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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Centres étrangers }}
\rfoot{\small{14 juin 2017}}
\label{Etranger}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Centres étrangers 14 juin 2017~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\vspace{0.25cm}
 
À l'occasion d'un festival pyrotechnique, un artificier se prépare à lancer des fusées à partir d'une plate-forme située à 8 mètres de hauteur. Il dispose de deux types de fusée, notés A et B.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La hauteur, en mètre, atteinte par les fusées de type A en fonction de leur temps de vol $x$, en
dixième de seconde, est modélisée par la courbe ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.122cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(27,55)
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,50)}
\multido{\n=0+2}{26}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(26,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(26,50)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(26,50)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{25}{ x 6.78 x 0.284 neg mul add mul 8 add}
\uput[r](0,52){\footnotesize Hauteur (en mètre)}\uput[d](21.5,-4){\footnotesize Temps de vol (en dixième de seconde)}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

Répondre aux deux questions suivantes avec la précision permise par le graphique.
\begin{enumerate}
\item Quelle hauteur atteindra la fusée après 0,7 seconde de vol ?\index{lecture graphique}
\item Pour des raisons de sécurité, la fusée doit exploser à une altitude supérieure à 40 mètres. Déterminer l'intervalle de temps auquel doit appartenir $x$ pour satisfaire à cette contrainte.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On modélise la hauteur, en mètre, atteinte par les fusées de type B en fonction de leur temps
de vol $x$, en dixième de seconde, par la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ appartenant à
l'intervalle [0~;~20] par: $f(x) = - 0,5 x^2+ 10 x + 8$.\index{fonction polynôme}

Comme dans le cas des fusées de type A, l'explosion des fusées de type B doit avoir lieu
lorsque celles-ci sont situées à une altitude supérieure ou égale à 40 mètres. On cherche à
déterminer l'intervalle dans lequel doit se trouver $x$ pour satisfaire à cette contrainte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour satisfaire à la contrainte posée, $x$ doit être solution de l'inéquation $- 0.5 x^2 + 10x - 32\geqslant 0$.\index{inéquation}

\item Dresser le tableau de signes de la fonction qui à $x$ associe $- 0,5 x^2 + 10 x - 32$ sur l'intervalle [0~;~20] et répondre alors au problème posé.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~20], calculer $f'(x)$, $f'$ étant la fonction dérivée de $f$.\index{dérivée}
		\item  L'artificier souhaite connaître le coefficient directeur de la tangente au point
d'abscisse $0$ de la courbe représentative de $f$.

Donner le coefficient directeur recherché.\index{coefficient directeur}
	\end{enumerate}
\item  Pour des raisons d'esthétique, l'artificier souhaite faire exploser ses fusées de type B lorsque celles-ci seront à leur hauteur maximale.

Quel temps de vol avant explosion doit-il alors programmer ?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}  

\vspace{0.25cm}

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne les indices de référence des
loyers, notés IRL, au dernier trimestre de chaque année depuis 2009 (base 100 pour l'année
1998) et leurs évolutions annuelles.\index{indice}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{0.19cm}|m{3.34cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
	&\centering A			&B		&C		&D		&E		&F		&G		&H\\\hline
1	& Année					&2009	&2010	&2011	&2012	&2013	&2014	&2015\\\hline
2	&Rang de l'année $x_i$	&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\\hline
3	&Indice de référence
 des loyers $y_i$			&117,47 &119,17	&121,68&123,97&124,83&125,29&125,28\\\hline
4 	&Taux d'évolution de
 l'IRL (arrondi à \np{0.01}\,\%)&\cellcolor{gray} &1,45&	&	&	&	&\\\hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{Source: INSEE}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La cellule C\,4 est au format pourcentage arrondi à 0,01\,\%. Quelle formule peut-on entrer
dans cette cellule pour obtenir, par recopie sur la droite, l'ensemble des valeurs de la plage
de cellules C\,4~:~H\,4 ?
\item La loi française dispose que pour une révision annuelle d'un loyer, le taux d'évolution du loyer ne peut être supérieur à celui de l'IRL de l'année écoulée. Par exemple, un propriétaire ne peut augmenter le loyer de 2010 de plus de 1,45\,\% en janvier 2011.\index{taux}

Un propriétaire propose un loyer de 650~\euro{}  mensuel au dernier trimestre 2010 et souhaite le réviser et le passer à 658~\euro{} mensuel pour l'année 2011. Est-il en accord avec la loi ?

Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le taux d'évolution arrondi à 0,01\,\% de l'IRL entre le dernier trimestre 2009 et le dernier trimestre 2015.
		\item En déduire le taux d'évolution annuel moyen arrondi à 0,01\,\% de l'IRL entre le dernier
trimestre 2009 et le dernier trimestre 2015.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$
obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième.\index{droite d'ajustement}

\medskip
Dans la suite de l'exercice on décide de prendre comme droite d'ajustement de $y$ en $x$ la
droite $D$ d'équation $y = 1,39 x + 117$.

\medskip
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide de cet ajustement, donner une estimation de l'IRL au dernier trimestre 2017 puis au dernier trimestre 2018.
		\item Le loyer mensuel d'un appartement s'élève à 850 \euro{}  au dernier trimestre de l'année 2018. Si le propriétaire envisage à cette période une révision de ce loyer, quelle somme maximale, arrondie à l'euro, peut-il exiger de son locataire pour janvier 2019 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\vspace{0.25cm}

Une étude menée en 2010 par l'institut national de prévention et d'éducation à la santé
évalue le comportement face au tabac en fonction de l'âge d'initiation.

Cette étude menée auprès d'un panel de personnes âgées de 20 ans à 25 ans et ayant déjà
testé la cigarette présente les conclusions suivantes :\index{probabilité}
\begin{itemize}
\item la probabilité de devenir un fumeur régulier est de $0,65$ si la première cigarette a été fumée avant l'âge de $14$~ans ;
\item cette probabilité est de $0,52$ si la première cigarette a été fumée entre $14$ ans et $17$ ans;
\item cette probabilité est enfin de $0,32$ si la première cigarette a été fumée après l'âge de $17$ ans.
\end{itemize}

On interroge 500 personnes, choisies au hasard, âgées de $20$ à $25$ ans ayant déjà fumé. Le tableau ci-dessous donne la répartition des personnes interrogées selon l'âge qu'elles avaient lors de la consommation de leur première cigarette.

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}m{2.65cm}|}} \hline
Âge							&Avant 14 ans	& Entre 14 ans et 17 ans& Après 17 ans\\\hline
Pourcentage des personnes
 interrogées				&28\,\%			&57\,\% 				&15\,\% \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

On choisit une personne au hasard parmi les 500 interrogées.

Dans la suite de l'exercice, on note:
\begin{itemize}
\item $F~$ l'évènement \og la personne choisie est un fumeur régulier\fg{} ;
\item $A~$ l'évènement \og la personne choisie a fumé sa première cigarette avant l'âge de 14 ans\fg{} ;
\item $B~$ l'évènement \og la personne choisie a fumé sa première cigarette entre 14 ans et 17 ans \fg{} ;
\item $C~$ l'évènement \og la personne choisie a fumé sa première cigarette après l'âge de 17 ans\fg.
\end{itemize}
  
Pour tout évènement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\overline{A}$ son évènement contraire, et, pour
tout évènement $B$ de probabilité non nulle, $P_{B} (A)$ la probabilité de l'évènement $A$ sachant
que $B$ est réalisé.

\begin{enumerate}
\item  En considérant encore valables les conclusions de l'étude menée en 2010, recopier puis
compléter l'arbre pondéré suivant. \index{arbre}

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$~}\taput{\dots}}
	  { 
		  \TR{$F$}\taput{\dots}
		  \TR{$\overline{F}$}\tbput{\dots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B$~}\tbput{\dots}}
	  {
		  \TR{$F$}\taput{\dots}
		  \TR{$\overline{F}$}\tbput{\dots}
	  }
	\pstree{\TR{$C$~}\tbput{\dots}}
	  {
		  \TR{$F$}\taput{\dots}
		  \TR{$\overline{F}$}\tbput{\dots}
	  }	
}
\end{center}                                                         

\item Quelle est la probabilité que la personne choisie ait fumé avant l'âge de 14 ans et soit un fumeur régulier ?
\item Montrer que $p(F) = \np{0.5264}$.
\item Sachant que la personne choisie est un fumeur régulier, quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-4}$, qu'il ait fumé sa première cigarette avant l'âge de 14 ans ?
\item L'échantillon étudié compte 294 fumeurs réguliers. À l'aide du résultat de la question \textbf{3.} et d'un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\%, peut-on considérer que le nombre de fumeurs réguliers de cet échantillon est anormalement élevé ?\index{intervalle de fluctuation}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

\vspace{0.25cm}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.

\bigskip

Un apiculteur constate qu'entre le 1\up{er} mars 2014 et le 1\up{er} mars 2016, la population d'abeilles adultes de sa ruche a diminué de 15\,\% par an.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Au 1\up{er} mars 2016 l'apiculteur dénombre \np{55200} abeilles adultes dans sa ruche, à combien peut-on estimer le nombre d'abeilles adultes, arrondi à la centaine, qui peuplaient la ruche au 1\up{er} mars 2014 ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\np{73000}$ &\textbf{b.~~} $\np{107100}$&\textbf{c.~~}$\np{76400}$& \textbf{d.~~} $\np{71 800}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

L'apiculteur fait l'hypothèse que cette baisse régulière de 15\,\% va se poursuivre dans les années à venir. Pour pallier cette perte, il décide d'introduire \np{15 000} abeilles adultes supplémentaires dans sa ruche au 1\up{er} mars de chaque année à partir de 2017.

\begin{enumerate}[resume]
\item  Avec cette hypothèse, combien d'abeilles adultes, à la centaine près, peupleront la ruche
au 1\up{er} mars 2018 après l'apport de l'apiculteur?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\np{67600}$ &\textbf{b.~~} $\np{70000}$&\textbf{c.~~}$\np{72400}$& \textbf{d.~~} $\np{63500}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\medskip

L'apiculteur décide de poursuivre cet apport annuel de \np{15 000} abeilles adultes jusqu'à ce que la population de sa ruche atteigne \np{80 000} abeilles adultes.\index{suite}

\begin{enumerate}[resume]
\item Lequel de ces quatre algorithmes permet de déterminer le nombre d'années (à partir de 2016) nécessaires pour atteindre cet objectif ?\index{algorithme}

\begin{tabular}{c|m{5.4cm}|c|m{5.4cm}|}
\cline{2-2}\cline{4-4}
\textbf{a.~~}&
\begin{minipage}{6.15cm}

\rule[1ex]{6.15cm}{0pt}

\textbf{Variables}

$a$ est un nombre réel

$n$ est un nombre entier

\rule{5cm}{0.2pt}

\textbf{Traitement}

$a$ prend la valeur \np{55 200}

$n$ prend la valeur 0

Tant que $n > \np{80000}$

\hspace{1em}$a$ prend la valeur $a \times 0,85 + \np{15000}$

\hspace{1em}$n$ prend la valeur $n + 1$

Fin Tant que

Afficher $n$

\rule[-1ex]{6cm}{0pt}
\end{minipage}
&
\textbf{b.~~}&

\begin{minipage}{6cm}

\rule[1ex]{5cm}{0pt}

\textbf{Variables}

$a$ est un nombre réel

$n$ est un nombre entier

\rule{5cm}{0.2pt}

\textbf{Traitement}

$n$ prend la valeur 0

 Tant que $a < \np{80000}$
 
\hspace{1em}$a$ prend la valeur \np{55200}

\hspace{1em}$a$ prend la valeur $a \times 0,85 + \np{15000}$

\hspace{1em} $n$ prend la valeur $n + 1$

Fin Tant que

Afficher $n$

\rule[-1ex]{6cm}{0pt}
\end{minipage}\\
\cline{2-2}\cline{4-4}
\end{tabular}

\bigskip

\begin{tabular}{c|m{5.4cm}|c|m{5.4cm}|}

\cline{2-2}\cline{4-4}
\textbf{c.~~}&
\begin{minipage}{6cm}

\rule[1ex]{5cm}{0pt}

\textbf{Variables}

$a$ est un nombre réel

$n$ est un nombre entier

\rule{5cm}{0.2pt}

\textbf{Traitement}

$n$ prend la valeur 0

$a$ prend la valeur \np{55 200}

Tant que $a < \np{80000}$

\hspace{1em}$a$ prend la valeur $a \times 0,85 + \np{15 000}$

\hspace{1em}$n$ prend la valeur $n + 1$

Fin Tant que

Afficher $a$

\rule[-1ex]{6cm}{0pt}
\end{minipage}&
\textbf{d.~~}&

\begin{minipage}{5cm}

\rule[1ex]{6.15cm}{0pt}

\textbf{Variables}

$a$ est un nombre réel

$n$ est un nombre entier

\rule{5cm}{0.2pt}

\textbf{Traitement}

$a$ prend la valeur \np{55200}

$n$ prend la valeur 0

Tant que $a < \np{80000}$

\hspace{1em}$a$ prend la valeur $a \times 0,85 + \np{15000}$

\hspace{1em}$n$ prend la valeur $n + 1$

Fin Tant que

Afficher $n$

\rule[1ex]{5cm}{0pt}
\end{minipage}\\
\cline{2-2}\cline{4-4}
\end{tabular}

\bigskip

\item  On admet que la production moyenne de miel d'une ruche, en kilogramme, est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 15$ et d'écart type $\sigma = 5$.\index{loi normale}

La probabilité $p(5\leqslant X\leqslant 25)$ arrondie à 0,01 est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0,68$ &\textbf{b.~~} $0,99$&\textbf{c.~~}$0,95$& \textbf{d.~~} $0,50$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{document}