\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx,multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Source : académie de Guyane
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}
\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat},
pdftitle = {Antilles-Guyane STL juin 2014},
allbordercolors = white}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STL Biotechnologies}  
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies 18  juin 2014~\decofourright\\[4pt] Antilles-Guyane}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} 

\medskip

Des scientifiques étudient la croissance de plants de tomates d’une variété donnée après plantation.
Ils ont établi que la hauteur des plants en centimètres peut être modélisée en fonction du temps par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[f (t)=\dfrac{120}{5\e^{-0 ,08t}+1}\]

où $t$ est le temps en jours après le jour de plantation.

\bigskip

\textbf{PARTIE A : ÉTUDE DE LA FONCTION \boldmath{$f$}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la hauteur des plants le jour où ils sont plantés, c’est-à-dire $f (0)$ .
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer $\displaystyle \lim_{ t\to +\infty}f(t)$ (on rappelle que  $\displaystyle \lim_{t\to +\infty } \e^{-0,08 t}= 0$).
	\item  En déduire l’existence d’une asymptote à la courbe représentative de $f$. Tracer cette asymptote sur une feuille de papier millimétré fournie (\emph{échelle : $1$ unité pour $10$ jours en abscisse et $1$ unité pour \np[cm]{10}  en ordonnée). Note : le graphique sera complété par la suite.}
	\item Comment cela se traduit-il pour la croissance d’un plant ?
	\end{enumerate}
\item Calculer la dérivée de $f$ et montrer que $f'(t)=\dfrac{48\e^{-0,08t}}{(5 \e^{-0,08t}+1)^2}$.
\item Étudier le signe de $f^\prime$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item Compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ donné en \textbf{Annexe 1} (arrondir à $10^{-1}$ près).
\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur le papier millimétré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B : EXPLOITATION}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner une inéquation permettant de déterminer au bout de combien de jours le plant mesurera plus
de \np[cm]{30} de haut.
\item Résoudre cette inéquation (\emph{on donnera une valeur exacte puis une valeur approchée à l’unité du
résultat}).
\item Retrouver le résultat du \textbf{2.} en utilisant la courbe représentative de $f$ ou la calculatrice.
(Dans les deux cas, on explicitera la démarche suivie).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C : ALGORITHME }

\medskip

\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{6.5cm}
\textbf{\uline {Initialisations}}

$t$ prend la valeur 0\\
$f$ prend la valeur 20\\

\textbf{\uline{Traitement}}

\textbf{Tant que \boldmath $f < 30$}\\
\phantom{mmm}$t$ prend la valeur $t + 1$\\
\phantom{mmm}$f$ prend la valeur $\dfrac{120}{5\e^{-0,08t}+1 }$
   
\textbf{Fin Tant que}

\vspace{1ex}

\textbf{\uline{Sortie}}

Afficher $t$
\end{minipage}
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L’entrée dans la boucle \textbf{Tant que} de cet algorithme dépend d’une condition. Quelle est cette
condition ? Quand sortira-t-on de cette boucle ?
\item Quelles seront les trois premières valeurs de la variable $t$ ? Donner les valeurs correspondantes de la
variable $f$. (\emph{Les résultats seront arrondis à l’unité.})
\item Quelle sera la valeur de $t$ affichée à la fin de l’algorithme ? Que représente concrètement cette valeur ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} 

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 2x \ln(x) + x.\]

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de cette fonction dans un repère orthonormé est donnée en \textbf{Annexe~2}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par    $F(x) = x^2 \ln(x)$ est une primitive de $f$.
\item Calculer $\displaystyle A = \int_{1}^{ 2}  (2x \ln(x) + x) \mathrm{d}x$.

(\emph {on donnera la valeur exacte du résultat, puis une valeur approchée à  $10^{-2}$ près})
\item À quoi cette intégrale correspond-elle sur le graphique de l’\textbf{Annexe 2} ?

Illustrer la réponse en hachurant la zone correspondante du graphique.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} 

\medskip
\emph{\textbf{Dans cet exercice, les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}}

\smallskip

Production de l’antibiotique spiramycine.

\smallskip

L’espèce \emph{Streptomyces ambofaciens} a été sélectionnée pour sa production de spiramycine. Cet
antibiotique est obtenu par la fermentation de la \emph{Streptomyces ambofaciens} en bioréacteur.

Afin de prévoir au mieux la production de cet antibiotique, on cherche le développement de la
\emph{Streptomyces ambofaciens} dans le bioréacteur.

\bigskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

À $t=0$ heure, la concentration de \emph{Streptomyces ambofaciens} est mesuré à \np[g/l]{3.10}. Puis, à $t= \np[h]{1}$, elle est
mesurée à \np[g/l]{3,22}.

En conséquence dans cette partie, on suppose que la concentration augmente de 4\,\% par heure.
\begin{tabbing}
On note : \qquad\=  $c_0$ la concentration au temps $t=0$, et $c_0 = 3,10$ .\\
  \> $c_1$ la concentration au temps $t=1$\\
\>\qquad \dots \\
 \> $c_n$ la concentration au temps $t= n$\\
\end{tabbing}

\emph{Tous les résultats de cette partie seront arrondis au centième.}

\begin{enumerate}
\item Calculer  $c_1$,  $c_2$ et  $c_3$.
\item Exprimer  $c_{n +1}$  en fonction de $ c_n$.
\item En déduire la nature de la suite $\left(c_n\right)$  et préciser sa raison.
\item Exprimer  $c_n$ en fonction de $n$.
\item  Si la fermentation se produit pendant 24 heures, calculer la concentration \emph{Streptomyces ambofaciens}
au bout de \np[h]{24}.
\end{enumerate}

\bigskip

PARTIE B :

\medskip

Après \np[h]{24} le milieu est renouvelé au sein du bioréacteur, à partir de ce moment on obtient le relevé suivant :

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Heures						&24 	&29		&32		&34 	&36		&38		&40\\\hline
Rang de l’heure :  $x_i$	&0		&5		& 8		&10		&12		&14		&16\\\hline
Concentration de \emph{Streptomyces
 ambofaciens }:  $y_i$		&7,95	&11,05	&12,05	&13,45	&14,15	&15,45	&16,75\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthogonal, construire un nuage de points  $M(x_i~;~y_i)$. En abscisse, pour le rang de
l’heure, on prendra comme échelle \np[cm]{1}  pour 2 heures et en ordonnée \np[cm]{1} pour \np[g/l]{2} ; on
positionnera l’intersection des axes de coordonnées au point de coordonnées (0~;~7).
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. \emph{On arrondira les coordonnées au dixième.}

Placer G dans le repère.
\item Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ par la méthode
des moindres carrés. \emph{Les coefficients seront arrondis à  $10^{-2}$ près}.
\item  On décide d’ajuster le nuage avec la droite (D) d’équation $y = 0,53x +8,03$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite (D) dans le repère précédent.
\item En utilisant cet ajustement affine, estimer par une méthode graphique la concentration de
\emph{Streptomyces ambofaciens} au bout de \np[h]{48} (la réponse sera accompagnée de tracés sur le graphique).
\item  À partir de quelle heure la concentration de \emph{Streptomyces ambofaciens} dépassera-t-elle \np[g/l]{30} ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} 

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Toutes les probabilités seront données à \boldmath{$10^{-3}$}\unboldmath près.}

\bigskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

Une entreprise agroalimentaire dispose d’un parc de machines d’ensachage toutes identiques.

La durée de vie en année d’une machine d’ensachage est une variable aléatoire X qui suit une loi
exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.

On rappelle que :    $ P( X\leqslant a)=1 -  \e^{-\lambda a}$

Sur l’\textbf{Annexe 3}, on donne la courbe de la fonction représentative $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par   

\[f(t) = \lambda\e^{-\lambda t }.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Caractérisation de la loi.
	\begin{enumerate}
	\item  Représenter graphiquement sur l’\textbf{Annexe 3} la probabilité $P(X > 20)$.
	\item Comment peut-on déduire du graphique la valeur de $\lambda$?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
Dans cette question, on prendra $\lambda = 0,1$.
\begin{enumerate}[resume]
\item  Quelle est la probabilité qu’une machine d’ensachage tombe en panne entre la dixième et la vingtième année ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

L’entreprise lance une production de paquets de préparation pour pancakes. Les paquets doivent contenir
\np[g]{650}  de préparation. On considère qu’un paquet est commercialisable s’il contient entre \np[g]{648} et \np[g]{652}.

On considère que la quantité Q, exprimée en grammes (g), de préparation réellement introduite dans les
paquets par une machine d’ensachage suit une loi normale d’espérance $\mu= 650$ et d’écart-type $\sigma= 1$.

A l’aide d’un logiciel, on obtient les résultats suivants :

\medskip
\framebox[\linewidth]{
\psset{xunit=2cm,yunit=9cm,arrowscale=1.5,comma=true,}
\begin{pspicture}(-4,-0.05)(3.6,0.475)
\psaxes[Ox=650,Oy=0,Dx=0.5,Dy=0.05,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-3.6,0)(3.2,0.43)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{-3.6}{3.2}{x 0 1 GAUSS}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linecolor=cyan,hatchwidth=0.5pt]{
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{-3.6}{-1}{x 0 1 GAUSS}
\psline(-1,0.24197)(-1,0)
}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linecolor=cyan,hatchwidth=0.5pt]{
\psline(2,0)(2,0.05399)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{2}{3.2}{x 0 1 GAUSS}
}
\uput[l](-2.7,0.07){\fbox{Zone A}}\psline{->}(-2.765,0.07)(-1.5,0.06)
\uput[u](2,0.11){\fbox{Zone B}}\psline{->}(2,0.129)(2.3,0.015)
\uput[u](-2.45,0.11){\footnotesize $P(X \leqslant 649)=\np{0.1587}$}
\uput[ur](2.08,0.06){\footnotesize $P(X \geqslant 652)=\np{0.023}$}
\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité qu’un paquet de préparation pour pancakes pris au hasard dans la
production a pour masse entre \np[g]{649} et \np[g]{652}.
\item Calculer la probabilité qu’un paquet de préparation pour pancakes pris au hasard dans la production a
pour masse moins de \np[g]{648}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C :}

\medskip
Les réglages de la machine d’ensachage ont été modifiés dans l’objectif d’obtenir une proportion $ p = 97\,\%$
de paquets de préparation commercialisables.
Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un premier échantillon
de 400 paquets fabriqués.
\begin{enumerate}
\item  En supposant que cet objectif a été atteint déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil de 95\,\% de la proportion de paquets de préparation commercialisables dans un échantillon de
taille 400.
\item Parmi les 400 paquets de l’échantillon, 381 sont commercialisables.

En utilisant l’intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on estimer au seuil de 95\,\% que
l’objectif a été atteint ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ ANNEXE 1 \hspace{1em} À rendre avec la copie}
\end{center}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 1 :~} Tableau de valeurs de la fonction \boldmath $f$ } 

\begin{center}

\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{1cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$t$&0&10&20&30&40&50&60\\\hline
$f(t)$&&&&&&&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{center}
\textbf{ ANNEXE 2 \hspace{1em}À rendre avec la copie}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2 :~} Courbe représentative de la fonction \boldmath $f$} 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(5,6.5)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1.5,-0.5)(4.5,6.2)
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-1.3,\n)(4.3,\n)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.3)(\n,6)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.0001}{2.28}{2 x mul x ln mul x add}
\uput[l](-0.75,6){\boldmath{$f(x)$}}  \uput[dl](3,6){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[dr](4.1,-0.35){\boldmath{$x$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{ ANNEXE~3\hspace{1em} À rendre avec la copie}
\end{center}\textbf{\textsc{Exercice 4 :~} Courbe représentative de la fonction \boldmath $f$}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=45cm,showorigin=false,comma=true}
\begin{pspicture}(0,0)(30,0.16)
\multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,0.155)}
\multido{\n=0+0.01}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(30.1,\n)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,Ox=0,Oy=0,Dx=2,Dy=0.02]{->}(0,0)(0,0)(30.3,0.155)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,Ox=0,Oy=0,Dx=2,Dy=0.02](0,0)(0,0)(30.3,0.155)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{30.1}{ 2.71828 x 0.1 neg mul exp 0.1 mul }
\uput[dl] (0,0.156){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](30.5,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}