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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de laboratoire (STL)spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL spécialité biotechnologies  Métropole~\decofourright\\ 18 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)}  

\vspace{0.25cm}
% BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE
% SESSION 2019
% MATHÉMATIQUES
% Série : Sciences et Technologies de Laboratoire
% Spécialité : BIOTECHNOLOGIES
% ÉPREUVE DU MARDI 18 JUIN 2019
% Durée de l’épreuve : 4 heures
% Coefficient : 4
% L’usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sansmode examen, est autorisé.
% Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.
% Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6.
% Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
% Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
% fructueuse, qu’il aura développée.
% Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
% compte dans l’appréciation de la copie.
% 19MABIMLR1 Page 1/6

Dans une solution tampon (solution dont le pH varie peu ou ne varie pas lors de l’ajout d’un acide
ou d’une base, ou lors d’une dilution), on introduit des levures (\emph{saccharomyces cerevisiae}) en suspension.
On ajoute ensuite une solution de glucose à 5 millimoles par litre (mmol.L$^{-1}$), et on suit
la fermentation de glucose par les levures en relevant la quantité d’éthanol obtenue au cours du temps.

Le tableau ci-dessous donne la quantité $y_i$ (exprimée en unité arbitraire, ua) d’éthanol dans la
solution, en fonction de $x_i$ qui représente la durée écoulée, en seconde, depuis l’ajout de glucose.

À chaque valeur de $y_i$ , on associe $z_i =\dfrac{5,2}{5,2-yi}$.

\begin{tabular}{|m{3cm}|*{8}{c|}}
\hline
Durée $x_i$ (en s)& 0 &250& 500& 700& \np{1000} &\np{1500} &\np{2000}&\np{2500} \\\hline
Quantité $y_i$ (en ua)& 0,3& 1,4& 2,2& 2,8 &3,2& 3,7& 3,9& 4,1\\\hline
$z_i =\dfrac{5,2}{5,2-y_i}$&1,0612& 1,3684 &1,7333 & &2,6000& 3,4667& 4,0000& 4,7272\\\hline
\end{tabular}

\smallskip

On donne ci-dessous le nuage de points M$_i$, de coordonnées $(x_i ; y_i )$, dans un repère orthogonal
du plan.

\begin{center}
\psset{xunit=0.005cm,yunit=2cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.1)(2500,4.7)
 \multido{\n=0+125}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,00)(\n,4.25)}
 \multido{\n=0+0.25}{18}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(2500,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=250,Dy=0.5,]{->}(0,0)(2600,4.50)
%\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,0.3)(250,1.4)(500,2.2)(700,2.8)(1000,3.2)(1500,3.7)(2000,3.9)(2500,4.1)
\uput[u](2250,0){\footnotesize Durée $x_i$ (en s)}
\uput[r](0,4.3){\footnotesize Quantité $y_i$ (en ua)}
 

\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Pour chacune des cinq affirmations de l’exercice, déterminer si elle est vraie ou fausse, puis justifier
de manière claire et concise la réponse donnée.

\medskip
\begin{description}
\item[Affirmation 1 :]Un ajustement affine du nuage de points $M_i$ ($x_i~;~ y_i$ ) est adapté.
\item[Affirmation 2 :] Au dix-millième près, la valeur manquante de $z_i$ est 2,1667.
\item[Affirmation 3 :] Lorsque la durée écoulée depuis l’introduction du glucose passe de \np{1000} à \np{2000}
secondes, la quantité $y$ d’éthanol augmente de plus de 25\,\%.
\end{description}
On donne ci-dessous le nuage de points $N_i$, de coordonnées ($x_i ; z_i$), dans un repère orthogonal du
plan.


\begin{center}
\psset{xunit=0.005cm,yunit=2cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.1)(2500,4.85)
 \multido{\n=0+125}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,00)(\n,4.75)}
 \multido{\n=0+0.25}{20}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(2500,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=250,Dy=0.5,]{->}(0,0)(2600,4.850)
%\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,1.0612)(250,1.3684)(500,1.7333)(700,2.1667)(1000,2.6)(1500,3.4667)(2000,4.0)(2500,4.7272)
\uput[u](2250,0){\footnotesize Durée $x_i$ (en s)}
\uput[r](0,4.8){\footnotesize  $z_i=\dfrac{5,2}{5,2-y_i}$ }
 

\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

À l’aide d’une calculatrice, on a obtenu, pour ce second nuage de points, l’ajustement affine suivant :

 $z = 0,0015x +1,0627$.
 
 \medskip
\begin{description}
\item[Affirmation 4 :] Grâce à l’ajustement affine donné, on peut estimer que $y = 5,2-\dfrac{5,2}{0,0015x +1,0627}$.
\item[Affirmation 5 :] En utilisant le modèle d’ajustement de l’affirmation précédente, on peut estimer
que la quantité d’éthanol présente quarante minutes après l’introduction du glucose est supérieure
à 4 ua.
\end{description}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip


Julie a l’intention de planter des bambous dans son jardin. Comme ils sont réputés envahissants,
elle souhaite d’abord avoir une estimation de leur taille et de la surface qu’ils occuperont dans les
années à venir.

Un botaniste indique que l’espèce choisie par Julie a une hauteur qui augmente de 35\,\% par an
dans les conditions de son jardin. Il précise que ces bambous ont pour taille maximale 6 mètres.
Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur des bambous, exprimée en mètre, $n$ années après
les avoir plantés.

Dans les jardineries, ces plantes sont vendues alors que leur hauteur est de 0,6 mètre, que l’on
considérera comme la hauteur initiale.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}\item Donner la valeur de $h_0$, puis calculer $h_1$.
\item Exprimer $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$.
\item En déduire la nature de la suite $(h_n)$, puis exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
\item Afin de ne pas gêner ses voisins, Julie envisage de ne pas laisser sa plantation dépasser
4 mètres de hauteur.

Combien d’années peut-elle laisser pousser ses bambous sans avoir besoin de les tailler ?
\item On donne ci-dessous trois algorithmes. Déterminer, sans justifier, celui des trois pour lequel,
à la fin de son exécution, la variable N contient le résultat de la question précédente.

\begin{minipage}[]{4cm}
\begin{tabular}{|cl|}
\hline
{\tiny 1}& N $\leftarrow$ 0\\
{\tiny 2}& U $\leftarrow 0,6$\\
{\tiny3} &Tant que N < 4\\
{\tiny4}& \hspace{1em} N $\leftarrow$ N +1\\
{\tiny5}& \hspace{1em} U $\leftarrow 1,35\times$ U\\
{\tiny6}& Fin Tant que\\\hline
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 1}}
\end{tabular}
%\begin{center}
%\textbf{}
%\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{4cm}
\begin{tabular}{|cl|}
\hline
{\tiny 1}& N $\leftarrow 0$\\
{\tiny 2}& U $\leftarrow 0,6$\\
{\tiny 3}& Tant que U < 4\\
{\tiny 4}&  \hspace{1em}N $\leftarrow$  N+1\\
{\tiny 5 }& \hspace{1em}U $\leftarrow 1,35\times$ U\\
{\tiny 6}& Fin Tant que\\\hline
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 2}}
\end{tabular}
%\begin{center}
%\textbf{Algorithme 2}
%\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{4cm}
\begin{tabular}{|cl|}
\hline
{\tiny 1}& U $\leftarrow $0,6\\
{\tiny  2}& Pour N allant de 1 à 4\\
{\tiny 3}& \hspace{1em} U $\leftarrow 1,35\times$ U\\
{\tiny 4}& Fin Pour\\\hline
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Algorithme 3}}
\end{tabular}
%\begin{center}
%\textbf{Algorithme 3}
%\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\item Julie n’a pas prévu d’installer de barrière anti-rhizomes, les bambous pourront donc se répandre
sur le terrain. Selon le botaniste, la surface colonisée augmente de 2\,\% par mois. Julie
plante ses bambous sur une surface initiale de \np[m^2]{1}.

Au bout de combien de mois les bambous se seront-ils répandus sur une surface de plus de \np[m^2]{2} ?

\item Julie se rend dans la jardinerie la plus proche de son domicile. Elle souhaite acheter des pots
de bambous provenant d’une entreprise d’horticulture située à moins de cent kilomètres de
cette jardinerie. On appelle C la condition :
\begin{center}
\og les pots ont été préparés à moins de \np[km]{100}  de la jardinerie \fg.
\end{center}
Dans la jardinerie où Julie se trouve, une étude portant sur un échantillon de 200 pots montre
que 135 d’entre eux ont été fournis par un horticulteur respectant la condition C.
\begin{enumerate}
\item Calculer la fréquence $f$, dans cet échantillon, des pots qui respectent la condition C.
\item Donner une estimation de $p$, la proportion des pots satisfaisant la condition C, par un intervalle
de confiance à 95\,\%. Arrondir les bornes de cet intervalle à $10^{-2}$ près.
\item Julie recommandera cette jardinerie s’il est possible qu’au moins trois quarts des pots de
bambous achetés vérifient la condition C.

Julie recommandera-t-elle cette jardinerie ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

\textbf{ PARTIE A}

\smallskip
On considère l’équation différentielle (E)
\[y'+0,01y = 1\]
où $y$ est une fonction dérivable sur l’intervalle $[0~;~+\infty1[$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l’équation différentielle (E).
\item Déterminer la fonction $g$ solution de (E) vérifiant la condition $g (0) =20$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{ PARTIE B}

\smallskip



L’objectif des questions suivantes est l’étude de la température de l’eau dans un chauffe-eau.

La mise en marche se fait de manière automatique chaque soir à 22h30 (heures creuses).

On note $g (t )$ la température de l’eau dans le chauffe-eau, exprimée en degré Celsius, $t$ minutes
après le déclenchement du mode \og  heures creuses\fg.

On considère que la fonction $g$ est définie pour tout nombre réel de l’intervalle $[0;~~+\infty[$ par :
\[g (t ) = -80\e^{-0,01t} +100\]

\begin{enumerate}
\item  Justifier par un calcul que la différence de température de l’eau du chauffe-eau entre 23h et
minuit est comprise entre 26 et 27 degrés Celsius.
\item \begin{enumerate}
\item  Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ . Calculer $g'(t)$.
\item Étudier le signe de $g'(t)$, puis en déduire les variations de la fonction $g$ .
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Dans la suite de l’exercice, on admet que :

\begin{itemize}
\item   la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle [a ; b] est donnée par :
\[\displaystyle \dfrac{1}{b-a}\int_a^b g (t )dt\]
\item la fonction définie sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$ par $G(t) = 8000\e^{-0,01t} +100t$ est une primitive de
la fonction $g$ sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}[resume]
\item  Déterminer une valeur approchée, au dixième de degré près, de la température moyenne de
l’eau dans le chauffe-eau entre 23h et minuit.
\item En réalité, le chauffe-eau est doté d’un système de régulation de la température afin que
celle-ci ne dépasse par \np[\tcdegree C]{60}.

Déterminer l’heure à laquelle l’eau du chauffe-eau atteint cette température de \np[\tcdegree C]{60}. 

\emph{Arrondir la réponse à la minute près.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  3 points}

\medskip


Dans une grande chaîne de magasins, la direction décide de recenser la durée d’attente en caisse
de ses clients. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un client pris au hasard dans l’ensemble
des magasins, fait correspondre son temps d’attente exprimé en minute.

À partir de ces données, on considère que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d’écart type 2.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction de densité correspondant à la loi
suivie par la variable aléatoire $X$, obtenue à l’aide d’un logiciel.

\psset{xunit=0.88cm,yunit=20cm,arrowsize=5pt,yAxis=false,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(0,-0.05)(16,0.25)
\psaxes{->}(0,0)(16,0.4)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1pt,mue=8,sigma=2]{1}{15}

\psline(8,0)(8,0.1994)

\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item  La direction estime que l’attente est trop longue pour un client si elle est supérieure ou égale
à dix minutes.

Déterminer, au millième, la probabilité que, pour un client pris au hasard, la durée d’attente
soit supérieure à cette période jugée trop longue.
\item Déterminer une valeur approchée au centième du réel $k$ vérifiant $P(X > k) = 0, 1$.

Interpréter ce résultat en termes de temps d’attente.
\end{enumerate}
\end{document}