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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de laboratoire (STL)spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{4 septembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL spécialité biotechnologies  ~\decofourright\\[5pt] Antilles-Guyane 4 septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{L’usage de la calculatrice avec le mode examen activé est autorisé.}
 
\textbf{L’usage de la calculatrice sans mémoire, \og type collège\fg, est autorisé.}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}  

\medskip

Dans un centre avicole, les \oe ufs sont pesés et classés suivant quatre catégories avant expédition :
\begin{itemize}
\item[\ding{111}] XL : pour les très gros \oe ufs d’un poids supérieur ou égal à \np[g]{73}  ;
\item[\ding{111}] L : pour les gros \oe ufs d’un poids supérieur ou égal à \np[g]{63} et strictement inférieur à \np[g]{73} ;
\item[\ding{111}] M : pour les \oe ufs moyens d’un poids supérieur ou égal à \np[g]{53} et strictement inférieur à \np[g]{63};
\item[\ding{111}] S : pour les petits \oe ufs dont le poids est strictement inférieur à \np[g]{53}.
\end{itemize}

On note $G$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la masse en grammes d’un \oe uf.

On admet que $G$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 60$ et d’écart type $\sigma$.

\begin{enumerate}
\item  Sachant que $P (52,8\leqslant G \leqslant 67,2) = 0,95$, déterminer la valeur de $\sigma$.
\end{enumerate}

Pour la suite de l’exercice, on arrondit : $\sigma = 4$. Les résultats seront donnés à $10^{-4}$ près.

\begin{enumerate}[resume]
\item On prélève un \oe uf au hasard dans ce centre.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que cet \oe uf soit un \og\oe uf moyen \fg.
\item Déterminer la probabilité que cet \oe uf soit un \og très gros \oe uf \fg.
\end{enumerate}
\item Ce centre avicole affirme que le nombre d’\oe ufs de catégorie L correspond à 37\,\% du nombre total d’\oe ufs.

Sur un lot choisi au hasard de 35 douzaines d’\oe ufs non triés, on comptabilise 168 \oe ufs de catégorie L.

Avec un risque d’erreur de 5\,\%, l’affirmation du centre avicole est-elle remise en cause ?
\end{enumerate}

\fbox{
\begin{minipage}[]{\linewidth}

Rappel :

L’intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d’une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : \[\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\]
 lorsque la proportion $p$ dans la population est connue.\end{minipage}}


\vspace{0.7cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}  

\medskip

Une infection est traitée en injectant un médicament par voie intraveineuse.

À l’instant $t=0$, on injecte à un patient hospitalisé une dose de 3 Unités Internationales (UI) du médicament qui se diffuse instantanément dans le sang. Le médicament est progressivement éliminé. La quantité de médicament diminue de 20\,\% par heure. Pour conserver une efficacité thérapeutique, on injecte toutes les heures une dose de 2 UI au patient, en évitant un surdosage médicamenteux.
On modélise cette situation à l’aide d’une suite $u$. On note $u_n$ la quantité de médicament en UI présente dans le sang $n$ heures après la première injection. On a donc $u_0=3$.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $u_1=4,4$.
\item On réalise une feuille de tableur comme ci-contre.

\begin{minipage}[]{0.7\linewidth}
Parmi les formules proposées, reporter sur votre copie celle entrée en B3, qui, recopiée vers le bas, donne les valeurs successives de $u_n$ :

\begin{itemize}
\item formule 1 : = 0,2*B2 + 2,
\item formule 2 : = 0,8 * B2 + 2,
\item formule 3 : = 2*A3 + 3.
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[]{0.25\linewidth}
\begin{tabular}[]{|*{3}{c|}}
\hline
\rowcolor{gainsboro}&A&B\\%tabularnewline
\hline
\cellcolor{gainsboro}1&$n$&$u_n$\\\hline
\cellcolor{gainsboro}2&0&3\\\hline
\cellcolor{gainsboro}3&1&4,4\\\hline
\cellcolor{gainsboro}4&2&5,52\\\hline
\cellcolor{gainsboro}5&3&\\\hline
\cellcolor{gainsboro}6&4&\\\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\item La suite $u$ est-elle géométrique ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

La quantité de médicament en UI présente dans le sang $n$ heures après la première injection est donc donnée par la relation $u_{n+1}=0,8\times u_n+2$ avec $u_0=3$.

On considère la suite $v$ définie pour tout $n$ entier naturel par : $v_n=u_n-10$.

On a alors : $v_0=-7$. On admet que la suite $v$ est une suite géométrique de raison 0,8.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=-7\times 0,8^n+10$.
\item Déterminer la limite de la suite $u$. Comment interpréter ce résultat ?
\item Un laboratoire préconise de ne pas dépasser une quantité de 8 UI de ce médicament dans le sang. Déterminer le nombre maximal d’injections que l’on peut effectuer.
\end{enumerate}

\vspace{0.7cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}  

\medskip

\emph{Les parties peuvent être traitées de manière indépendante.}

\smallskip

On se propose d’étudier le refroidissement du café. On dispose d’une tasse de café à 100 \textcelsius{} que l’on place dans une salle où règne une température constante de 20 \textcelsius.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On réalise l’expérience en mesurant la température du café, notée $\theta$, contenu dans la tasse à différents instants $t$. Les résultats sont notés dans le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{9}{c|}}\hline
Temps en minutes : $t$&0&1&2&5&12&15&20&35&60\\
\hline
Température en \textcelsius : $\theta$ &100&90&85&70&50&42&35&27&20\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Afin de réaliser un ajustement affine, on pose : $z=\ln \theta$. On obtient alors :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{9}{c|}}\hline
Temps en minutes : $t$&0&1&2&5&12&15&20&35&60\\
\hline
$z = \ln \theta$& 4,605&4,500&4,443&4,248&3,912&3,738&3,555&3,296&2,996\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de $z$ en $t$. On arrondira les coefficients à $10^{-4}$.
\item On considérera que la droite d’ajustement a pour équation $z=- 0,027t+4,37$.

En utilisant ce modèle, justifier que la température de la tasse de café au bout de 10 minutes est d’environ 60 \textcelsius.

\item Ce modèle est-il pertinent pour estimer la température du café au bout de 2 heures ?
\end{enumerate}

\medskip 

\textbf{PARTIE B}

\medskip

D’après la Loi de Newton, l’équation différentielle $(E)$ : $y'(t)+0,1 y(t)=2$ permet de modéliser la température du café (en \textcelsius) en fonction du temps $t$ (en minutes).
\begin{enumerate}
\item  Résoudre cette équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution particulière $f$ définie sur $[0~,~+\infty[$ vérifiant la condition initiale $f(0)=100$.
\end{enumerate}

Pour la suite de l’exercice, on prendra $f(t)=20+80 \e^{-0,1 t}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item  Déterminer la température du café contenu dans la tasse au bout de 10 minutes. On arrondira au degré près.
\item Résoudre l’inéquation $20 + 80 \e^{-0,1 t} < 35$. Interpréter ce résultat.
\item On admet que $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \e^{-0,1t}=0$. Déterminer la limite de $f$. Comment interpréter ce résultat pour l’expérience réalisée ?
\end{enumerate}

\vspace{0.7cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}  

\medskip


On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~1]$ par 

\[f(x)=5 \ln(x) - 10x + 10.\]

\begin{minipage}[]{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}
\item  On a représenté ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère.
\begin{enumerate}
\item  Quelle conjecture peut-on faire quant aux variations de $f$ sur $]0~,~1]$ ?
\item Quelle(s) conjecture(s) peut-on faire concernant le maximum de $f$ sur $]0 ,1]$ ?
\item Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de $f$ en 0. 
\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]0~;~1]$, la dérivée de $f$ est définie par :
\[f'(x)= \dfrac{5(1-2x)}{x}.\]
\item Démontrer les conjectures émises à la question 1.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[]{0.3\linewidth}
\psset{xunit=2.25cm,yunit=2.25cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true,showorigin=false }
\begin{pspicture}(-0.4,-1.8)(1.4,1.9)
\psaxes[linewidth=0.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.4,-1.65)(1.3,1.7)
 \def\Func{x ln 5 mul x 10 mul sub 10 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.125}{1}{\Func}
\rput(1,1.2){\blue$\mathcal{C}_f$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}[\textbf{4 .}]
\item On considère l’algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
$x \longleftarrow 0,4$\\
$M \leftarrow f (0,4)$\\[0.3cm]
Pour $i$ allant de 1 à 12\\
\hspace{2em}$x \longleftarrow  x+0,05$\\
\hspace{2em}$y\longleftarrow  f(x)$\\
\hspace{2em}Si $y >M$\\
\hspace{4em}Alors $M \longleftarrow y$ \\ [0.2cm]
\hspace{2em}Fin Si\\
Fin Pour\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant avec les premières valeurs prises par $x$, $y$ et $M$ lors du déroulement de l’algorithme. On arrondira à $10^{-3}$.

\begin{tabular}[]{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}m{0.1\linewidth}|}}
\hline
$i$& \psCancel[ linewidth=0.05pt]{\phantom{xxxxxxx}}&1&2&3&4\\\hline
$x$& 0,4&&&&\\\hline
$y$&\psCancel[ linewidth=0.05pt]{\phantom{xxxxxxx}}&&&&\\\hline
$M$ &1,419&&&&\\\hline
\end{tabular}
\item Quelle est la valeur de la variable $M$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ? Que représente-t-elle pour la fonction $f$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}