

Avant la mise en route de la pompe, l'eau de la piscine n'est contaminée par aucun germe. La quantité
d'eau contaminée au cours du temps est modélisée par une fonction $f$ . Lorsque $t$ représente le temps
écoulé, en heures, depuis la mise en route de la pompe, $f(t)$ représente la quantité, en litres, d'eau
contaminée venant du puits au bout de $t$ heures de pompage.

On admet que la fonction $f$, définie sur $[0~;~+\infty[$, est solution de l'équation différentielle :

\[y' + \np{0,00625}y = 30.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les solutions de cette équation différentielle sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Sachant que $f(0) = 0$, déterminer une expression de $f(t)$ pour tout réel $t$ de $[0~;~+\infty[$.
		
Dans les questions suivantes, on admet que pour tout réel $t$ de $[0~;~+\infty[$, on a :
		
		\[f(t) = \np{4800} - \np{4800}\text{e}^{- \np{0,00625}t}.\]
		
	\end{enumerate}
\item Calculer, en litres, la quantité d'eau contaminée venant du puits au bout de $72$ heures. Le résultat sera arrondi à l'unité.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ (on admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = \np{4800}$).
		\item Ce sens de variation de la fonction $f$ déterminé est-il cohérent avec la situation concrète étudiée.
		
Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\item La piscine devient dangereuse pour la peau lorsque la quantité d'eau contaminée dépasse 6\,\% du
volume d'eau de la piscine.
	
Cette piscine peut-elle être dangereuse pour la peau ? Justifier.
\item La piscine devient impropre à la baignade lorsque la quantité d'eau contaminée dépasse 3\,\% du volume d'eau de la piscine.
	
Déterminer, à l'heure près, au bout de combien de temps l'eau de la piscine deviendra impropre à la
baignade.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip

En 2013, la production française de déchets d'équipements électriques et électroniques (déchets EEE)
s'élève à $1,55$ million de tonnes. (\emph{Source : Agence de l'Environnement et de la Maîtrise de l'Énergie})

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? On justifiera la réponse.
\og En 2013, la production française de déchets EEE par seconde est de 49 kg, au kilogramme près. \fg

On s'intéresse à la production française, exprimée en millions de tonnes, de déchets EEE par an à
partir de 2013. On estime qu'à compter de l'année 2013, la production française de déchets EEE
augmente de 3\,\% par an. Ainsi, la situation peut être modélisée par une suite géométrique $\left(u_n\right)$, où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est une estimation de la production française de déchets EEE (exprimée en millions de tonnes) en $2013 + n$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la raison et le premier terme de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate}
\item  Calculer la production française de déchets EEE en 2020. Le résultat sera arrondi à $0,01$~million de tonnes.
\item  En quelle année la production française de déchets EEE dépassera-t-elle 2 millions de tonnes ?
	
Justifier la réponse.
\item  On considère l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables :}\\
$n$ entier naturel\\
$u$ et $S$ réels\\
\textbf{Initialisation :}\\
Affecter à $u$ la valeur 1,55\\
Affecter à $S$ la valeur 1,55\\
\textbf{Traitement :}\\
Pour $n$ allant de 1 à 5\\
Affecter à $u$ la valeur $1,03 \times u$\\
Affecter à $S$ la valeur $S + u$\\
Fin Pour\\
\textbf{Sortie :}\\
Afficher $S$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Indiquer dans le tableau les valeurs successives prises par les variables $u$ et $S$ lors du déroulement de l'algorithme $\left(\text{les résultats seront arrondis à }\:10^{-3}\right)$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$n$	&0		&1		&2	&3	&4	&5\\ \hline
$u$	&1,55	&1,597	&	&	&	&\\ \hline
$S$	&1,55	&3,147	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quel résultat sera affiché à l'issue de cet algorithme ? Interpréter concrètement cette valeur en termes de production française de déchets EEE.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}   

\medskip

Une étude vise à quantifier la probabilité $y_i$, pour une personne donnée, de développer une maladie après la consommation d'une portion de repas à base d' œuf ou de poulet selon le nombre $n_i$ de bactéries
\emph{Salmonella} qui y sont présentes.

Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n_i$			& 15 &50 	&400 &\np{6300} &$2,5\cdot10^4$ &$6,3\cdot10^5$ &$2\cdot10^6$ &$4\cdot10^8$ &$6,3\cdot10^9$\\ \hline
$x_i = \log\left
(n_i\right)$	&1,2 &1,7	&	 &			&				&				&			 &  &\\ \hline
$y_i$			&0,02&0,15 	&0,27&0,63 		&0,71 			&0,84 &0,92 &1 &1\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize (Source: \emph{Organisation des Nations Unies pour l'alimentation et l'agriculture})}
\end{tabularx}
\end{center}

On rappelle que log désigne le logarithme décimal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $x_i = \log \left(n_i\right)$. Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe 1 (on arrondira les résultats au dixième).
		\item Calculer les coordonnées, à $10^{-1}$ près, du point moyen G du nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ et placer le point G sur le graphique de l'annexe 2.
	\end{enumerate}
\item On note $(D)$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite $(D)$ sous la forme $y = ax + b$, les réels $a$ et $b$ étant arrondis au millième.
		\item Construire la droite $(D)$ sur le graphique de l'annexe 2.
		\item En utilisant ce modèle d'ajustement, estimer, à $10^{-2}$ près, la probabilité de développer une maladie après la consommation d'une portion de repas à base d'œuf ou de poulet dans lesquels le nombre
de bactéries \emph{Salmonella} est de \np{4000}.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on utilise un nouveau modèle d'ajustement.
	
Pour un nombre $n$ de bactéries donné, on pose $x = \log n$ et, dans ce nouveau modèle, on note $f(x)$ la
probabilité, pour une personne donnée, de développer une maladie après la consommation d'une portion
de repas à base d'œuf ou de poulet selon le nombre $n$ de bactéries \emph{Salmonella} qui y sont présentes.

On suppose que pour tout $x \in  [0~;~+\infty[$, on a : 
	
\[f(x) = \dfrac{1}{1 + 34,8\text{e}^{- x}}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item On détermine la fonction dérivée de la fonction $f$ grâce à un logiciel de calcul formel. On a obtenu l'affichage suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X X|}\hline
1	&f(x) :=1/ (1+34.8*e\verb+^+(-x))& \\ \hline
	&								&$x \to \dfrac{1}{1 +34.8*\text{exp}(-x)}$\\ \hline
2	&deriver (f(x))					&\\ \hline
	&								&$34.8*\dfrac{\text{exp}(-x)}{(34.8 *\text{exp}(-x) + 1)^2}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère de l'annexe 2.
		\item En utilisant ce nouveau modèle, déterminer la probabilité de développer une maladie après la
consommation d'une portion de repas à base d'œuf ou de poulet dans lesquels le nombre de
bactéries \emph{Salmonella} est de \np{4000}. On en donnera la valeur arrondie au centième.
		\item En utilisant ce nouveau modèle, estimer le nombre de bactéries \emph{Salmonella} d'une portion de
repas à base d'œuf ou de poulet telle que la probabilité d'être malade soit égale à $0,75$. On
expliquera la démarche utilisée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXES À JOINDRE A LA COPIE}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 1 (exercice 4)}
\end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n_i$	& 15 	&50 	&400&\np{6300} 	&$2,5\cdot10^4$ &$6,3\cdot10^5$ &$2\cdot10^6$ 	& $4\cdot10^8$ &$6,3\cdot10^9$\\ \hline
$x_i = \log\left
(n_i\right)$& 1,2&1,7	&	&			&				&				&				&				&\\ \hline
$y_i$		& 0,02&0,15 &0,27&0,63 		&0,71 			&0,84 			&0,92 			&1 				&1\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 2 (exercice 4)}
\end{flushleft}

\bigskip
\psset{xunit=1cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.1)(10.2,1.1)
\multido{\n=0.0+0.2}{51}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1.1)}
\multido{\n=0.00+0.02}{56}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.1](0,0)(0,0)(10.2,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1)
\psdots[linecolor=red](1.2,0,.02)(1.7,0.15)(2.6,0.27)(3.8,0.63)(4.4,0.71)(5.8,0.84)(6.3,0.92)(8.6,1)(9.8,1)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2016
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 2016
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies  Antilles-Guyane 16 juin 2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}   

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la solubilité du dioxyde de carbone dans l'eau (en cm$^3$/ml d'eau) à la
pression de 1 bar, pour différentes valeurs de la température (en °C).

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{2.3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}p{0.75cm}|}}
\hline
Température $t_i$ &0 &10& 20& 30& 40 &50 &80\\\hline
Solubilité $y_i$& 1,8& 1,3& 0,88& 0,65& 0,52 &0,43& 0,29\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le nuage de points représentant cette série est donné par le graphique suivant :

\begin{center}

\psset{xunit=0.14cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.1)(80.2,2.3)
\multido{\n=0.0+10}{10}{\psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,2.1)}
\multido{\n=0+0.5}{5}{\psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](0,\n)(90,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(92,2.3)
\psdots[linecolor=red](0,1.8)(10,1.3)(20,0.88)(30,0.65)(40,0.52)(50,0.43)(80,0.29)
\uput[r](0,2.25){$y$}\uput[u](90.35,0){$t$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La forme de ce nuage conduit à envisager un ajustement exponentiel de la série $(t_i~;~y_i)$.

On pose $z_i= \ln \left(y_i\right)$.

Recopier \textbf{sur votre copie} et compléter le tableau ci-dessous. On arrondira les valeurs de  $z_i$ à $10^{-3}$ près.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{2.3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}p{0.75cm}|}}
\hline
Température $t_i$ 			&0 	&10	&20	&30	&40 &50 &80\\\hline
$z_i =\ln \left(y_i\right)$ &	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}
\item  Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $t$ de la série $(t_i~;~z_i)$ par la méthode
des moindres carrés. On arrondira les coefficients à $10^{-3}$.
\item  Dans la suite, on retient pour droite d'ajustement la droite d’équation $z = - 0,023t + 0,41$. Déduire
de cette équation que la relation entre la solubilité $y$ du dioxyde de carbone et la température $t$
peut se modéliser sous la forme  $y = A\text{e}^{-0,023t}$ où $A = 1,51$ à $10^{-2}$ près.
\item En supposant que l’ajustement précédent est valable pour toute valeur de $t$ comprise dans
l’intervalle [0~;~80], déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la solubilité du dioxyde de
carbone dans l'eau à la température de 65\,°C.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill(4 points)}

\medskip
Initialement, une population de bactéries compte \np{50000} individus. L’évolution du nombre de
bactéries, en fonction du temps, est étudiée dans un laboratoire où travaillent deux techniciens.

\smallskip
\textbf{PARTIE A :}
\smallskip

L’un des deux techniciens émet l’hypothèse que cette population augmente de 23\,\% toutes les
heures. On modélise l’évolution du nombre de bactéries par $\left(u_n \right)$   une suite de nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner la valeur de $u_0$. Calculer  $u_1$ et  $u_2$ (arrondir les valeurs à l’entier le plus proche).
\item 	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $u_{n+1}$  en fonction de  $u_n$.
		\item En déduire que $\left(u_n \right)$  est une suite géométrique de raison $1,23$.
		\end{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_n$  en fonction de $n$.
		\item Calculer $u_7$  à l’entier près. Que représente ce nombre ?
		\end{enumerate}
\item Au bout de combien d’heures, selon l’hypothèse émise par ce technicien, le nombre de
bactéries dépasse-t-il \np{500000} ?
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{PARTIE B :}

\smallskip
Le deuxième technicien du laboratoire émet une hypothèse un peu différente et considère que le
nombre de bactéries augmente de $p\,\%$ toutes les heures ($p \not= 23$). Pour déterminer au bout de
combien d’heures, selon son hypothèse, le nombre de bactéries dépasse \np{500 000}, il a réalisé
l’algorithme suivant. Cependant, une partie de l’algorithme a été effacée, et on ne dispose que des
premiers résultats affichés par celui-ci.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|p{0.5cm}p{5cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}
\hline
&\centering Algorithme 									& Résultats de l’algorithme \\ 
\hline
& \textbf{Variables} : $N$ est un nombre entier & 							\\
&$p$ et $U$ sont des nombres réels				&							\\
&\textbf{Début :}								&	$N=0 \quad U= \np{50000}$\phantom{xxxx}\\
& Lire $p$										&							\\
& $N$ prend la valeur 0							&$N=1\quad U = \np{63500}$\phantom{xxxx}	\\
&$U$ prend la valeur \np{50000}						&							\\
& \textbf{Tant que } $U <$ \dots\dots				&							\\
& $N$ prend la valeur\dots\dots					&$N=2\quad U = \np{80645}$\phantom{xxxx}\\
& $U$ prend la valeur \dots\dots					&$N=3\quad U = \np{102673.15}$\\
& Afficher la valeur de $N$						&$\cdot$			\\
& Afficher la valeur de $U$						&$\cdot$			\\
& \textbf{Fin du tant que}						&$\cdot$			\\
& Afficher $N$									&$\cdot$			\\
& Afficher $U$									&$\cdot$			\\
& \textbf{Fin}									&$\cdot$			\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip
\begin{enumerate}
\item  En utilisant les premiers résultats affichés par l’algorithme, déterminer la valeur de $p$.
\item Sur votre copie, recopier l’algorithme figurant dans la colonne de gauche du tableau, et
compléter les parties manquantes (repérées par des pointillés).
\item Au bout de combien d’heures, selon cette hypothèse, le nombre de bactéries dépasse-t-il
\np{500000} ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill(5 points)}

\medskip

\textbf{PARTIE A : RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE}

\medskip

Les fonctions intervenant dans cette partie sont définies et dérivables sur $[0~;~+\infty[$.

On considère l’équation différentielle (E) : 

\[y' + 0,6y = 45.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer une fonction constante solution de l’équation différentielle (E).
\item Résoudre l’équation différentielle (E).
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) telle que $f(0) = 20$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B : ÉTUDE D’UNE FONCTION}

\medskip 

Dans cette partie, on considère la fonction $f$ définie sur $[0~;+~\infty[$ par

\[f(t) = - 55\text{e}^{- 0,6 t} + 75.\]

On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative $(\mathcal{C})$ ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
		\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variation de $f$.
		\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ sur une feuille de papier millimétré \textbf{à remettre avec la copie}.

Unités graphiques : \np[cm]{1} en abscisse ; \np[mm]{2}  en ordonnées.
	\end{enumerate}
\item Résoudre par le calcul l’équation $f(t) = 70$ (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à l’unité).
\item Calculer $\displaystyle I = \int_0^4 f(t)\mathrm{d}t$ (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2})$.

Donner une interprétation graphique du résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C : UTILISATION DES RÉSULTATS}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète ou d’initiative même infructueuse sera
prise en compte dans l’évaluation.}
\smallskip

Le principe de la haute pasteurisation consiste à chauffer dans un autoclave, pendant un laps de
temps de 15 secondes, les aliments à une température comprise entre 70~\degres C et 75~\degres C.

Du lait dont la température initiale est de 20~\degres C est introduit dans un autoclave dont la température est constante et égale à 75~\degres C.
La température du lait est donnée par la fonction $f$ définie dans la partie B, où $t$ est le temps en secondes.

Déterminer combien de temps, au total, le lait doit rester dans l’autoclave afin d’être pasteurisé.

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill(5 points)}

\medskip

On étudie le taux de glycémie dans une population donnée, exprimé en g/L.

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

On suppose que le taux de glycémie est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de
moyenne $\mu = 1$ et d’écart-type $\sigma = 0,03$. On mesure la glycémie chez une personne choisie au
hasard dans la population.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la probabilité pour que la glycémie de cette personne soit comprise entre 0,94 et
1,06 a pour valeur approchée 0,95.
\item En déduire qu’une valeur approchée de $P(X \leqslant 1,06)$ est $0,975$. Justifier votre raisonnement.
\item Sachant que $P(X \geqslant 0,97)$ a pour valeur approchée $0,84$, en déduire une valeur approchée à
$10^{-3}$ près de $P(0,97 \leqslant X \leqslant 1,06)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Un médecin, qui ne connaît pas l’hypothèse émise dans la PARTIE A, souhaite estimer la
proportion $p$ inconnue des personnes de cette population dont le taux de glycémie est supérieur à
$1,06$.
Il prélève au hasard un échantillon de \np{1000} personnes dans la population étudiée.

Il constate que 29 personnes ont un taux de glycémie supérieur à 1,06.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l’intervalle de confiance au niveau de 95\,\% de la proportion $p$.
\item Le résultat précédent est-il cohérent avec la réponse à la question \textbf{A 2.}  ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C :}

\medskip

On admet que, dans la population étudiée, la probabilité qu’une personne ait un taux de glycémie
supérieur à \np[g/L]{0,99}  est  $p_1 = 0,64$.

On tire un échantillon de 100 personnes au hasard. On suppose que la population est suffisamment
importante pour assimiler le choix de cet échantillon à un tirage avec remise de 100 personnes. On
appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes dont la glycémie est supérieure à
\np[g/L]{0,99}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\end{enumerate}
On suppose que les conditions permettant d’approximer une loi binomiale par une loi normale sont
remplies. On appelle $\mu'$ la moyenne et $\sigma'$ l’écart type de la loi normale $Z$ approximant la loi
binomiale $Y$ .
\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier que $\mu' = 64$ et $\sigma' = 4,8$.
\item Déterminer une valeur approchée de $P( Z \leqslant 78,4)$ à  $10^{-2}$ près. On remarquera que
$78,4 = \mu' + 3\sigma'$.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill(3 points)}

\medskip

\textbf{QUESTIONNAIRE À CHOIX MULTIPLE}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Chaque bonne réponse
rapporte un point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’enlève pas de point.\\
Reporter sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre de la réponse choisie. Aucune
justification n’est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 3\right)$, et soit $(C)$ sa représentation graphique dans un repère du plan. La tangente à la courbe $(C)$ au point A$(1~;~\ln(4))$ a pour coefficient
directeur :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $0,25$&\textbf{b.~~} $0,5$&\textbf{c.~~} $1$&\textbf{d.~~}  $\ln 4$
\end{tabularx}

\item On considère deux variables aléatoires $Y$ et $Z$.

$Y$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[1~;~3]$.

$Z$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[0~;~2]$.
		\begin{description}
		\item[a.] $Y$ et $Z$ ont la même variance.
		\item[b.] $Y$ et $Z$ ont la même espérance.
		\item[c.] La variance de $Z$ est strictement inférieure à la variance de $Y$.
		\item[d.] La variance de $Z$ est nulle.
\end{description}

\item Une culture bactériologique comporte initialement \np{8 000} bactéries.

Leur nombre augmente de 20\,\% par heure.

Dans la copie de la feuille de tableur ci-dessous, quelle formule peut-on rentrer en B3, puis
recopier vers le bas, pour calculer le nombre de bactéries en fonction de l'heure ?

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
	&A				&B\\\hline
1	&Temps (heures)	&Nombre de bactéries\\\hline
2	&0				&\np{8 000}\\\hline
3	&1				& \\\hline
4	&2				& \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} = B2 + 0,20&\textbf{b.~~}= 0,8 * B2 &\textbf{c.~~}= 1,2 * B2  &\textbf{d.~~}  = 1,2 * \$B\$2.
\end{tabularx}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane juin 2016
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole juin 2016
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies   Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt]16 juin 2016}}

\vspace{0,3cm}
 
Calculatrice autorisée conformément à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes. On arrondira les résultats à }\boldmath $10^{-3}$\unboldmath.

\smallskip

Une laiterie produit des fromages, frais ou secs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour être accepté, un fromage frais doit avoir une masse supérieure à $240$~grammes. On appelle M
la variable aléatoire qui à tout fromage frais, prélevé au hasard dans la production, associe sa
masse en grammes. On suppose que M suit la loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart type
$\sigma = 5$.

Quelle est la probabilité qu'un fromage frais prélevé au hasard dans la production soit refusé ?
\item On suppose que 2\,\% des fromages frais produits ont une masse insuffisante. On prélève un
échantillon de 150~fromages frais, pris au hasard dans la production. On suppose que la
production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $150$~fromages frais, pris au hasard dans
la production, associe le nombre de fromages de masse insuffisante dans l'échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
		\item Quelle est la probabilité qu'il y ait dans le prélèvement au maximum cinq fromages de
masse insuffisante ?
		\item Déterminer l'espérance de $X$ et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item La laiterie estime que 18\,\% de ses consommateurs de fromages préfèrent les fromages secs.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence $f$ des consommateurs de la laiterie préférant les fromages secs dans un échantillon de $400$~personnes.
		\item La laiterie interroge au hasard un échantillon de $400$~consommateurs sur leur préférence ;
$55$ d'entre eux déclarent préférer les fromages secs. La laiterie doit-elle alors considérer que
la préférence de sa clientèle concernant les fromages secs a changé? Pourquoi ?	
	\end{enumerate}
\item Pour peser ses fromages, l'entreprise fait appel à un fabricant de balances électroniques. La
variable aléatoire $T$ qui, à chaque balance choisie au hasard dans la production de ce fabricant,
associe la durée (exprimée en heures) pendant laquelle la balance est réglée correctement, suit la
loi exponentielle de paramètre $\lambda$, $\lambda$ étant un réel. Une balance produite chez ce fabricant reste, en moyenne, correctement réglée durant 90 heures.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de $\lambda$.
		\item On extrait au hasard une balance de la production. Déterminer le réel $t_0$ tel que
$P\left(T \geqslant t_0\right) = 0,93$. Comment interpréter ce résultat ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

Une petite entreprise familiale veut stériliser une partie de sa production maraîchère sous forme de
conserves, à l'aide d'un autoclave.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction qui à tout temps $t$, exprimé en minutes, associe la température, exprimée en
degrés Celsius, au coeur de la conserve placée dans l'autoclave. On admet que la fonction $f$ ainsi
définie est solution de l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  y' + 0,162y = 20,3\quad  \text{sur } [0~;~60].\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
		\item Au moment de la mise en route de l'autoclave (c'est-à-dire au temps $t = 0$), la température au cœur de la conserve est égale à $21$\degres (température dans l'atelier de stérilisation).
		
Déterminer une expression de $f(t)$ pour tout réel $t \geqslant 0$.
		
Dans la suite de l'exercice, la température, exprimée en degrés Celsius, au coeur de la conserve placée
dans l'autoclave, en fonction du temps $t$, exprimé en minutes, est modélisée par la fonction $g$ définiesur [0~;~60] par 
		
\[g(t) = 125 -104 \text{e}^{- 0,16t}.\]
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(t)$ où $g'$ est la fonction dérivée de $g$. Étudier le signe de $g'$ sur [0~;~60].
		\item En déduire le tableau de variations de $g$.
	\end{enumerate}
\item La courbe $C_g$, fournie en annexe, est la représentation graphique de la fonction $g$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la température au bout de $9$~minutes? On donnera la valeur arrondie au degré.
		\item Pour que la stérilisation soit efficace, la conserve doit rester 3 minutes à plus de 120\degres. 
		
À l'aide de la courbe $C_g$, déterminer au bout de combien de temps après le lancement de la
stérilisation, il sera possible d'arrêter l'autoclave car la stérilisation sera alors efficace. 

On laissera les traits de construction apparents et on rendra l'annexe avec la copie.
		\item Retrouver ce résultat en résolvant une inéquation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\medskip

Les questions sont indépendantes entre elles.

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\textbf{1.}  La courbe $C$ ci -contre est la représentation graphique
d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4~;~4]$. La droite
T est la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $- 1$.

\medskip

\textbf{Question :} par lecture graphique, donner les valeurs de
$f(-1)$ et de $f'(-1)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.} \hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(3.1,6.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](-3,-3)(3,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.5)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{x 3 exp  4 x mul sub  1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{2.5}{ 3 x sub}
\uput[l](-2.3,-1.8){\blue $C$}\uput[ur](2.5,0.5){T}
\end{pspicture*}}

\parbox{0.55\linewidth}{\textbf{2.}   La courbe $\mathcal{C}$ ci-contre est la courbe représentative 
de la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0,5~;~5] par :

\[g(x)= \dfrac{1}{x} + x + 1.\]

\medskip
\textbf{Question :} déterminer, en unités d'aire, l'aire du
domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$
et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 4$.}  \hfill \parbox{0.35\linewidth}{
\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture*}(-1,-0.75)(5.5,6.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](0,0)(6,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5.5,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{5}{1 x div x  add 1 add}
\uput[dr](1.5,3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}}

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{\textbf{3.} Le graphique ci-contre donne deux courbes $C_1$ et $C_2$.

Ces deux courbes sont représentatives de deux fonctions
définies sur $]0~;~+\infty[$ : une fonction $h$ et une de ses
primitives $H$.

\medskip


\textbf{Question :} indiquer, en justifiant votre réponse, laquelle
des deux courbes $C_1$ ou $C_2$ est la courbe représentative
de la fonction $H$.}\hfill \parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.7,-3.1)(3.5,3.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](0,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(3.5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{3.2}{x ln  1 sub x mul 2.5 mul 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0.01}{3.2}{x ln 2.5 mul}
\uput[r](3,1.8){\blue $C_1$}\uput[ul](3,2.7){\green $C_2$}
\end{pspicture*}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\medskip

À partir du 1\up{er} janvier 2014, Alice a décidé de travailler son endurance à la course à pied. Pour cela, elle va s'entraîner régulièrement. Tous les mois, elle note ses performances afin d'évaluer ses
progrès.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Alice suit d'abord l'évolution des distances parcourues. Au mois de janvier 2014, la distance
qu'elle est capable de courir en une fois est égale à $10$~km et cette distance courue en une fois
augmente tous les mois de 6\,\%. 

Pour tout entier naturel $n$, on appelle $d_n$ la distance, en
kilomètres, qu'Alice est capable de courir en une fois le $n$-ième mois après le mois de janvier
2014. Ainsi, on considère que $d_0 = 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $d_1 = 10,6$.
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $d_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la distance qu'est capable de courir Alice en une fois au mois de septembre 2014.
		
On donnera la valeur arrondie à 0,1 km.
		\item Au bout de combien de mois Alice sera-t-elle capable de courir en une fois 25 km ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item À partir du mois de septembre 2015, Alice s'intéresse au temps mis pour courir les $10$ premiers
kilomètres de sa course à pied. Son temps pour les $10$ premiers kilomètres, au mois de septembre
2015, est de $60$~minutes. On admet que ce temps diminue tous les mois de 2\,\%, et cela jusqu'en
décembre 2016. Alice utilise l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables :} $N$ entier naturel, $t$ réel\\
\textbf{Initialisation :}\\
\hspace{0,5cm}Affecter à $N$ la valeur 0\\
\hspace{0,5cm}Affecter à $t$ la valeur 60\\
\textbf{Traitement :}\\
\hspace{0,5cm}Tant que $t > 50$\\
	\hspace{1cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
	\hspace{1cm}Affecter à $t$ la valeur $0,98 \times t$.\\
\hspace{0,5cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :} Afficher $N$, Afficher $t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Que cherche à déterminer Alice avec cet algorithme ?
		\item Recopier et compléter le tableau suivant avec les valeurs successives prises par les
variables $N$ et $t$ lors du déroulement de l'algorithme, jusqu'à son arrêt.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,7cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $N$								&0 	&1		& \ldots&	&	&\\ \hline
Valeur de $t$\: $\left(\text{arrondie à }
 \:10^{-2}\right)$							&60 &58,80 &\ldots	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quelles sont les valeurs affichées en sortie par l'algorithme ? Que peut en déduire Alice ?
		\item Alice a pour objectif de se qualifier pour un championnat de semi-marathon, L'épreuve de
qualification est aussi un semi-marathon, d'une longueur de 21~km, qui se déroulera au
mois de novembre 2016. Alice peut-elle espérer se qualifier sachant que cette épreuve se
court à 82\,\% de la vitesse qu'elle peut avoir sur les $10$~premiers kilomètres de course et que
le temps pour se qualifier doit être inférieur à $2$~heures? On justifiera la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{landscape}

\begin{center}

\textbf{Exercice 2 : annexe}

\textbf{Représentation graphique de la fonction } \boldmath $g$\unboldmath

\vspace{1cm}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.7mm,algebraic=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3,-7)(63,137)
\multips(0,0)(0,5){28}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(63,0)}
\multips(0,0)(1,0){63}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(0,137)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(65,137)
\psplot[plotpoints=400,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{63}{125-104*EXP(-0.16*x)}
\uput[d](59,10){temps (min)}
\uput[r](1.5,130){température \degres~C}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole--La Réunion juin 2016
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole--La Réunion septembre 2016
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{8 septembre 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies   Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt]8 septembre 2016}}

\vspace{0,3cm}
 
Calculatrice autorisée conformément à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

Une cuisson non juste de la viande de bœuf peut provoquer une intoxication alimentaire. Les
bactéries en cause sont des souches d'\emph{Escherichia coli}. Pour mieux prévoir les aptitudes de survie et de développement de cette bactérie dans les aliments, on étudie en fonction du temps la croissance de ces souches placées dans un milieu de culture. On appelle $C_i$ la concentration en bactéries en millions par mL. Voici les résultats obtenus :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en minutes	&0 	&30 &60 &90 	&120 &150\\ \hline
Concentration $C_i$ en
 millions par mL		&13 &16 &36 &108 	&270 &785\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $y_i = \ln \left(C_i\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs sur l'annexe 1, en arrondissant les résultats à $10^{-2}$.
		\item Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points $M_i\left(t_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal avec 1~cm pour 10~min en abscisses et 2~cm pour 1~unité en ordonnées.
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage en arrondissant l'ordonnée à $10^{-2}$ puis placer le point $G$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item On réalise un ajustement affine de ce nuage de points.
	\begin{enumerate}
		\item Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $D$ d'ajustement de $y$ en $t$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{-4}$.
		\item Tracer la droite $D$ sur le graphique de la question 1.
	\end{enumerate}
\item En déduire, selon ce modèle d'ajustement, la concentration en bactéries présentes dans le milieu de culture au bout de 4 heures. Donner le résultat arrondi au million de bactéries par mL.
\item Dans cette question, on considère que la concentration (en millions par mL) en bactéries présentes à l'instant $t$ (en minutes) dans le milieu de culture est donnée par 
	
	\[C(t) = 8,6 \text{e}^{0,0287t}.\]
	
Déterminer au bout de combien de temps cette concentration dépassera le milliard de bactéries
par mL. Donner le résultat en heures et minutes, arrondi à la minute.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

À l'Île de La Réunion, la variété d'ananas la plus cultivée est l'ananas Victoria. 

L'exportation de cette variété d'ananas vers la métropole est en plein essor. Une coopérative réunionnaise se consacre exclusivement à l'exportation d'ananas Victoria vers la métropole.

Entre 2012 et 2015, la coopérative a augmenté ses exportations de 10,5\,\% par an, En 2015, les exportations ont atteint \np{1100} tonnes.

Le but de cet exercice est d'étudier deux modélisations différentes de l'évolution de la quantité d'ananas Victoria exportés par cette coopérative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on s'intéresse à une première modélisation: on suppose qu'après 2015, les exportations vont continuer à progresser de 10,5\,\% par an. Ainsi, la situation peut être modélisée par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ où pour tout entier naturel $n,\: u_n$ est une estimation de la quantité, en tonnes, d'ananas exportés en $2015+n$. On a : $u_0 = \np{1100}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la quantité, arrondie à la tonne, d'ananas que la coopérative peut prévoir d'exporter en 2016.
		\item Déterminer en quelle année on peut prévoir que la quantité d'ananas exportés par cette coopérative dépassera \np{2000}~tonnes. On précisera la démarche utilisée.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, l'exportation des ananas est modélisée par la suite $\left(v_n\right)$, définie par
	:
$v_0 =\np{1100}$ et, pour tout entier naturel $n, v_{n+1} = 0,7v_n + 477$ où $v_n$ est une estimation de la quantité, en tonnes, d'ananas exportés en $2015 + n$.
	
On considère l'algorithme ci-dessous :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|p{2.5cm}|X|}\hline	
\textbf{Variables :}& $V$ nombre réel, $N, K$ entiers\\
\textbf{Entrée :}& Saisir $N$\\
\textbf{Traitement :}&\\
&$V$ prend la valeur \np{1100}\\
&\hspace{0.5cm}Pour $K$ variant de 1 à $N$\\
&\hspace{1.5cm}$V$ prend la valeur $0,7 \times V + 477$\\
&\hspace{0.5cm}Fin pour\\
\textbf{Sortie:}& Afficher $V$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On saisit $N = 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur est affichée par cet algorithme en sortie ? Interpréter ce résultat en termes d'exportation d'ananas,
		\item On dispose du tableau de valeurs suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$N$ 	&5 			&10 		&15 		&20 		&25 		&30\\ \hline
$v_N$	&\np{1508} 	&\np{1576} 	&\np{1588} 	&\np{1589} 	&\np{1590} 	&\np{1590}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Que peut-on conjecturer sur la limite de la suite $\left(v_n\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item Entre la modélisation proposée à la question 1 et celle proposée à la question 2, laquelle privilégier? Pourquoi ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

Dans une usine du secteur de l'agroalimentaire, on teste le fonctionnement d'une machine à
embouteiller de l'eau. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à toute bouteille prise au hasard dans la production, associe le volume d'eau en litres qu'elle contient. On admet que, lorsque la machine est bien réglée, $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 1,5$ et d'écart type $\sigma = 0,01$.

On arrondira les probabilités au centième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité $P(X \leqslant 1,49)$.
\end{enumerate}

\textbf{Une bouteille d'eau est conforme lorsqu'elle contient entre 1,48 et 1,52 litre d'eau.}

\begin{enumerate}[resume]
\item On prélève au hasard une bouteille d'eau de la production.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité que cette bouteille d'eau soit conforme aux normes de l'entreprise,
		\item Comment aurait-on pu obtenir ce résultat sans calculatrice ?
	\end{enumerate}
\item Le directeur de l'usine souhaite que la proportion de bouteilles d'eau conformes soit égale à 97\,\%. Les techniciens effectuent un nouveau réglage de la machine à embouteiller et affirment que la proportion de bouteilles d'eau conformes est bien égale à 97\,\%.
Un contrôle sur un échantillon de $500$~bouteilles est effectué, pour juger de l'efficacité de ce réglage,
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en arrondissant les bornes à $10^{-3}$, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la proportion de bouteilles d'eau conformes dans un échantillon de taille 500.
		\item Parmi les 500 bouteilles de l'échantillon, on observe que 476 sont conformes.
		
Cette observation remet-elle en question l'efficacité du réglage ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item On veut mesurer la durée de bon fonctionnement de machines à embouteiller sur le point d'être livrées à l'usine.
	
On désigne par $T$ la variable aléatoire qui, à toute machine prélevée au hasard parmi les
machines sur le point d'être livrées, associe sa durée de vie en jours avant une défaillance, On suppose que la probabilité qu'une machine prélevée au hasard dans cette livraison prévue n'ait pas de défaillance avant l'instant $t$, exprimé en jours, est $p(T \geqslant t) = \text{e}^{-0,005t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'une machine prélevée au hasard dans la livraison prévue fonctionne plus de $200$~jours sans défaillance.
		\item Déterminer le réel $t$ pour que la probabilité qu'une machine prélevée au hasard dans la livraison prévue fonctionne moins de $t$ jours sans défaillance soit égale à $0,2$. Arrondir à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\medskip

On injecte un antibiotique en perfusion au rythme de $0,32$ milligramme par minute. On suppose que cet antibiotique n'était pas présent dans le sang avant cette perfusion. La quantité d'antibiotique présent à tout instant est modélisée par une fonction $f$.

Lorsque $t$ représente le temps écoulé, en minutes, depuis le début de la perfusion, $f(t)$ représente la quantité, en milligrammes, d'antibiotique présent dans le sang.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On admet que la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ est solution de l'équation différentielle (E) :

\[y' + 0,004y = 0,32,\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E) sur $[0~;~+\infty[$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur de $f(0)$ ?
		\item En déduire une expression de $f(t)$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip


\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout $t$ appartenant à $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(t) = - 80 \text{e}^{- 0,004t} + 80.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.

On a tracé, dans le repère donné en annexe 2, la courbe représentative $C$ de la fonction $f$ et la droite $D$, asymptote à la courbe $C$ en $+ \infty$.
\item Donner, à l'aide du graphique, la limite de la fonction $f$
 en $+ \infty$. Cette valeur est appelée quantité limite de l'antibiotique présent dans le sang.
\item Le débit de perfusion est satisfaisant si 90\,\% de la quantité limite de l'antibiotique est, arrivée dans le sang au bout de 10 heures. Déterminer, de deux façons différentes, si le débit de perfusion est satisfaisant :
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique (on laissera apparents les traits de construction utiles sur l'annexe 2 à rendre avec la copie).
		\item Sans le graphique,
\end{enumerate}
\item On admet que la quantité moyenne de l'antibiotique présente dans le sang pendant les cinq premières heures de perfusion est égale à $\dfrac{1}{300}\displaystyle\int_0^{300}f(t)\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 
		
		\[F(t) = \np{20000}\text{e}^{- 0,004t} + 80 t\]
		
est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item En déduire la valeur de : $I = \displaystyle\int_0^{300}f(t)\:\text{d}t$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième. Quelle interprétation graphique peut-on donner de l'intégrale $I$ ?
		\item Déterminer une valeur approchée, au dixième de milligramme près, de la quantité
moyenne de l'antibiotique présent dans le sang pendant les 5 premières heures de
perfusion.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
 
\textbf{ANNEXES}
 
\textbf{À rendre avec la copie}

\begin{flushleft} 
\textbf{Annexe 1 (exercice 1)}
\end{flushleft} 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en minutes	&0 		&30 &60 &90 &120 	&150\\ \hline
 $y_i$ 					&2,56	&	&	&	&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{flushleft} 
\textbf{Annexe 2 (exercice 4) :} représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par
\end{flushleft} 

\[f(t) = -80 \text{e}^{- 0,004t} +80.\]

\bigskip

\psset{xunit=0.015cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-50,-10)(800,90)
\multido{\n=0+25}{33}{\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dotted](\n,0)(\n,90)}
\multido{\n=0+5}{19}{\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dotted](0,\n)(800,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=10](0,0)(800,90)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{800}{80 80 2.71828 0.004 x mul exp div sub}
\uput[u](600,72){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[u](750,80){$D$}
\uput[u](785,0){$t$} \uput[r](0,88){mg}
\psline(0,80)(800,80)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole--La Réunion septembre 2016
\end{document}