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%Tapuscrit : Jeab-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{11 septembre 2024}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Métropole 11 septembre 2024}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

%\medskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 physique-chimie et mathématiques \hfill 5 points}
\end{center}

\medskip

\textbf{Le pentaoxyde de diazote}

\medskip

Le pentaoxyde de diazote N$_2$O$_5$ est un puissant oxydant utilisé en synthèse organique.
Il possède comme particularité d'être un (NO$_{\text{x}}$) solide à température ambiante. Sa
manipulation requiert un soin tout particulier puisqu'à température ambiante, il peut se
décomposer selon la transformation modélisée par la réaction d'équation :

\[\text{N}_2\text{O}_5 \rightarrow 2 \text{NO}_2+\frac{1}{2}\text{O}_2\]


On se propose d'étudier la cinétique de cette réaction.

On introduit initialement, dans un réacteur de volume $V$ égal à \np[L]{1,0}, une masse $m$
égale à \np[g]{4,4}  de pentaoxyde de diazote.

\textbf{Données:} masses molaires atomiques respectives des éléments azote et oxygène

\[M(\mathrm{N}) =  \np[g\cdot mol^{-1}]{14} \text{et } M(\mathrm{O}) = \np[g\cdot mol^{-1}]{16}.\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la concentration en quantité de matière en N$_2$O$_5$ à l'instant initial dans
le réacteur est [N$_2$O$_5$]$_0$ = \np[ mmol\cdot L^{-1}]{41}
\end{enumerate}
On note $t$ le temps écoulé à partir de l'introduction de la masse $m$. On effectue six
mesures expérimentales de la concentration de pentaoxyde de diazote N$_2$O$_5$ dans le
réacteur, notée [N$_2$O$_5$]$_t$, pour $t = \np[min]{0}$, $t = \np[min]{4}$, $t = \np[min]{8}$, $t = \np[min]{16}$, $t = \np[min]{28}$
et $t = \np[min]{44}$. On souhaite modéliser l'évolution de la concentration de pentaoxyde de
diazote N$_2$O$_5$ par une fonction $f$ donnant la concentration de pentaoxyde de diazote
N$_2$O$_5$ dans le réacteur, exprimée en millimoles par litre, en fonction du temps exprimé
en minutes.

Le document ci-dessous présente les points expérimentaux :



\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.13cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-4,-10)(50,60)
\multido{\n=0+1}{45}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,45)}
\multido{\n=0+4}{12}{\psline[linewidth=1.05pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,45)}
\multido{\n=0+1}{46}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(44,\n)}
\multido{\n=0+5}{10}{\psline[linewidth=1.05pt,linecolor=darkgray](0,\n)(44,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=4,Dy=5,]{-}(0,0)(44.5,45.5)
% \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.8,dotangle=45](3,362)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.9,dotangle=45,linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,41)(4,32.5)(8,25.5)(16,15.5)(28,7.5)(44,2.5)
 \uput[u](20,55){ Concentration en N$_2$O$_5$ en fonction du temps $t$}
\uput[u](23,50){(points expérimentaux)}
 \uput[d](20,- 5){ temps $t$ en min}
 \uput[dl](-2.5,50){\rotatebox{90}{concentration en N$_2$O$_5$(mmol$\cdot \mathrm{L}^{-1}$}}

\end{pspicture}
\end{center}

Pour une réaction d'ordre 0, on rappelle que la vitesse volumique de disparition est
constante au cours du temps.

\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier qu'on peut écarter l'hypothèse d'une cinétique d'ordre 0 par rapport au
réactif pentaoxyde de diazote N$_2$O$_5$.
\end{enumerate}

On fait l'hypothèse que la réaction suit une cinétique d'ordre 1 par rapport au réactif
pentaoxyde de diazote N$_2$O$_5$, c'est-à-dire que la vitesse volumique de disparition du
réactif vérifie la loi $v_{\text{disp}(N_20_5)}(t) = k \times [\mathrm{N}_2\mathrm{O}_5]_t $ où $k$ est la constante de vitesse.

En conséquence, on admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle du
premier ordre suivante:

\[y' + k \times y = 0\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0; 44] par $f(t) = 41 \times \e^{-kt}$ est la solution de l'équation différentielle qui vérifie la condition initiale $f(0) = 41$.
\item Montrer que $\ln(f(t)) = -kt + \ln( 41)$.
\end{enumerate}

On a représenté, dans le \textbf{document réponse DR1 page \pageref{reponse}  à rendre avec la copie}, le logarithme népérien de la concentration de pentaoxyde de diazote obtenue dans
l'expérience pour 
\mbox{$t = \np[min]{0}$,} $t = \np[min]{4}$, $t = \np[min]{8}$, $t = \np[min]{16}$, $t = \np[min]{28}$
et $t = \np[min]{44}$. La droite tracée approxime les points.

\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier que l'hypothèse d'une cinétique d'ordre 1 par rapport au réactif
pentaoxyde de diazote N$_2$O$_5$ est compatible avec les données expérimentales.
\item Déterminer le coefficient directeur de la droite tracée sur le \textbf{ document réponse
DR1 page \pageref{reponse} à rendre avec la copie}.
\item En déduire que la valeur de la constante de vitesse $k$ est environ égale à \np[min^{-1}]{0,063}.

\item Calculer la valeur de $\ln\left(\dfrac{ [\mathrm{N}_2\mathrm{O}_5]_0}{2}\right)$ puis résoudre graphiquement l'équation
$f(t) = 20,5$ en laissant la trace permettant de comprendre la lecture réalisée sur le
\textbf{document réponse  DR1 page \pageref{reponse}  à rendre avec la copie}.
\item Grâce à l'expression $f(t) = [\mathrm{N}_2\mathrm{O}_5]_t = [\mathrm{N}_2\mathrm{O}_5]_0 \times \e^{-kt}$, montrer que le temps de
demi-réaction $t_{1/2}$ s'exprime par la relation:
\[t_{1/2}=\dfrac{\ln(2)}{k}\]
\item Calculer la valeur numérique du temps de demi-réaction $t_{1/2}$.
\item Comparer les résultats des questions \textbf{8.} et \textbf{10.}.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 3  mathématiques \hfill 4 points}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Dans cet exercice, les quatre questions sont indépendantes.\\
Il faut traiter les quatre questions.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$  par $ f(x) = 3\e^{5x} + 1$.

Calculer $f(0)$ en détaillant les calculs.

\vspace{0.5cm}

\textbf{Question 2}

\medskip

Résoudre sur l'intervalle $\left] - \dfrac{1}{2}~;+\infty \right[$ l'équation $\ln(2x + 1) = 7$.

\vspace{0.5cm}

\textbf{Question 3}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 9x^2 + 10x$.

Déterminer une primitive $G$ de $g$ sur $\R$.

\vspace{0.5cm}

\textbf{Question 4}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 3x^2 + 7$.

On note $F$ la fonction primitive de $f$ définie sur $\R$ par $F(x) = x^3 + 7x$.

Déterminer

\[\displaystyle \int _0^1 f(x)\mathrm{d}\,(x)\]

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC LA COPIE}
\end{center}

\textbf{DR1 - Exercice 1 :}

\label{reponse}

\psset{xunit=0.3cm,yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-8,-3)(50,5)
\multido{\n=0+4}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,4)}
\multido{\n=0+0.50}{9}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=gray](0,\n)(44,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=4,Dy=0.50]{-}(0,0)(44.5,4.10)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.9,dotangle=45](0,3.75)(4,3.5)(8,3.25)(16,2.75)(28,2)(44,1)
\uput[d](20,4.5){ $\ln([\mathrm{N}_2\mathrm{O}_5])$ en fonction du temps $t$}
\uput[u](20,-1){ temps $t$ en min}
\uput[dl](-3.8,3.3){\rotatebox{90}{$\ln [\mathrm{N}_2 \mathrm{O}_5])$ en  mmol$\cdot\mathrm{L}^{-1}$}}
\def\Func{x 0.0625 mul neg 3.75 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{44}{\Func}
\end{pspicture}
\end{document}