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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Biotechnologies}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies  19 juin 2014~\decofourright\\ [4pt]Métropole}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} 


On s'intéresse dans cet exercice à l'évolution de la production annuelle en Indonésie de la 
vanille, épice utilisée dans les industries agroalimentaire et cosmétique. 
Le tableau ci-dessous donne la production de vanille en Indonésie : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.7cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&1970	&1980	&1990		&1995 		&2000 		&2005		&2010 \\ \hline
Rang de l'année : $x_i$		&0 		&10 	&20			&25			&30			&35			&40\\ \hline
Production en tonnes : $y_i$&250 	&761 	&\np{1262}	&\np{1958} 	&\np{1681}  &\np{2366} 	&\np{2600} \\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize Source: FAOSTAT}
\end{tabularx}	
\end{center}					

\begin{enumerate}
\item 	On pose $z_i = \ln (y_i)$ 

Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant, en arrondissant les résultats à $10^{-2}$ près.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année : $x_i$ &0 	&10 &20	&25	&30	&35	& 40\\ \hline 				
$z_i$					& 	&	& 	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}	
\end{center}				
\item Représenter le nuage de points $M_i (x_i, z_i)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal sur l'annexe, page \pageref{stat}. 

\item Calculer les coordonnées, à $10^{-2}$ près, du point moyen G du nuage. Placer le point G sur le graphique. 
\item On réalise un ajustement affine de ce nuage de points $M_i\left(x_i~;~z_i\right)$. 

À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $D$ d'ajustement de $z$ en $x$ 
obtenue par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à $10^{-4}$ près). 

Construire la droite $D$ sur le graphique de l'annexe, page \pageref{stat}. 
\item	En déduire, selon ce modèle d'ajustement, l'expression de la production $y$ en fonction du 
rang de l'année $x$. 
\item	Quelle serait, selon ce modèle d'ajustement, la production de vanille en Indonésie en 2015 ? 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

On injecte dans le sang par piqûre intraveineuse une dose de \np[cm^3]{2}  d'un antalgique. 

L'organisme du patient élimine 5\,\% du produit présent tous les quarts d'heure. 

On s'intéresse à la quantité d'antalgique, en mm$^3$, présent dans le sang du patient au bout de $n $
quarts d'heure après le début de l'injection. 

La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 2000$, $u_n$
représentant une estimation de la quantité d'antalgique en mm$^3$ présent dans le sang du patient 
après $n$ quarts d'heure.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 	Vérifier que la quantité de produit présent dans le sang du patient un quart d'heure après 
l'injection est égale à \np[mm^3]{1900}. 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$. 
		\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Interpréter le résultat. 
\item Le produit est jugé inefficace lorsque la quantité présente dans le sang est inférieure à \np[mm^3]{1500}. 
Déterminer au bout de combien de quarts d'heure le produit devient inefficace. On précisera la démarche choisie. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pendant une durée égale à $N$ quarts d'heure, on décide de réinjecter \np[mm^3]{500}  du même 
antalgique dès que la quantité du produit présent dans le sang devient inférieure à \np[mm^3]{1500}.
				
Compléter, sur l'annexe page \pageref{stat}, l'algorithme déterminant la quantité d'antalgique présent dans le sang du patient au bout de ces $N$ quarts d'heure. 
		\item En faisant fonctionner l'algorithme, déterminer la quantité d'antalgique présent dans le sang au bout de quatre heures. 
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

Le but de l'exercice est de suivre l'évolution d'une concentration de bactéries. 

Les unités choisies sont l'heure pour le temps et le million de bactéries par millilitre pour la concentration. 

\begin{center}
\textbf{Partie A }
\end{center}

On admet que la concentration de bactéries en fonction du temps est donnée à l'instant $t$ par 
$f(t)$ où $f$, fonction définie sur $[0,+\infty[$, est solution de l'équation différentielle $(E)$ :

 \[(E) :\quad  y' + 0,2 y = 8.\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 	Donner l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0, +\infty[$ . 
\item À l'instant $t = 0$, la concentration est de 4 millions de bactéries par millilitre. Donner 
l'expression de la concentration des bactéries en fonction du temps. 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$  par $f(t ) = - 36 \e ^{- 0,2 t} + 40$ et on note (C) sa 
courbe représentative dans un repère orthogonal. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ . Quelle interprétation graphique peut-on donner de cette limite ? 
\item	
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.\\ 
Calculer $f'(t)$ pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0, +\infty[$ . 
\item En déduire les variations de $f$ sur $[0, + \infty[$ . 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie C }
\end{center}

\medskip

On admet que $f(t)$ représente la concentration des bactéries étudiée dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal. On prendra \np[cm]{1}  pour 
une heure en abscisse et \np[cm]{1} pour 5 millions de bactéries par millilitre en ordonnée. 
\item 	En faisant apparaître les constructions utiles, déterminer graphiquement:
			\begin{enumerate}
			\item la concentration des bactéries au bout de 6 h 30 ; 
			\item	le temps nécessaire pour que la concentration des bactéries soit supérieure à 35 millions 
					de bactéries par millilitre. 
			\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  5 points}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A }
\end{center}


Un laborantin dispose d'un stock de pipettes jaugées. Une pipette est considérée conforme au 
cahier des charges si son volume est compris entre 24,95 et 25,05~ml.
 
On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à toute pipette prise au hasard dans le stock, 
associe son volume en ml. Le fabricant affirme que $Y$ suit la loi normale d'espérance $25$ et 
d'écart type $0,03$. 

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité 
pour qu'une pipette prise au hasard soit conforme au cahier des charges, selon les affirmations du fabricant. 
\item Le laborantin prélève un échantillon de $100$ pipettes et constate que seulement $83$ d'entre 
elles sont conformes au cahier des charges. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de 
		pipettes conformes dans un échantillon de taille 100 (on donnera les bornes de 
		l'intervalle à $10^{- 4}$ près). 
		\item La fréquence de pipettes conformes observée remet-elle en question l'affirmation du 
		fabricant ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B }
\end{center}

Dans cette partie, on s'intéresse aux défaillances d'une machine qui fabrique les pipettes. 
Lorsqu'une révision complète de cette machine a été effectuée, la durée de fonctionnement 
(en jours) avant une défaillance est une variable aléatoire notée $X$ qui suit la loi exponentielle 
de paramètre $\lambda = 0,005$. 

On rappelle que, dans ces conditions, pour tout $t$ positif, la probabilité que cette machine ait 
une défaillance avant un temps $t$ est égale à $\displaystyle P(X \leqslant t) = \int_0^t \lambda\e^{-\lambda x}\mathrm{d}x$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\displaystyle \int_{0}^{t} 0, 005 \e^{- 0,005x}\mathrm{d}x = 1- \e^{- 0,005 t}$. 
\item Déterminer la probabilité $P(X \leqslant 200)$ à $10^{- 4}$ près. Quelle interprétation peut-on donner de 
cette probabilité ? 
\item Déterminer, à $10^{- 4}$ près, la probabilité que la machine ait une défaillance au-delà de 300 
jours après une révision complète. 
\item	Un arrêt pour entretien doit intervenir systématiquement lorsque la probabilité que la 
machine soit défaillante est égale à 0,5. 

Au bout de combien de jours faut-il prévoir l'arrêt pour l'entretien de cette machine ? 
 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{{\large ANNEXE } (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 1}
\psset{xunit=0.16cm,yunit=1.6cm}

\begin{pspicture}(-2,-0.4)(85,6.1)
\multido{\n=0+0.25}{23}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(85,\n)}
\multido{\n=0+2.505}{35}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,5.5)}
\psaxes[Ox=0,Oy=5,Dx=10,Dy=1,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(85,5.5)
\uput[d](0,-0.1){$0$}\uput[d](85,-0.01){$x$}\uput[l](0,5.5){$z$}
\end{pspicture}


\vspace{1cm}

EXERCICE 2 
 \begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}
\hline
Variables:& $u$ nombre réel, $N$ entier \\
Entrée: & Saisir $N$ \\
Traitement:& \\
    & Affecter à $u$ la valeur \np{2000} \\
	&Pour $i$ allant de $1$ à \dots\dots 	faire \\
	&Affecter à $u $la valeur $u$ $\times \dots	$\\ 
	&Si $u$ est inférieur à \dots\dots \\ 
	&Alors affecter à $u$ la valeur $u + \dots\dots	$\\	
&Fin si \\
&Fin pour \\
&Afficher $u$ \\
Fin &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\label{stat}
\end{document}