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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Biotechnologies}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{19 juin 2014}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies 19 juin 2014 Polynésie~\decofourright\\ }}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{ - 3}$ près.}

\medskip

Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes à essais destinés à des laboratoires.

L’objectif de l’exercice est d’analyser la qualité de la production.

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}
\medskip

La direction de l’entreprise affirme que la probabilité qu’un tube à essais ait un défaut est égale à 0,04.

On prélève au hasard 100 tubes à essais dans la production. La production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 100 tubes à essais, associe le nombre de tubes à essais présentant un défaut.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de
cette loi.
\item Déterminer la probabilité de l’évènement A : \og Le prélèvement contient exactement 5 tubes
à essais présentant un défaut\fg.
\item Déterminer la probabilité de l’évènement B : \og Le prélèvement contient au plus 2 tubes à essais présentant un défaut\fg.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à un tube à essais prélevé au hasard dans la
production, associe son diamètre en millimètres. Le service qualité de l’entreprise estime que
la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d’espérance $19,9$ et d’écart type $0,25$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu’un tube à essais ait un diamètre compris entre \np[mm]{19.5}  et
\np[mm]{20.5}.
\item Déterminer la probabilité qu’un tube à essais ait un diamètre supérieur ou égal à \np[mm]{20}.
\end{enumerate}


\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}
\medskip

Le réglage d’une machine de production est tel que 3\,\% des tubes à essais fabriqués ont une
épaisseur non conforme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des tubes
essais d’épaisseur non conforme dans un échantillon de 200 tubes à essais.
\item On prélève un échantillon de 200 tubes à essais. On constate que dans cet échantillon 12
tubes à essais ont une épaisseur non conforme.
Ce constat remet-il en question le réglage de la machine de production ? Justifier la
réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Dans un lac de montagne, on a observé qu’une population de poissons diminuait de 6\,\% tous
les ans en raison d’une modification écologique du lac.

On s’intéresse au nombre de poissons, $n$ années après la première observation effectuée en
2004, où l’on comptait \np{3500} poissons.

La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = \np{3500}$ , $u_n$ fournissant
une estimation du nombre de poissons l’année $2004 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
\item On propose l’algorithme suivant :

\begin{center}

\begin{tabular}{|ll|}
\hline
Variables : & $U$, $N$\\
Initialisation :& $U$ prend la valeur \np{3500}\\
&$N$ prend la valeur 0\\
Traitement :& Tant que $U > \np{2500}$\\
&\hspace{2em} $U$ prend la valeur $U \times 0,94$\\
&\hspace{2em} $N$ prend la valeur $N + 1$\\
&Fin du tant que\\
Sortie&\\
Afficher $N$&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Déterminer la valeur de $N$ obtenue en faisant fonctionner l’algorithme et interpréter le
résultat.
\item En 2010, une association s’est mobilisée pour améliorer les conditions écologiques du lac.
Depuis, la population de poissons a augmenté de 4\,\% chaque année.

En 2010, l’association a constaté que le lac contenait \np{2400} poissons.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le nombre de poissons présents en 2014.
		\item Si cette augmentation se maintient au même rythme, en quelle année la population de
poissons observée retrouvera-t-elle la valeur de l’année 2004 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

On étudie l’évolution d’une colonie de bactéries dans une gélose nutritive non renouvelée.

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\medskip

On admet que le nombre de bactéries en fonction du temps est donnée à l’instant $t$ (exprimé
en heures) par $N(t)$ où $N$, fonction définie sur $[0~,~+\infty[$ , est solution de l’équation
différentielle (E) : $y ' = - 0,92y$.

Le nombre de bactéries à l’instant initial est égal à $525$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) sur $[0~,~+\infty[$.
\item Déterminer la fonction $N$, solution de l’équation différentielle (E) sur $[0~;~+\infty[$, qui vérifie la condition \mbox{$N(0) = 525$}.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

On admet que la fonction $N$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[N (t ) = 525 \e^{- 0,92 t}\]

 et on note $\mathcal{C}_N$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de la fonction $N$ en $+\infty$. Quelle interprétation graphique peut-on
donner de cette limite ?
\item Calculer $N'(t)$ où $N '$ désigne la fonction dérivée de $N$.
\item $N '(t)$ représente la vitesse instantanée de l’évolution du nombre des bactéries à l’instant $t$ ;
cette vitesse est exprimée en nombre de bactéries par heure.

Déterminer la vitesse instantanée pour $t = 0$ puis pour $t = 3$.
\item  Au bout de combien de temps la vitesse instantanée est-elle égale à la moitié de celle à
l’instant $t = 0$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip

Le but de cet exercice est de comparer les résultats, obtenus par expérience et selon un modèle
théorique, d’un titrage d’une solution d’hydroxyde de sodium (NaOH) par une solution
d’acide chlorhydrique (HCl).

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A : Expérience et approximation affine}
\end{center}

\medskip

Lors d’une expérience, on obtient les mesures suivantes :

\smallskip
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Numéro de la mesure 				&1		&2		&3		&4		&5		&6 \\\hline
Volume en ml d’acide versé : $x_i$	&0		&10		&20		&40		&50		&60\\\hline
pH : $y_i$							&11,80	&11,68 	&11,52	&11,32	&11,22 	&11,08\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Sur l’annexe page \pageref{reglin}, représenter le nuage de points M$_i$ $(x_i~;~y_i)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  À l’aide d’une calculatrice, donner une équation de la droite D d’ajustement de $y$ en $x$ par
la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $10^{-4}$ près).
		\item En utilisant l’ajustement réalisé à la question précédente, déterminer le pH du mélange
après versement de 35 ml d’acide chlorhydrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B : Modèle théorique}
\end{center}

\medskip


Pour un volume $x$ (en ml) d’acide chlorhydrique ajouté, compris entre 0 et 150, le pH de la
solution est égal à $f (x)$ où $f$ est la fonction définie sur [0~,~150] par : \[ f(x)=\np{3.8} -\np{0.01}x+\dfrac{8}{1+\e^{\np{0.2}x-16}}\]

La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur [0~;~150].

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ de l’intervalle [0~,~150] : $f'(x)=-\np{0,01}-\dfrac{\np{1,6}\e^{\np{0,2}x-16}}{\left(1+\e^{\np{0,2}x -16}\right)^2}$
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur [0~,~150].
\end{enumerate}
\item Représenter la courbe représentative de $f$ sur le graphique de la partie A, annexe page \pageref{reglin}.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie C : Comparaison}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour \np[ml]{60} d’acide versé, comparer la valeur du pH obtenue par l’ajustement affine réalisé
dans la partie A et celle obtenue par le modèle théorique de la partie B.
\item Le modèle théorique étant validé, l’ajustement affine réalisé dans la partie A pour $x$
appartenant à [0~;~60] semble-t-il pertinent sur [0~;~150] ? Argumenter la réponse.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{{\large Annexe} (à  rendre avec la copie) }
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.8cm}

\begin{pspicture}(-8,-1)(162,14)

\multido{\n=0+0.5}{26}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(160,\n)}
\multido{\n=0+5}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,12.5)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=10,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(161,12.5)
\uput[d](140,-0.5){Volume d'acide versé}\uput[r](0,13){pH de la solution}\uput[r](160,-0.2){$x$}\uput[l](0,12.5){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\label{reglin}
\end{document}