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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie, génie biologique}\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}    
\thispagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie génie biologique~\decofourright\\Métropole  juin 2001  }}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Une station pompe l'eau d'une rivière pour la transformer ensuite en eau
 potable. Lors d'une pollution, elle doit interrompre ses prélèvements
 le temps que la vague de pollution soit évacuée par le courant. On 
suppose qu'à partir de l'alerte, donnée à l'instant 0, la concentration
 en polluant $P$, exprimée en milligrammes par litre (mg/l), dépend du
 temps $t$, exprimé en heures, suivant la relation : 

\[P(t) = 100 t \text{e}^{-t}\qquad  \text{pour}~ t ~\text{appartenant à
 l'intervalle [0 ; 5]}.\]
 
\vspace{0,3cm} 

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en donnant
 des valeurs arrondies à l'entier le plus proche :
  
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ en heures&	0&0,5 &1 & 1,5&	2& 2,5 & 3& 3,5& 4 & 4,5 & 	5\\ \hline
$P(t$) en mg/l&	 0&&	37&&&&&&&	 	5& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Montrer que la dérivée $P'$ est définie sur l'intervalle
 [0~;~5] par :
 
\[P'(t) = 100 \text{e}^{- t} (1 - t).\]

\item Étudier le signe de la dérivée $P'$ et dresser le tableau
 de variation de la fonction $P$ pour $t$ appartenant à l'intervalle [0 ; 5]. 

\item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_P$ de la
 fonction $P$ dans un repère orthogonal en prenant en abscisse 2 cm pour une heure et en ordonnée 2 cm pour 5 mg/l de pollution. 
\item Les normes en vigueur indiquent que ce polluant devient
 dangereux pour la santé si sa concentration dépasse 5 mg/l. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer graphiquement à partir de quel instant $t_0$ la station peut reprendre son pompage sans risque pour la santé (on laissera les constructions apparentes). 
	\item Entre le début de l'alerte et l'arrêt effectif du pompage, il 
s'est écoulé exactement 6 minutes. Peut-on affirmer que l'eau 
prélevée a toujours été conforme aux normes en vigueur vis-à-vis
 de ce polluant ? On justifiera la réponse à l'aide d'un calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

Données scientifiques concernant le brochet

La croissance observée en centimètres suivant l'âge est indiquée dans
 le tableau ci-dessous :
 
 \vspace{0,5cm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
âge du brochet en années& 1	& 2	& 3& 4& 5\\ \hline
taille en centimètres	& 23& 36&43&55&62\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La longévité de l'espèce (âge maximal) est évaluée à neuf années.

Très nombreux à la naissance, les brochets se font plus rares à
 l'âge adulte, les spécimens très âgés devenant exceptionnels. Ainsi sur
 \np{1000} brochets qui viennent de naître, seuls 10 parviendront à l'âge de 8 ans. 

Le graphique de la page suivante représente le nuage de points correspondant aux données du tableau. 

\begin{enumerate} 
\item Un ajustement linéaire du nuage semble-t-il justifié? 
\item On désigne par G$_1$ le point moyen du trois premiers
 points du nuage et par G$_2$ celui des deux derniers
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées de G$_1$ et de G$_2$ et tracer la droite (G$_1$G$_2$) sur le graphique.
		\item Montrer que la droite (G$_1$G$_2$) admet pour équation 
réduite : 

$y = 9,8 x +14,4$.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et montrer qu'il appartient bien à la droite (G$_1$G$_2$).

Placer le point G sur le graphique.
	\end{enumerate}
\item On admet que cette droite constitue une bonne modélisation
 de la taille du brochet en fonction de son âge.
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre algébriquement l'inéquation $9,8 x + 14,4 > 200$. Est-il  vraisemblable qu'un brochet dont la taille dépasse 200~centimètres 
puisse être observé ? 
		\item Résoudre graphiquement l'équation $9,8 x + 14,4 = 100$.

En déduire l'âge d'un brochet mesurant 100~centimètres. (On donnera
 la valeur entière la plus proche et on laissera apparents les traits de
 construction ).
	\end{enumerate} 
\item On souhaite construire un tableau indiquant le nombre
 de brochets $U_n$, présents dans un lac, en fonction de leur âge $n$, en adoptant comme modèle une suite géométrique décroissante de raison $q = 0,565$ et de premier terme $U_0 = \np{1000}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les nombres $U_1$ et $U_2$ (on donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche).
		\item Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche :
		
{\small\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.7cm}| *{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{1.8cm}|} \hline
âge $n$ en années&	1&	2&	3&	4&	5&	6&	7& 	8& 9 
& nombre total de brochets  $U_n$\\  \hline
nombre de brochets $U_n$&565&319&180& & & & & & 6 & \np{1291}\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}}
	\end{enumerate}
\item On pêche un des \np{1291} brochets âgés de un an et plus présents dans le lac. On suppose que tous ont la même probabilité d'être capturés 
	\begin{enumerate} 
		\item Pour une bonne gestion piscicole, on ne peut conserver, après capture, qu'un poisson âgé de quatre ans et plus. On capture un
 brochet : quelle probabilité a-t-on de pouvoir le garder ? (On donnera un résultat à un dixième près) 
		\item Montrer que la probabilité de capturer un poisson dont la 
taille est un mètre, est d'environ 5 sur \np{1000}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{ À REMETTRE AVEC LA COPIE}

\vspace{0,5cm}

Évolution de la taille d'un brochet en fonction de son âge

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(9,200)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20](0,0)(9,200)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,200)} 
\multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\psdots(1,23)(2,36)(3,43)(4,55)(5,62)
\rput(4.5,-20){Âge en années}
\rput{90}(-1,180){Taille en cm}    
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}