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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de laboratoire (STL)  Biotechnologies}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{7 septembre 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

{\large \textbf{4 heures}}

\smallskip

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  biotechnologies  Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt]
7 septembre 2017}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.25cm}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de
réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.

\textbf{Indiquer, sans justification, le numéro de la question et la réponse correspondante sur la
copie.}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur [4~;~9], alors la probabilité $P(X\geqslant 5)$ est égale à:

\hspace*{0.35cm}\textbf{a.~~} $\dfrac{5}{9}$; \hfill \textbf{b.~~} $0,8$ ;\hfill\textbf{c.~~}une valeur autre que $\dfrac{5}{9}$ et $\np{0.8}$.

\item Une variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $15$ et d'écart type $4$ alors la probabilité $P(Y\geqslant 17)$ est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} supérieure à \np{0.25}; &\textbf{b.~~} inférieure à \np{0.15}; &\textbf{c.~~}supérieure à \np{0.75}.
\end{tabularx}

\item Dans le repère ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représente la fonction de densité $f$ d'une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance \textmu{} et d'écart type $\sigma$. De même, la courbe $\mathcal{C}_{g}$
représente la fonction de densité $g$ d'une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance
\textmu$'$ et d'écart type $\sigma'$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=42cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-10,-0.02)(19,0.15)
%\rput(16,0.07){$\mathcal{N}(6;2,19)$}
\psaxes[Dx=2,Dy=0.02,dy=0.02\psyunit,linewidth=1.25pt]{-}(0,0)(-10,0)(19,0.15)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.25pt,mue=4,sigma=2.7]{-10}{18}
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=4,sigma=5]{-10}{18.7}
\uput[d](7,0.12){\red $\mathcal{C}_g$}\uput[dr](12,0.04){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

D'après le graphique. on a :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \textmu = \textmu$’$ et $\sigma>\sigma '$ ;&\textbf{b.~~} \textmu $<$ \textmu $’$ et $\sigma=\sigma '$;&\textbf{c.~~}\textmu = \textmu$’$ et $\sigma < \sigma '$.
\end{tabularx}

\item La loi binomiale de paramètres $n =150$ et $p = 0,96$ peut être approximée par la loi normale
d'espérance \textmu{} et d'écart type $\sigma$ avec :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} \textmu = $144$ et $\sigma=\np{5.76}$; &\textbf{b.~~} \textmu = $150$ et $\sigma=\np{2.4}$; &\textbf{c.~~}\textmu = $144$ et $\sigma=\np{2.4}$.
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.25cm}


Une solution contient initialement 5 millions de bactéries par mL. Toutes les 10 minutes, la
concentration en bactéries augmente de 15\,\%.

\begin{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on note $c_n$ la concentration en bactéries en millions par mL au bout de
$n$ dizaines de minutes.

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature de la suite $(c_n)$ ? En préciser le premier terme et la raison.
\item Vérifier qu'au bout d'une heure et demie, la concentration des bactéries en millions par mL,
est égale à \np{17.6} (valeur arrondie à 0,1).
\item En précisant la démarche, déterminer au bout de combien de minutes la concentration en
bactéries dépasse 20 millions par mL.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Les phages sont des virus infectant les bactéries ; ils peuvent donc servir d'agents antibactériens. Le
but de l'exercice est d'étudier l'action de phages sur une population de bactéries.

\begin{enumerate}[resume]
\item On introduit des phages au bout de 90 minutes. Cette introduction de phages provoque une
diminution globale de la concentration en bactéries de 40\,\% toutes les dix minutes. On souhaite
connaître le temps nécessaire pour que la concentration en bactéries devienne inférieure à 10\,\%
de la concentration initiale. Pour ce faire, on utilise l'algorithme ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textbf{Variables :} $I$ entier, $C$ réel\\
\textbf{Traitement :} \\
\hspace{0.4cm}$C$ prend la valeur 17,6\\
\hspace{0.4cm}$I$ prend la valeur 0\\
\hspace{0.6cm}Tant que $C > 0,5$\\
\hspace{0.8cm}$I$ prend la valeur $I + 1$\\
\hspace{0.8cm}$C$ prend la valeur $C \times 0,6$\hspace*{0.5cm}\\
\hspace{0.6cm}Fin Tant Que\\
\textbf{Sortie :} Afficher $I$ et $C$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  Que représentent les valeurs 17,6 et 0,5 figurant dans l'algorithme par rapport à la situation concrète proposée ?
		\item Quelles sont les valeurs affichées par l'algorithme en sortie ? Comment les interpréter?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (5 points)}  

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Chez un ostréiculteur (producteur d'huîtres) d'un village au bord de l'Atlantique, la bactérie appelée \emph{vibrio estuarianus } est apparue à partir du mois d'août 2014. Le tableau ci-dessous donne la quantité $y_i$ (exprimée en tonnes) d'huîtres affectées par cette bactérie dans son élevage en fonction de $x_i$ qui
représente le numéro du mois depuis l'apparition de la bactérie. Le numéro 1 correspond au mois d'août 2014, le numéro 2 correspond au mois de septembre 2014, \dots

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\\hline
$y_i$	&20	&210&320&390&440&480&510&540&560&570\\\hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item Sur une feuille de papier millimétré, représenter graphiquement ce nuage de points dans un
repère orthogonal. On prendra \np[cm]{1} pour 1 unité en abscisses et \np[cm]{1}   pour 50 tonnes en
ordonnées.
	\item  Un ajustement affine semble-t-il pertinent? Pourquoi?
	\end{enumerate}

\item On pose: $z_i =\dfrac{750}{750- y_i}$. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z_i$, au centième.

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x_i$ 	&1				&2	&3&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\\hline
$z_i$	&\np{1.03}	&		&	&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item
		\begin{enumerate}
		\item  On réalise alors un ajustement affine de ce nouveau nuage de points $M_i(x_i~;~z_i)$. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $D$ d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode
des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $10^{-4}$).
		\item Déterminer  à l'aide de ce modèle d'ajustement, la quantité d'huîtres affectées par la bactérie
en décembre 2015 chez cet ostréiculteur (le mois de décembre est la période de vente la plus
importante pour un ostréiculteur). On arrondira le résultat à la dizaine de tonnes.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Depuis le mois de janvier 2015, on tente d'éradiquer cette bactérie à l'aide d'un antibiotique mis au point par un laboratoire pharmaceutique. Le directeur de ce laboratoire affirme que cet antibiotique permet de sauver 76\,\% des huîtres affectées par cette bactérie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence d'huîtres sauvées par l'utilisation de l'antibiotique dans un échantillon de \np{1000} huîtres (on arrondira les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$)
\item  L'ostréiculteur décide d'utiliser cet antibiotique sur un lot de \np{1000} huîtres de son élevage affectées par cette bactérie. Il constate, qu'après l'utilisation de cet antibiotique, 74\,\% des huîtres ont été sauvées.

L'observation faite par l'ostréiculteur remet-elle en question l'affirmation faite par le directeur du laboratoire ? Justifier la réponse.

\end{enumerate}


\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (7 points)}  

\vspace{0.25cm}

\begin{enumerate}
\item  Soit la fonction $g$ définie sur [0~;~10] par $g(x) = 60 x \text{e}^{-0,5x}$.
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient deux expressions de la dérivée de la fonction $g$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X X|}\hline
1	&g($x$) :$=60*x*\text{exp}(-0.5*x)$	& \\ \hline
	&//interprète g&\\
	&//Succès lors de la compilation g&\\\hline
	&								&$x \to 60*x*\text{exp}((-0.5)*x)$\\ \hline
2	&deriver (g($x$))					&\\ \hline
	&								&$60*\text{exp}(-0.5*x)-30*x*\text{exp}(-0.5*x)$\\ \hline
	
3	&factor(deriver g(x))&\\\hline	
	&								&$-30*(x-2)*\text{exp}(-0.5*x)$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item  Déterminer le signe de la dérivée de la fonction $g$.
\item Établir le tableau de variations de $g$ sur [0~;~10].
\end{enumerate}
\item Un laboratoire teste l'efficacité d'une nouvelle crème solaire. Pour cela, il mesure le taux
d'hydratation, en pourcentage, de la peau d'une personne, qui est exposée au soleil pendant
10 heures. On admet que pour tout réel $t$ de [0~;~10], $g(t)$ est le taux d'hydratation de la peau au
bout de $t$ heures après l'application de la crème.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le taux d'hydratation, en pourcentage, de la peau au bout d'une demi-heure après
l'application de la crème. On arrondira au dixième.
\item Déterminer à quel moment le taux d'hydratation, en pourcentage, est maximal.
\item On peut commercialiser cette crème si le taux d'hydratation dépasse 30\,\% pendant une
durée d'au moins 3 heures.

À l'aide de la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ donnée en annexe, expliquer si le
laboratoire peut ou non commercialiser cette crème (on fera notamment apparaître les traits
de construction utiles sur l'annexe à rendre avec la copie).
\end{enumerate}
\item Un chercheur du laboratoire étudie l'élimination au contact de la lumière d'un composant de la
crème solaire. La concentration de ce composant est modélisée par une fonction $f$.

Lorsque $t$ représente le temps d'exposition à la lumière  en heures, $f(t)$ représente la
concentration en g·L$^{-1}$ de ce composant restant dans la crème.

On admet que la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ est solution de l'équation différentielle suivante:

\[(E)\::\quad y'+\np{0.4}y = 0.\]

	\begin{enumerate}
		\item  On sait qu'à l'instant $t = 0$, la concentration du composant est égale à \np[g\cdot L^{-1}]{1.3}.

Montrer alors que pour tout réel $t$ de $[0~;~+\infty[$, $f(t) = 1,3 \text{e} ^{- \np{0.4}t}$.
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~,~+\infty[$.

Ce résultat est-il cohérent avec la situation étudiée ? Pourquoi?
		\item  Déterminer au bout de combien de temps, la concentration du composant est inférieure à
$\np[g\cdot L^{-1}]{0.3}$. On donnera la valeur en heures et minutes, arrondie à la minute.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}

\textbf{Annexe de l'exercice 4, question 2.c.}

\textbf{À rendre avec la copie}

\end{center}

\bigskip

Représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$

\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.2cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(11,54)
\multido{\n=-0.000+0.333}{32}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,50.2)}
\multido{\n=0.0+2.5}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(10.5,50.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{2.71828 x .5 mul neg exp x mul 60 mul }
\uput[ur](4.5,27.3){\blue $\mathcal{C}_g$}
\uput[dr](10.25,0){$t$}\uput[dl](0,51){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}