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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole 28 mars 2023~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 4 points }

\medskip

La production de sucre inverti est réalisée en laboratoire lors de la transformation chimique du saccharose en milieu acide, en chauffant.

On définit la vitesse $v$ de disparition du saccharose de concentration $c$ en quantité de matière par:

\[v = - \dfrac{\text{d} c}{\text{d} t}.\]

Expérimentalement, nous réalisons un suivi cinétique de cette transformation qui permet d'obtenir le graphe ci-après représentant l'évolution de la vitesse $v$ de disparition du saccharose en fonction de sa concentration $c$ en quantité de matière dans le mélange. 

On peut modéliser cette situation par une fonction linéaire.

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.7,-0.2)(5.1,18.3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(5.05,18)
\multido{\n=0+1,\na=0.000+0.005}{6}{\uput[d](\n,0){\na}}
\uput[l](0,0){0}\uput[l](0,2){\footnotesize $2\cdot 10^{-6}$}
\uput[l](0,4){\footnotesize $4\cdot 10^{-6}$}\uput[l](0,6){\footnotesize $6\cdot 10^{-6}$}
\uput[l](0,8){\footnotesize $8\cdot 10^{-6}$}\uput[l](0,10){\footnotesize $1,0\cdot 10^{-5}$}
\uput[l](0,12){\footnotesize $1,2\cdot 10^{-5}$}\uput[l](0,14){\footnotesize $1,4\cdot 10^{-5}$}
\uput[l](0,16){\footnotesize $1,6\cdot 10^{-5}$}\uput[l](0,18){\footnotesize $1,8\cdot 10^{-5}$}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](5,17.5)
\psdots(1.6,5.9)(1.8,6.35)(2.08,7.5)(2.2,8.2)(2.6,9.5)(3.2,11.5)(3.7,13.2)(4.3,15.85)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À partir du graphique précédent, choisir, en justifiant la réponse, le modèle adapté à la cinétique chimique de cette réaction parmi les propositions suivantes:

\begin{center}modèle 1 : $v=k$, \qquad  modèle 2 : $v = k.c$, \qquad  modèle 3: $v = k.c^2$\end{center} 

où $k$ est la constante de vitesse.
\item Déterminer une valeur approchée de la constante de vitesse $k$ en précisant son unité.
\end{enumerate}

Dans la suite de cet exercice, on prendra $k = 7 \times 10^{-4}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer le temps de demi-réaction $t_{\frac12}$ défini par la relation: $t_{\frac12} = \dfrac{\ln (2)}{k}$.
\item Commenter le résultat précédent en qualifiant de rapide ou lente la
transformation chimique réalisée au laboratoire.

À partir du modèle identifié à la question 1, on montre que la cinétique de l'hydrolyse du saccharose peut être modélisée par l'équation différentielle 
\begin{center} $(E) :\quad  \dfrac{\text{d} c}{\text{d} t} = - k \times c$ (soit en mathématiques $y' = - k \times y$)\end{center}
 où $k = 7 \times 10^{-4}$.
\item Résoudre sur $[0~;~+ \infty[$ cette équation différentielle.
\item Sachant que pour $t = 0$, la concentration initiale du saccharose vaut
0,4 mol$\cdot \text{L}^{-1}$, montrer que l'unique solution de l'équation $(E)$ est la fonction $c$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 
\[c(t) = 0,4 \times \e^{-7\times 10^{-4}\times t}.\]

\item Déterminer la limite de $c(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de la production réalisée en laboratoire.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 4 points }

\medskip

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes. 

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip
Résoudre dans $\R$ l'inéquation:
\[\e^{2t} > 0,12.\]

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
\[F(t)= a\e^{2t+6}.\]

\begin{enumerate}
\item $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t) = 6 \e^{2t+6}$.

Déterminer la valeur de $a$.
\item Donner une autre primitive de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip
On s'intéresse à l'équipement des habitants d'une grande ville en ordinateurs depuis 2000.

La part (exprimée en \,\%) des habitants de cette ville ayant au moins un ordinateur est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty]$ par :
\[f(t) = \dfrac{94,6}{1 + \e^{0,6 - 0,2t}}\]

où $t$ est la durée écoulée (en année) depuis l'année 2000.

Montrer que le taux d'équipement ne peut jamais être supérieur à 94,6\,\%.
\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty]$ par:

\[f(x) = \dfrac{\e^x}{x^2 + 26x}.\]

Déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.














\end{document}