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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 2017}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  2017~\decofourright\\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à septembre 2017}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Polynesie}{Polynésie 15 juin 2017} \dotfill \pageref{Polynesie}\\  
\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane 16 juin 2017} \dotfill \pageref{Antilles}\\
\hyperlink{Metropole}{Métropole 16 juin 2017} \dotfill \pageref{Metropole}\\
%\hyperlink{Antillessep}{Antilles septembre 2005} \dotfill \pageref{Antillessep}\\ 
\hyperlink{Metropolesep}{Métropole septembre 2017} \dotfill \pageref{Metropolesep}\\ 
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\end{tabularx}

\pagebreak
 ~
\pagebreak
%%%%%%%%%%%%% Polynésie 15 juin 2017
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{15 juin 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies Polynésie 15 juin 2017~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip

On injecte un médicament à un patient. Le tableau suivant donne la concentration (en millimoles par litre) du médicament présent dans son sang à différents instants.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en heures&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9 		&10\\ \hline
Concentration $C_i$ en 
millimoles par litre&0,082 		&0,065 	&0,058 	&0,045 	&0,040 	&0,030 	&0,024 	&0,021 	&0,019 	&0,013\\ \hline
$y_i = \ln 
\left(C_i\right)$	&$- 2,50$	&		&		&		&		&		&		&		&		&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter la dernière ligne du tableau en annexe 1. On donnera les valeurs arrondies à $10^{-2}$.
\item Tracer, sur du papier millimétré, le nuage de points $M_i\left(t_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal d'unités à 1~cm en abscisse et 2~cm en ordonnée.
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. 

Déterminer une équation de cette droite sous la forme $y = at + b$. Les
valeurs de $a$ et $b$ seront arrondies à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\emph{Dans la suite, on retient comme droite d'ajustement la droite $\Delta$ d'équation :} $y = -0,2t - 2,3$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Tracer la droite $\Delta$ sur la feuille de papier millimétré précédente.
\item Déterminer graphiquement la concentration au bout de 11~heures. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ millimoles par litre.
\item Justifier que la concentration (en millimoles par litre) du médicament présent dans le sang du patient à l'instant $t$ peut être modélisée par $C(t) = 0,1 \text{e}^{-0,2t}$.
\item Au bout de combien d'heures la concentration sera-t-elle inférieure ou égale à $10^{-3}$ millimoles par litre ? On arrondira le résultat à l'heure.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}   

\medskip

Une entreprise produit 30 tonnes de déchets non recyclables en 2015. Chaque année, l'entreprise veut diminuer la masse de déchets non recyclables de 3\,\% par rapport à l'année précédente.

\smallskip

Pour tout entier naturel $n \geqslant 0$, on note $p_n$ la masse de déchets non recyclables à l'année $2015+ n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\left(p_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $p_0$ et la raison.
\item Exprimer $p_n$ en fonction de $n$.
\item Quelle est la masse de déchets non recyclables en 2026 ? On donnera la valeur arrondie au kilogramme.
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables :}\\
$u$ et $S$ réels\\
\textbf{Initialisation :}\\
$u$ prend la valeur 30\\
$S$ prend la valeur 30\\
\textbf{Traitement:}\\
Pour $i$ allant de 1 à 5\\
\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $0,97 \times u$\\
$S$ prend la valeur $S + u$\\
Fin Pour\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $S$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer, dans le tableau fourni en annexe 2 et à rendre avec la copie, les valeurs successives prises par les variables $u$ et $S$ lors du déroulement de l'algorithme, jusqu'à son arrêt. Les valeurs seront arrondies à $10^{-2}$.
		\item Quelle valeur sera affichée en sortie de cet algorithme ? Que représente-t-elle ?
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter l'algorithme donné en annexe 2 afin de déterminer en quelle année la somme de tous les déchets non recyclables cumulés depuis l'année 2015 dépassera $300$~tonnes.
		\item Déterminer alors l'année où la somme de tous les déchets non recyclables cumulés depuis l'année 2015 dépassera $300$~tonnes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip

On étudie le comportement d'organismes vivants placés dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence.

\smallskip

On modélise cette situation par une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ qui à chaque instant $t$ (exprimé en heures) associe le nombre d'individus, en milliers, présents dans l'enceinte à cet instant.

\smallskip

On admet que pour tout réel $t$ de $[0~;~+\infty[$, 

\[f(t) = \np{1200} - \np{1000} \text{e}^{- 0,04t}.\]

Dans le repère orthogonal donné en annexe 3, on a tracé la courbe représentative 
$(\mathcal{C})$ de la fonction~$f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe $(\mathcal{C})$ donnée en annexe 3 suggère l'existence d'une asymptote horizontale.

Donner une équation de cette asymptote et justifier ce résultat par un calcul de limite.

\emph{On pourra utiliser le résultat suivant:} $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- 0,04t}  = 0$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique de l'annexe 3, déterminer le nombre d'individus, en milliers, présents dans l'enceinte au bout de $40$ heures. On fera apparaître les traits de construction utiles.
		\item  Déterminer, par le calcul, au bout de combien d'heures le nombre d'individus, en milliers, initialement présents dans l'enceinte aura été multiplié par $5$.
 	\end{enumerate}
\item  On appelle vitesse d'évolution du nombre d'individus à l'instant $t$, exprimée en nombre d'individus en milliers par heure, le nombre $f'(t)$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $t$ positif ou nul, calculer $f'(t)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Déterminer une valeur arrondie à $10^{-1}$ de la vitesse d'évolution du nombre d'individus, en milliers par heure, à l'instant $t = 50$~heures.
		\item On appelle (T) la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $50$. 
		
Tracer cette tangente sur le graphique donné en annexe 3 à rendre avec la copie. On expliquera la méthode employée.
		\item La vitesse d'évolution du nombre d'individus, en milliers par heure, diminue au cours du temps.

Comment cela se traduit-il sur le graphique de l'annexe 3 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}   

\begin{center}
\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.}
\end{center}

Une entreprise fabrique en grand nombre des flacons destinés à contenir un parfum. Un flacon est non conforme s'il ne répond pas au cahier des charges défini par l'entreprise.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On note $E$ l'évènement \og un flacon prélevé au hasard dans la production d'une journée est non conforme \fg. La probabilité de cet évènement est égale à $0,07$.

\smallskip

On prélève au hasard $200$~flacons dans la production de cette journée, suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $200$~flacons pris au hasard dans la production, associe le nombre de flacons non conformes dans ce prélèvement.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, dix flacons soient non conformes.
\item  Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$. Interpréter ce résultat.
\item  Calculer l'écart type de la variable aléatoire $X$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On décide d'approcher la loi binomiale suivie par $X$ par la loi normale de paramètres 
$\mu = 14$ et $\sigma = 3,61$. On considère une variable aléatoire $Y$ suivant cette loi normale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier le choix des valeurs de $\mu$ et $\sigma$.
\item En utilisant la loi de $Y$, déterminer la probabilité qu'un prélèvement de $200$~flacons contienne au moins $15$~flacons non conformes.
\item On a représenté ci-dessous dans un repère orthogonal, la courbe représentative 
$\mathcal{C}$ de la fonction de densité de la loi normale de paramètres $\mu = 14$ et $\sigma = 3,61$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=50cm,algebraic=true,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.01)(28.5,0.13)
\def\m{14}% moyenne 
\def\s{3.61}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=violet]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{\f}
\psline(8,0)(0,0)}
\multido{\n=0+2}{14}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,0.12)}
\multido{\n=0.00+0.02}{7}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(26,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.02,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(28.5,0.13)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{28}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

L'aire du domaine grisé arrondie à $10^{-3}$ vaut $0,048$ unité d'aire.

Déterminer les probabilités $P(Y \geqslant 20)$ puis $P(8 \leqslant Y \leqslant 20)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

L'entreprise affirme à ses clients que 93\,\% des flacons sont conformes. Une enseigne de parfumerie décide d'acheter une grande quantité de flacons.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Cette enseigne souhaite vérifier l'affirmation de l'entreprise sur la qualité des flacons. Pour cela, elle prélève un échantillon de $400$~flacons au hasard dans une livraison.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des flacons conformes dans un échantillon de $400$~flacons.
		\item L'enseigne de parfumerie constate que $36$~flacons de l'échantillon ne sont pas conformes.
\end{enumerate}		
Ce résultat remet-il en question la confiance de cette enseigne de parfumerie envers son
entreprise ?

\item  On cherche à déterminer la taille $N$ des échantillons à partir de laquelle l'intervalle de fluctuation asymptotique a une longueur inférieure ou égale à $0,02$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire, en fonction de $n$, un intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence de flacons conformes dans un échantillon de $n$ flacons puis vérifier que la longueur de cet intervalle est $2 \times 1,96\sqrt{\dfrac{0,93 \times 0,07}{n}}$.
		\item Avec un logiciel de calcul formel, on a obtenu les informations suivantes:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
	&$2 * 1,96*\text{sqrt}((0,93*0,07)/x)<=0,02$\\
1	&$2 \cdot 1,96 \sqrt{\dfrac{0,93 \times 0,07}{x}} \leqslant  0,02$\\ \hline
	&$2(1,96) \text{sqrt}((0,93 (0,07))/ x) \leqslant 0,02$\\
2	&Résoudre : $\left\{x \geqslant \dfrac{\np{1563051}}{625}\right\}$\\ \hline
	&$\np{1563051} / 625$\\
3 	&$\approx \np{2500,88}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Utiliser les résultats obtenus pour en déduire la valeur $N$ cherchée.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\textbf{\large ANNEXE 1 : Exercice 1} (à rendre avec la copie)
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en heures &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline
Concentration $C_i$ en millimoles par litre &0,082 &0,065 &0,058 &0,045 &0,040 &0,030 &0,024 &0,021 &0,019 &0,013\\ \hline
$y_i = \ln \left(C_i\right)$& $- 2,50$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ANNEXE 2 : Exercice 2} (à rendre avec la copie)

\medskip

\textbf{4. a.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Étape $i$& $u$& $S$\\ \hline
1 &29,10 &59,10\\ \hline
2 &28,23 &87,33\\ \hline
3 &&\\ \hline
4 &&\\ \hline
5 &&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{5. a.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables :}\\
$n$ entier naturel\\
$u$ et $S$ réels\\
\textbf{Initialisation :}\\
$u$ prend la valeur 30\\
$S$ prend la valeur 30\\
$n$ prend la valeur $0$\\
\textbf{Traitement:}\\
\dots \dots \dots\\
\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $0,97 \times u$\\
\hspace{1cm}$S$ prend la valeur $S + u$\\
\hspace{1cm}$n$ prend la valeur \ldots\\
\ldots\ldots\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\pagebreak

\textbf{\large ANNEXE 3 : Exercice 3} (à rendre avec la copie)

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.075cm,yunit=0.01cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-10,-20)(150,1270)
\multido{\n=0+5}{31}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=cyan](\n,0)(\n,1200)}
\multido{\n=0+50}{25}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=cyan](0,\n)(150,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(150,1250)
\uput[l](20,1265){Nombre d'individus}
\uput[u](140,0){$t$ (en heures)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{150}{1200 1000 2.71828 0.04 x mul exp div sub}
%\psline[linecolor=red,ArrowInside=->]{->}(40,0)(40,998.103)(0,998.103)
%\psline[linecolor=green,ArrowInside=->](50,1065)(70,1065)(70,1173)
%\psline{<->}(30,957)(70,1173)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%  fin Polynésie 15 juin 2017
\pagebreak
%%%%%%%%%%%  Antilles-Guyane juin 2017
\hypertarget{Antilles}{}

\label{Antilles}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies Antilles-Guyane 16 juin 2017~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\begin{center}
\emph{Les deux questions sont indépendantes}
\end{center}

Dans cet exercice, on s'intéresse à l'indice de masse corporelle (poids en kg divisé par le carré de la taille en m), noté IMC, de personnes adultes, âgées de 18 à 74 ans.

\smallskip

Une personne est considérée \og maigre \fg{} si son IMC est inférieur à 18,5.

Elle est considérée \og de poids normal \fg{} si son IMC est compris entre 18,5 et 25.

Elle est considérée \og en surpoids \fg{} si son IMC est compris entre 25 et 30.

Elle est considérée \og obèse\fg{} si son IMC est supérieur à 30.

\bigskip

\emph{Les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à une personne adulte prise au hasard, associe son IMC.

Dans cette question, on suppose que $X$ suit la loi normale d'espérance $24,9$ et d'écart type $5,3$. On prend une personne au hasard dans la population.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que cette personne soit \og en surpoids \fg.
		\item Déterminer la probabilité que cette personne soit \og maigre \fg.
	\end{enumerate}
\item On suppose qu'en France, la proportion d'adultes obèses est de 15\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de personnes obèses dans un échantillon de taille $800$. Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$.
		\item Dans le cadre d'un plan de prévention planifié par une région française, une agence de santé indépendante a réalisé une enquête au cours de laquelle a été mesuré l'IMC de $800$ personnes adultes habitant cette région. Parmi celles-ci, $148$ ont un IMC supérieur à $30$.
		
Peut-on considérer que la population de cette région comporte une proportion d'adultes
obèses conforme à la moyenne nationale ou, au contraire, qu'il y a lieu d'envisager des
actions de prévention contre l'obésité ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}   

\begin{center}
\emph{QUESTIONNAIRE À CHOIX MULTIPLE}
\end{center}

\emph{Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Chaque bonne réponse rapporte un point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.}

\medskip

Donner sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre de la réponse choisie. Aucune
justification n'est demandée et une seule réponse est attendue par question.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On injecte à un patient une dose de $5$~mL d'une solution antibiotique, ce qui correspond à une dose de $5$~mg d'antibiotique. La quantité d'antibiotique présente dans le sang diminue chaque heure de 5,5\,\%.

Au bout de combien d'heures révolues la quantité de médicament restant dans le sang sera-t-
elle passée sous le seuil des 20\,\% de la quantité injectée au départ du traitement ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 9 &\textbf{b.~~} 28 &\textbf{c.~~} 57 &\textbf{d.~~} 29
\end{tabularx}
\medskip

\item Dans un échantillon de $136$ personnes prélevé dans la population d'une ville, on observe que $57$ d'entre elles portent des lunettes. On appelle $p$ la proportion des personnes portant des lunettes dans la population.

L'intervalle de confiance dont les bornes sont arrondies à $10^{-2}$, au niveau 95\,\%, pour la proportion $p$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} [0,35~;~0,49] &\textbf{b.~~} [0,47~;~0,67] &\textbf{c.~~} [0,41~;~0,43]& \textbf{d.~~} [0,34~;~0,50]
\end{tabularx}
\medskip

\item Une variable aléatoire $Y$ suit une loi exponentielle de paramètre $3,5$.

La probabilité $P(0,4 \leqslant Y \leqslant  0,8)$, approchée à $0,001$ près, est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,186 &\textbf{b.~~} 0,650 &\textbf{c.~~} 0,734 &\textbf{d.~~} 0,286
\end{tabularx}
\medskip

\item On rappelle que la fonction ALEA() d'un tableur renvoie un nombre aléatoire compris
entre 0 et 1, et simule une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle [0~;~1].

On souhaite simuler une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle [-1~;~1].

Quelle formule faut-il écrire dans le tableur ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $= 2 \times \text{ALEA}() - 1$&
\textbf{b.~~} $= (\text{ALEA}() + 1) \div 2$&
\textbf{c.~~} $= 2 \times \text{ALEA}()$&
\textbf{d.~~} $= \ln(\text{ALEA}())$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}   

\medskip

On administre à un patient un médicament par voie intraveineuse. Ainsi la concentration du produit actif est quasi immédiatement maximale après l'injection, puis elle diminue de 3\,\% par minute.

\smallskip

On notera $C_0$ la concentration à l'instant $t = 0$ minute et $C_n$ la concentration en mg. L$^{-1}$ au bout de $n$ minutes.

On pose $C_0 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(C_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
\item Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
\item En résolvant une inéquation, déterminer à partir de quelle valeur de $n$ la concentration du produit actif aura diminué de moitié.
\item On considère le premier algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :} 	&$K$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation:}&$K$ prend la valeur 1\\
						&\\
\textbf{Traitement:} 	&Répéter 5 fois\\
						& \hspace{1cm}$K$ prend la valeur $0,97*K$\\
\textbf{Sortie:} 		&Afficher $K$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur $K$ affichée à l'issue de l'exécution de cet algorithme ? On arrondira à \np{0,0001}.
		\item Quelle interprétation peut-on donner de cette valeur de $K$ en terme de concentration du médicament ?
	\end{enumerate}
\item On considère maintenant l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables:}			&$i$ est un entier naturel, $K$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation:} 	&$K$ prend la valeur 1\\
							&$i$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement:} 		&Tant que $K > 0,5$\\
							&\hspace{1cm}$i$ prend la valeur $i + 1$\\
							&\hspace{1cm}$K$ prend la valeur $0,97*K$\\
\textbf{Sortie:} &			Afficher $i$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi cet algorithme exécutera plus de 5 itérations de la boucle \og Tant que \fg.
		\item Quel résultat l'exécution de cet algorithme permet-elle de retrouver ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}   

\medskip

\textbf{PARTIE A - ÉTUDE STATISTIQUE}

\medskip

Les immunoglobulines G, notées IgG, sont des anticorps qui interviennent dans l'élimination
d'antigènes. On étudie la concentration d'IgG dans le sang d'un patient au fil des semaines lors du contact avec un antigène. 

On a recueilli les informations consignées dans le tableau suivant, où $t_i$
est le temps en semaines écoulées après ce contact et $y_i$ le taux d'immunoglobulines G en g. L$^{-1}$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en semaines 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6\\ \hline
Taux $y_i$ d'IgG en g.L$^{-1}$	&13,4 	&14,7 	&13,9 	&12,8 	&11,7 	&10,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On pose $z = \ln \left(\dfrac{y}{t}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier sur vote copie et compléter le tableau suivant, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$										&1 		&2 	&3 	&4 	&5 		&6\\ \hline
$z_i = \ln \left(\dfrac{y_i}{t_i}\right)$	&2,60 	&	&	&	&0,85	&\rule[-3.5mm]{0mm}{9mm} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{-2}$ près.
\item Déterminer un ajustement de $y$ en fonction de $t$ de la forme $y = a t \text{e}^{b t}$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. On arrondira les $a$ et $b$ au dixième.
\item Estimer le taux d'IgG à la 8\up{e} semaine à l'aide de l'expression de la question 3. Arrondir à $10^{-1}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B - ÉTUDE D'UNE FONCTION}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = 17,3 t \text{e}^{- 0,4 t}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne : $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$. Interpréter graphiquement ce résultat.
\item On note $f'$ la dérivée de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

Montrer que pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$,\: $f'(t) = (17,3 - 6,92 t)\text{e}^{- 0,4 t}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 
		
		\[F(t) = (-108,125 - 43,25 t)\text{e}^{- 0,4 t}.\]
		
Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item  La valeur moyenne de $f$ sur $[a~;~b]$ est donnée par la formule : $V_m = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t$.
	
Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [1~;~5]. On donnera la valeur approchée
arrondie à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C - INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS DE LA PARTIE B}

\medskip

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe de la fonction $f$ représentée dans le repère ci-dessous. ($f$ est la fonction définie dans la partie B)

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,20)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=6](0,0)(20,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(20,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(20,20)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{17.3 x mul 2.71828 0.4 x mul exp div}
\uput[u](14,1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On suppose que $f(t)$ représente le taux d'IgG en g.L$^{-1}$ en fonction du temps $t$ en semaines (écoulées après contact avec l'antigène), où la fonction $f$ est celle de la partie B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le taux maximal d'IgG du patient ? Quand ce taux est-il atteint ?
\item Le test sérologique d'IgG est positif lorsque le taux d'IgG dépasse 13~g.L$^{-1}$. 

Déterminer, à l'aide du graphique, sur quelle période une analyse de sang donnerait ce test positif.
\item Sachant que le taux d'immunoglobuline est inférieur à $12$~g.L$^{-1}$ en moyenne chez un adulte sain, suivant ce modèle, durant quelles périodes le sujet pourrait-il être diagnostiqué sain ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Antilles 16 juin 2017
\pagebreak
%%%%%%%%%%%%   Métropole 16 juin 2017
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 juin 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  biotechnologies  Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt] 16 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}  

\vspace{0.25cm}

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Une société souhaite exploiter un nouveau détecteur qui permet de mesurer la désintégration de
noyaux radioactifs. Pour tester ce détecteur, la société l'utilise pour déterminer le nombre de
noyaux radioactifs présents dans un échantillon radioactif à des instants donnés. Voici les
résultats des relevés réalisés au cours des heures qui ont suivi le début du test:

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre $t_i$ d'heures écoulées
 depuis le début du test			&0			&2  	&4		&6		&8		&10\\\hline
Nombre de noyaux $N_i$  détectés
 dans l'échantillon (en milliards)	&500 		&440	&395 	&362	&316 	&279\\\hline
\end{tabularx}

\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau ci-dessous $\left(\text{on arrondira les valeurs à }10^{-3}\right)$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$t_i$ 			&$0$ 	&$2$ 	&$4$ 	&$6$ 	&$8$&$10$\\\hline
$y_i = \ln N_i$	&		&		&		&		&	&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(t_i~;~y_i\right)$ sur l'\textbf{annexe 1, (à rendre avec la
copie)}.
\item Un ajustement affine est-il envisageable ? Pourquoi ?
\item \label{equa} À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ d'ajustement de $y$ en $t$
par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = at + b$, où les coefficients $a$ et $b$
seront arrondis à $10^{-3}$.
\item Tracer alors la droite $D$ sur l'\textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)}.
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item  On choisit la droite $D$ comme modèle d'ajustement du nuage de points $M_i\left(t_i~;~y_i\right)$.

À l'aide de la question \ref{equa}, montrer alors que, pour tout réel $t$ positif ou nul, le nombre
de noyaux, en milliards, détectés dans l'échantillon au bout de $t$ heures écoulées depuis
le début du test, est de la forme: $A\text{e}^{Bt}$ où $A$ (arrondi à l'unité) et $B$ (arrondi au millième)
sont deux réels à préciser.
\item La loi de désintégration assure que la fonction $f$, qui à tout réel $t$ positif ou nul, associe le
nombre de noyaux, en milliards, présents dans l'échantillon au bout de $t$ heures, est
définie par $f(t) = 500\text{e}^{-0,06t}$ .
Le test réalisé doit-il conduire la société à exploiter le nouveau détecteur? Pourquoi?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On étudie à présent la fonction $f$ définie sur $[0~;~~+\infty[ $ par 

\[f(t) = 500\text{e}^{- 0,06t}.\]

\smallskip
\begin{enumerate}
\item On admet que : $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \text{e}^{- 0,06t} = 0$.

Déterminer et interpréter graphiquement la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Calculer $f'(t$) où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item On rappelle que $f(t)$ est le nombre de noyaux, en milliards, présents dans l'échantillon
radioactif $t$ heures après le début du test.
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de noyaux présents dans l'échantillon 24 heures après le début du test. On arrondira à l'unité.
\item Au bout de combien d'heures la moitié des noyaux présents dans l'échantillon au début du test aura-t-elle disparu ? On justifiera la réponse par un calcul et on arrondira à l'heure.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

\vspace{0.25cm}

On s'intéresse à une modélisation de la concentration d'un médicament, injecté dans le sang d'un
patient, en fonction du temps.

À 7 heures du matin, on injecte le médicament au patient. Toutes les heures, on relève la
concentration de médicament dans le sang, exprimée en $\micro \mathrm{g}\cdot \mathrm{mL}^{-1}$. À l'injection, cette concentration est égale à $\np[\micro g\cdot mL^{-1}]{3,4}$.

Le nuage de points ci-dessous donne la concentration de ce médicament dans le sang en fonction du temps écoulé depuis l'injection.

\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=1.6cm,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(0,-0.9)(6.6,4.5)
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4)}
\multido{\n=0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=0.85pt,Dx=1,Dy=1,labels=x]{-}(0,0)(6,4)
\multido{\n=0+0.500}{9}{\uput[l](0,\n){\scriptsize \np{\n}}}
\psdots[dotstyle=square,fillcolor=gray,dotscale =1.4,dotangle=45](0,3.4)(1,2.72)(2,2.176)(3,1.741)(4,1.393)(5,1.114)
\uput[r](0.1,3.4){\np{3.400}} \uput[r](1.1,2.72){\np{2.720}}\uput[r](2.1,2.176){\np{2.176}}\uput[r](3.1,1.741){\np{1,741}}\uput[r](4.1,1.393){1,393}\uput[r](5.1,1.114){1,114}\uput[d](3,-0.25){\footnotesize temps en heures} \uput[l](-0.5,2){\rotatebox{90}{\footnotesize Concentration en $\micro \mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1}$}}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Dans cette partie, on modélise la concentration de ce médicament par une fonction définie sur l'intervalle [0~;~5].

Parmi les trois modélisations proposées, une seule est correcte. Laquelle? Justifier.

\begin{itemize}
\item[a.] $f :x\mapsto  0,6x+3,4$
\item[b.] $g: x \mapsto 3,4\text{e}^{ -0,223x}$
\item[c.] $h: x\mapsto \dfrac{9}{3+x}$
\end{itemize}
\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Dans cette partie, on choisit de modéliser la concentration du médicament par une suite, en
prenant, pour valeurs des trois premiers termes de la suite, les valeurs données par le graphique
placé avant la partie A.

\begin{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on note $C_n$ la concentration, exprimée en $\micro \mathrm{g}\cdot \mathrm{mL}^{-1}$, au bout
de $n$ heures, de ce médicament dans le sang. Une partie de ce médicament est éliminée toutes les heures.
	\begin{enumerate}
		\item  Par lecture du graphique, donner les valeurs de $C_0$, $C_1$ et $C_2$.
		\item Que peut-on alors conjecturer sur la nature de la suite $\left(C_n\right)$ ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
On admet qu'à chaque heure, la concentration du médicament restante baisse de 20\,\%.

\begin{enumerate}[resume]
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer alors la limite de la suite $\left(C_n\right)$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter
cette limite dans le contexte de l'exercice.
\item Soit l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\begin{minipage}{6cm}

\textbf{Variables:}\rule[-3mm]{0mm}{8mm}

\hspace{1.2em}$n$ entier naturel

\hspace{1.2em}$C$ réel

\textbf{Initialisation :}

\hspace{1.2em}Affecter à $n$ la valeur 0

\hspace{1.2em}Affecter à $C$ la valeur 3,4

\textbf{Traitement:}

\hspace{1.2em}Tant que $C$ est supérieur à 1

\hspace{3.2em}Affecter à $n$ la valeur $n+1$

\hspace{3.2em}Affecter à $C$ la valeur $0,8\times C$

\hspace{1.2em}Fin tant que

\textbf{Sortie:}

\hspace{1.2em}Afficher $n$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}

\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Quelle valeur affiche l'algorithme ? Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.
\item Pour des raisons d'efficacité, le patient reçoit immédiatement une nouvelle injection de médicament dès que, lors d'un relevé à une heure donnée, la concentration $\mathbf{c}$ du médicament
dans le sang est inférieure ou égale à \np[\micro \mathrm{g}\cdot mL^{-1}]{1}. À la nouvelle injection, la concentration du
médicament dans le sang est alors égale à $\mathbf{c} + 3,4\, \micro \mathrm{g}\cdot \mathrm{mL}^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item À quelle heure le patient devra-t-il recevoir une deuxième injection?
		\item Quelle est la concentration du médicament à cette deuxième injection ? 

On arrondira le résultat à \np[\micro g\cdot mL^{-1}]{0.1}.
		\item À quelle heure le patient devra-t-il recevoir une troisième injection?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}  

\vspace{0.25cm}

La Direction de la recherche, des études, de l'évaluation et des statistiques (Drees) affirme qu'en France : 7 adultes sur 10 portent des lunettes.

On prélève au hasard un échantillon de 40 adultes parmi la population française. On assimile ce
prélèvement à un tirage avec remise.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de ce type, associe le nombre de porteurs de
lunettes dans l'échantillon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 30 porteurs de lunettes dans un tel
échantillon de 40 adultes. On donnera la valeur arrondie à $10^{-3}$.
\end{enumerate}
On admet que la loi binomiale de la variable aléatoire $X$ précédente peut être approchée par une loi normale de paramètres \textmu{} et $\sigma$.
\item On a représenté ci-dessous un diagramme en bâtons et une courbe C. L'une de ces deux représentations est la représentation de la loi binomiale suivie par $X$; l'autre celle de la loi normale de paramètres \textmu{} et $\sigma$.

\begin{center}

\psset{xunit=0.35cm,yunit=40cm,arrowsize=5pt,yAxis=false}
\begin{pspicture*}(17,-0.03)(42,0.15)
%\rput(16,0.07){$\mathcal{N}(6;2,19)$}
\psaxes[Dx=2,Dy=0.05,dy=0.05\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(40,0.20)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=28,sigma=2.898]{18}{40}
\psBinomial[linewidth=1.2pt,markZeros,fillstyle=vlines]{40}{0.7}  
\end{pspicture*} 

\end{center}

\begin{enumerate}
\item  À laquelle des deux représentations est associée la loi binomiale ? Pourquoi ?
\item Donner, par lecture graphique, la valeur de \textmu. Justifier,
\item On affirme que l'écart type $\sigma$ de la loi normale est égal à 8. Cette affirmation est-elle
correcte ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des
porteurs de lunettes dans un échantillon aléatoire de 40 adultes en France. On
arrondira les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$.
\item Dans un échantillon de 40 adultes en France, on compte 24 porteurs de lunettes.
Déduire de la question précédente si cet échantillon remet en cause l'affirmation de la
Drees qui figure au début de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

\vspace{0.25cm}

Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur [0~;~7] par 

\[ f(x) = 20x\e^{-x}\qquad \text{ et }\qquad g(x)= 20x^2\e^{-x}.\]

 On note $C_f$ et $C_g$ les courbes représentatives respectives des fonctions $f$ et $g$ représentées en \textbf{annexe~2}.

\begin{enumerate}
\item  On note :

\begin{itemize}
\item  $D_1$ l'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites  d'équations $x = 1$ et $x = 3$ ;
\item $D_2$ l'aire du domaine délimité par les courbes $C_g$, $C_f$ et les droites d'équation $x = 3$
et $x = 6$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Hachurer les domaines $D_l$ et $D_2$ sur le graphique donné en \textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}.
\item Encadrer, par deux entiers consécutifs, les aires, en unités d'aire, des domaines $D_1$
et $D_2$.
\end{enumerate}
\item La commande $Int(f(x),x,a,b)$ d'un logiciel de calcul formel permet de calculer la valeur de

l'intégrale $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$.

 On obtient alors les résultats suivants pour quatre intégrales:

\begin{center}

\renewcommand\arraystretch{1.3}

\begin{tabular}{|c| m{7cm}|}\hlinewd{1mm}
1& $Int(20x\text{e}^{-x},x,1,2)$\\\hline
&$40\text{e}^{-1}-60\text{e}^{-2}$\\\hlinewd{1mm}
2&$Int(20x\e^{-x}, x,2,3$)\\\hline
&$60\text{e}^{-2}-80\text{e}^{-3}$\\\hlinewd{1mm}
3& $Int(20x\text{e}^{-x}, x,3,6)$\\
&$80\text{e}^{-3} -140\text{e}^{-6}$\\\hlinewd{1mm}
4& $Int(20x^2\text{e}^{-x} ,x,3,6)$\\
&$340\text{e}^{-3} -\np{1 000}\text{e}^{-6}$\\\hlinewd{1mm}
\end{tabular}
\renewcommand\arraystretch{1}

\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les aires des domaines $D_1$ et $D_2$ en justifiant la réponse. On donnera les valeurs exactes.
		\item Comparer les valeurs des deux aires obtenues.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak
\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 \hspace{1em}(exercice 1)}

\textbf{(À rendre avec la copie)}

\psset{xunit=1cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,0)(19,1)
\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,0.8)}
\multido{\n=0+0.1}{9}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(19,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=5.5,Dy=0.1]{->}(0,0)(19,0.8)
\uput[dr](0,0.8){$y_i$}\uput[ur](18.5,0){$t_i$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{landscape}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 2\hspace{1em}(exercice 4)}

\textbf{(À rendre avec la copie)}

\psset{xunit=2.75cm,yunit=1.cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,0)(7.5,13)
\multido{\n=0+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,12.1)}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(7.1,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=1](0,0)(7.3,12.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=1]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{ 2.71828 x neg exp x mul 20 mul }
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{7}{2.71828 x neg exp x 2 exp mul 20 mul}

\uput[ur](0.2,5.9){\blue $C_f$}\uput[ur](2.5,9){\cyan $C_g$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{landscape}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole 16 juin 2017
\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%   Métropole septembre 2017
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{7 septembre 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

{\large \textbf{4 heures}}

\smallskip

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  biotechnologies  Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt]
7 septembre 2017}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.25cm}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de
réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.

\textbf{Indiquer, sans justification, le numéro de la question et la réponse correspondante sur la
copie.}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur [4~;~9], alors la probabilité $P(X\geqslant 5)$ est égale à:

\hspace*{0.35cm}\textbf{a.~~} $\dfrac{5}{9}$; \hfill \textbf{b.~~} $0,8$ ;\hfill\textbf{c.~~}une valeur autre que $\dfrac{5}{9}$ et $\np{0.8}$.

\item Une variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $15$ et d'écart type $4$ alors la probabilité $P(Y\geqslant 17)$ est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} supérieure à \np{0.25}; &\textbf{b.~~} inférieure à \np{0.15}; &\textbf{c.~~}supérieure à \np{0.75}.
\end{tabularx}

\item Dans le repère ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représente la fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance \textmu{} et d'écart type $\sigma$. De même, la courbe $\mathcal{C}_{g}$
représente la fonction de densité $g$ d'une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance
\textmu$'$ et d'écart type $\sigma'$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=42cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-10,-0.02)(19,0.15)
%\rput(16,0.07){$\mathcal{N}(6;2,19)$}
\psaxes[Dx=2,Dy=0.02,dy=0.02\psyunit,linewidth=1.25pt]{-}(0,0)(-10,0)(19,0.15)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.25pt,mue=4,sigma=2.7]{-10}{18}
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=4,sigma=5]{-10}{18.7}
\uput[d](7,0.12){\red $\mathcal{C}_g$}\uput[dr](12,0.04){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

D'après le graphique. on a :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \textmu = \textmu$’$ et $\sigma>\sigma '$ ;&\textbf{b.~~} \textmu $<$ \textmu $’$ et $\sigma=\sigma '$;&\textbf{c.~~}\textmu = \textmu$’$ et $\sigma < \sigma '$.
\end{tabularx}

\item La loi binomiale de paramètres $n =150$ et $p = 0,96$ peut être approximée par la loi normale
d'espérance \textmu{} et d'écart type $\sigma$ avec :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \textmu = $144$ et $\sigma=\np{5.76}$; &\textbf{b.~~} \textmu = $150$ et $\sigma=\np{2.4}$; &\textbf{c.~~}\textmu = $144$ et $\sigma=\np{2.4}$.
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.25cm}


Une solution contient initialement 5 millions de bactéries par mL. Toutes les 10 minutes, la
concentration en bactéries augmente de 15\,\%.

\begin{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on note $c_n$ la concentration en bactéries en millions par mL au bout de
$n$ dizaines de minutes.

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de la suite $(c_n)$ ? En préciser le premier terme et la raison.
\item Vérifier qu'au bout d'une heure et demie, la concentration des bactéries en millions par mL,
est égale à \np{17.6} (valeur arrondie à 0,1).
\item En précisant la démarche, déterminer au bout de combien de minutes la concentration en
bactéries dépasse 20 millions par mL.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Les phages sont des virus infectant les bactéries ; ils peuvent donc servir d'agents antibactériens. Le
but de l'exercice est d'étudier l'action de phages sur une population de bactéries.

\begin{enumerate}[resume]
\item On introduit des phages au bout de 90 minutes. Cette introduction de phages provoque une
diminution globale de la concentration en bactéries de 40\,\% toutes les dix minutes. On souhaite
connaître le temps nécessaire pour que la concentration en bactéries devienne inférieure à 10\,\%
de la concentration initiale. Pour ce faire, on utilise l'algorithme ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textbf{Variables :} $I$ entier, $C$ réel\\
\textbf{Traitement :} \\
\hspace{0.4cm}$C$ prend la valeur 17,6\\
\hspace{0.4cm}$I$ prend la valeur 0\\
\hspace{0.6cm}Tant que $C > 0,5$\\
\hspace{0.8cm}$I$ prend la valeur $I + 1$\\
\hspace{0.8cm}$C$ prend la valeur $C \times 0,6$\hspace*{0.5cm}\\
\hspace{0.6cm}Fin Tant Que\\
\textbf{Sortie :} Afficher $I$ et $C$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  Que représentent les valeurs 17,6 et 0,5 figurant dans l'algorithme par rapport à la situation concrète proposée ?
		\item Quelles sont les valeurs affichées par l'algorithme en sortie ? Comment les interpréter?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (5 points)}  

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Chez un ostréiculteur (producteur d'huîtres) d'un village au bord de l'Atlantique, la bactérie appelée \emph{vibrio estuarianus } est apparue à partir du mois d'août 2014. Le tableau ci-dessous donne la quantité $y_i$ (exprimée en tonnes) d'huîtres affectées par cette bactérie dans son élevage en fonction de $x_i$ qui
représente le numéro du mois depuis l'apparition de la bactérie. Le numéro 1 correspond au mois d'août 2014, le numéro 2 correspond au mois de septembre 2014, \dots

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\\hline
$y_i$	&20	&210&320&390&440&480&510&540&560&570\\\hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item Sur une feuille de papier millimétré, représenter graphiquement ce nuage de points dans un
repère orthogonal. On prendra \np[cm]{1} pour 1 unité en abscisses et \np[cm]{1}   pour 50 tonnes en
ordonnées.
	\item  Un ajustement affine semble-t-il pertinent? Pourquoi?
	\end{enumerate}

\item On pose: $z_i =\dfrac{750}{750- y_i}$. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z_i$, au centième.

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x_i$ 	&1				&2	&3&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\\hline
$z_i$	&\np{1.03}	&		&	&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item
		\begin{enumerate}
		\item  On réalise alors un ajustement affine de ce nouveau nuage de points $M_i(x_i~;~z_i)$. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $D$ d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode
des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $10^{-4}$).
		\item Déterminer  à l'aide de ce modèle d'ajustement, la quantité d'huîtres affectées par la bactérie
en décembre 2015 chez cet ostréiculteur (le mois de décembre est la période de vente la plus
importante pour un ostréiculteur). On arrondira le résultat à la dizaine de tonnes.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Depuis le mois de janvier 2015, on tente d'éradiquer cette bactérie à l'aide d'un antibiotique mis au point par un laboratoire pharmaceutique. Le directeur de ce laboratoire affirme que cet antibiotique permet de sauver 76\,\% des huîtres affectées par cette bactérie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence d'huîtres sauvées par l'utilisation de l'antibiotique dans un échantillon de \np{1000} huîtres (on arrondira les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$)
\item  L'ostréiculteur décide d'utiliser cet antibiotique sur un lot de \np{1000} huîtres de son élevage affectées par cette bactérie. Il constate, qu'après l'utilisation de cet antibiotique, 74\,\% des huîtres ont été sauvées.

L'observation faite par l'ostréiculteur remet-elle en question l'affirmation faite par le directeur du laboratoire ? Justifier la réponse.

\end{enumerate}


\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (7 points)}  

\vspace{0.25cm}

\begin{enumerate}
\item  Soit la fonction $g$ définie sur [0~;~10] par $g(x) = 60 x \text{e}^{-0,5x}$.
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient deux expressions de la dérivée de la fonction $g$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X X|}\hline
1	&g($x$) :$=60*x*\text{exp}(-0.5*x)$	& \\ \hline
	&//interprète g&\\
	&//Succès lors de la compilation g&\\\hline
	&								&$x \to 60*x*\text{exp}((-0.5)*x)$\\ \hline
2	&deriver (g($x$))					&\\ \hline
	&								&$60*\text{exp}(-0.5*x)-30*x*\text{exp}(-0.5*x)$\\ \hline
	
3	&factor(deriver g(x))&\\\hline	
	&								&$-30*(x-2)*\text{exp}(-0.5*x)$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item  Déterminer le signe de la dérivée de la fonction $g$.
\item Établir le tableau de variations de $g$ sur [0~;~10].
\end{enumerate}
\item Un laboratoire teste l'efficacité d'une nouvelle crème solaire. Pour cela, il mesure le taux
d'hydratation, en pourcentage, de la peau d'une personne, qui est exposée au soleil pendant
10 heures. On admet que pour tout réel $t$ de [0~;~10], $g(t)$ est le taux d'hydratation de la peau au
bout de $t$ heures après l'application de la crème.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le taux d'hydratation, en pourcentage, de la peau au bout d'une demi-heure après
l'application de la crème. On arrondira au dixième.
\item Déterminer à quel moment le taux d'hydratation, en pourcentage, est maximal.
\item On peut commercialiser cette crème si le taux d'hydratation dépasse 30\,\% pendant une
durée d'au moins 3 heures.

À l'aide de la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ donnée en annexe, expliquer si le
laboratoire peut ou non commercialiser cette crème (on fera notamment apparaître les traits
de construction utiles sur l'annexe à rendre avec la copie).
\end{enumerate}
\item Un chercheur du laboratoire étudie l'élimination au contact de la lumière d'un composant de la
crème solaire. La concentration de ce composant est modélisée par une fonction $f$.

Lorsque $t$ représente le temps d'exposition à la lumière  en heures, $f(t)$ représente la
concentration en g·L$^{-1}$ de ce composant restant dans la crème.

On admet que la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ est solution de l'équation différentielle suivante:

\[(E)\::\quad y'+\np{0.4}y = 0.\]

	\begin{enumerate}
		\item  On sait qu'à l'instant $t = 0$, la concentration du composant est égale à \np[g\cdot L^{-1}]{1.3}.

Montrer alors que pour tout réel $t$ de $[0~;~+\infty[$, $f(t) = 1,3 \text{e} ^{- \np{0.4}t}$.
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~,~+\infty[$.

Ce résultat est-il cohérent avec la situation étudiée ? Pourquoi?
		\item  Déterminer au bout de combien de temps, la concentration du composant est inférieure à
$\np[g\cdot L^{-1}]{0.3}$. On donnera la valeur en heures et minutes, arrondie à la minute.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}

\textbf{Annexe de l'exercice 4, question 2.c.}

\textbf{À rendre avec la copie}

\end{center}

\bigskip

Représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$

\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.2cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(11,54)
\multido{\n=-0.000+0.333}{32}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,50.2)}
\multido{\n=0.0+2.5}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(10.5,50.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{2.71828 x .5 mul neg exp x mul 60 mul }
\uput[ur](4.5,27.3){\blue $\mathcal{C}_g$}
\uput[dr](10.25,0){$t$}\uput[dl](0,51){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole septembre 2017
\end{document}
