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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{4 septembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Antilles--Guyane 4 septembre  2020~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisée.

L'usage de calculatrice sans mémoire  \og type collège\fg{}  est autorisé.

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\vspace{0.5cm}

Un réseau d'agences de tourisme s'intéresse aux voyages effectués par les Français de plus de 15 ans
pendant leurs congés et commande une enquête sur le sujet auprès d'un institut de sondage.
L'institut crée un fichier en notant, pour chaque voyage, sa destination et sa durée.

Il ressort de cette enquête que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  54\,\% de ces voyages ont été de courte durée (1 à 3 nuitées).
\item[$\bullet~~$] 94\,\% des voyages de courte durée ont eu lieu en France.
\item[$\bullet~~$] 79\,\% des voyages de longue durée (au moins 4 nuitées) ont eu lieu en France.
 \end{itemize}
 
On choisit de façon équiprobable l'une de ces fiches.

On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $F$ l'évènement \og  la fiche indique que le voyage a eu lieu en France\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C$ l'évènement \og  la fiche indique que le voyage était de courte durée\fg .
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire par une phrase l'évènement $C \cap F$.
		\item Calculer la probabilité de cet évènement.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la probabilité que le voyage ait eu lieu en France est égale à 0,871.
\item La fiche indique que le voyage a eu lieu en France. Quelle est la probabilité qu'il ait été de
courte durée ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

\vspace{0.5cm}

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaires, en million d'euros, d'une entreprise de nouvelles
technologies.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.85cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année					&2012	&2013	&2014 	&2015	&2016	&2017\\\hline
Rang de l'année : $x_i$	&0		& 1		& 2		& 3		& 4		& 5\\\hline
Chiffre d'affaires (en million 
d'euros) : $y_i$		& \np{4 470}&\np{6 810}&\np{10 950}&\np{15 750} &\np{24 270}&\np{35 700} \\
\hline
\multicolumn{7}{r}{\small \emph{Source:  numéro 254 du Journal L'Éco du 8 au 14 février 2019}}\\
\end{tabularx}
\smallskip

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donnée en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Évolution du chiffre d'affaires}
\begin{enumerate}
\item  Montrer que le taux d'évolution du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2012 et 2017, en
pourcentage et arrondi à l'unité, est égal à 699\,\%.
\item En déduire le taux annuel moyen d'évolution entre 2012 et 2017. Donner le résultat en
pourcentage et arrondi à l'unité.
\end{enumerate}

\smallskip

\item \textbf{Première modélisation}
\begin{enumerate}
\item  À l'aide de la calculatrice, donner l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$
obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au dixième.
\item On décide d'ajuster le nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = \np{6095} x + \np{1087}$.

Déterminer les coordonnées de deux points de la droite $D$ puis tracer cette droite dans le
repère donné \textbf{en annexe, à rendre avec la copie}.
\item Selon ce modèle, quel aurait été le chiffre d'affaires de l'entreprise en 2018 ?
\end{enumerate}

\smallskip

\item \textbf{Seconde modélisation}

On admet que, pour toute valeur entière de $n$ entre 0 et 6, l'expression $\np{1 124} n^2 + 473 n + \np{4 835}$
donne une estimation du chiffre d'affaires de l'entreprise, exprimé en million d'euros, pour
l'année $(2012 + n)$.

Quelle valeur ce modèle fournit-il comme estimation du chiffre d'affaires de l'entreprise en
2018 ?
\item En réalité, le chiffre d'affaires de l'entreprise en 2018 a été de \np{49 000} millions d'euros.
Parmi les deux modèles proposés, lequel donne pour 2018 l'estimation la plus proche de la
réalité ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}  

\vspace{0.5cm}


\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}

\emph{Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est correcte.\\
Pour chaque question, indiquer sur la copie l'affirmation choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Chaque réponse correcte rapporte un point.\\
Une réponse incorrecte, une réponse multiple, une absence de réponse, ne rapportent ni n'enlèvent
de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [$-1$ ; 2].

On note $f'$ sa fonction dérivée.

Le tableau de variation de $f$ est donné ci-dessous.

	\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.3cm}
\begin{pspicture}(9,2.25)
%\psgrid
\psframe(8,2)
\psline(0,1.5)(8,1.5)\psline(0,2)(8,2)  \psline(2.5,0)(2.5,2)
\uput[ul](1.5,1.5){$x$} \uput[u](2.65,1.5){$-1$}\uput[u](5.2,1.45){$\frac{1}{2}$}\uput[u](7.7,1.5){$2$}
\uput[u](1.3,0.75){Variation}
\uput[u](1.3,0.25){ de $f$}
\psline{->}(3.1,0.15)(7.5,1.25)%\psline{->}(6.85,1.25)(8.78,0.5)\psline{->}(9.5,0.5)(11,1.25)
\uput[ur](2.56,0){\small $-3$} \uput[d](7.6,1.5) {$\frac{3}{4}$}
\uput[u](5.2,0.48){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}

Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte ?

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{1. a.~~} $f(0) =  \dfrac{1}{2}$&
\textbf{1. b.~~} L'équation $f(x) = -2$ admet une solution\\
\textbf{1. c.~~} $f\left(\dfrac{1}{4}\right)$ est positif &
\textbf{1. d.~~} La représentation graphique de $f$ est un segment de droite.\\
\end{tabularx}
\item Pour la fonction $f$ de la question 1, parmi les quatre tableaux suivants, lequel est correct ?

\smallskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{2. a.~~}
\[\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -1 & &  & & 2\\ \hline
\text{signe de } f'(x) & &  & + & & \\
\hline
\end{array}\]

&\textbf{2. b.~~}
\[\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -1 & & \frac{1}{2} & & 2\\ \hline
\text{signe de } f'(x) & & - & 0 & + & \\
\hline
\end{array}\]\\
 
\textbf{2. c.~~} 
\[\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -1 & &\frac{1}{2}  & & 2\\ \hline
\text{signe de } f'(x) & & + & 0 & - & \\
\hline
\end{array}\]
&\textbf{2. d.~~} 
\[\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -1 & &  & & 2\\ \hline
\text{signe de } f'(x) & & & - &  & \\
\hline
\end{array}\]
\end{tabularx}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x^2(2x+1)$. Parmi les affirmations suivantes, laquelle
est correcte ?

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{3. a.~~} $g'(x) = 2x^3 + x^2$ &
\textbf{3. b.~~} $g'(x) = 4x$\\
\textbf{3. c.~~} $g'(x) = 6x^2 + 2x$ &
\textbf{3. d.~~} $g'(x) = 2x^2 + 2$.\\
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale dont la courbe de densité est représentée
ci-dessous.

La droite d'équation $x = 4$ est un axe de symétrie de cette courbe et on a $P(X < 3) = 0,3$.

\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=24cm,comma}
\begin{pspicture}(-5,-0.05)(13,0.27)
\multido{\n=-4.4+0.2}{85}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,0.27)}
\multido{\n=0+0.01}{27}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=lightgray](-4.3,\n)(12.4,\n)}
\multido{\n=-4+1}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,0.27)}
\multido{\n=0+0.05}{5}{\psline[linewidth=0.12pt,linecolor=gray](-4.3,\n)(12.4,\n)}
\psGauss[sigma=1.9,mue=4]{-4}{12}
\psline[linestyle=dashed](4,-0.02)(4,0.27)
\psaxes[linewidth=0.25pt,Dy=0.05,labelsep=1pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,0)(12.4,0.27)
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt]{
\psGauss[sigma=1.9,mue=4]{-4}{3}
\lineto(3,0) %\lineto(100,0)
\closepath % indispensable !
   }
%\rput(9,0.05){$P(17 \leqslant X \leqslant 24) \approx 0,46$
%\psComment[ref=l] 
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(1.2,0.20)(2,0.1)
\uput[u](1.2,0.20){$P(X<3)=0,3$}
\end{pspicture}
\end{center}


Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{4. a.~~} $P(X = 4) = 0,21$ &
\textbf{4. b.~~} $P(3 < X < 5) = 0,5$\\
\textbf{4. c.~~} $P(X > 5) = 0,3$ &
\textbf{4. d.~~} $P(X \leqslant 4) = 0,21$\\
\end{tabularx}
%\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}  

\vspace{0.5cm}



Dans un de ses romans dont l'action se déroule en 1832, Eugène Sue fait dire au narrateur :
\og \np{150 000} francs reçus de M. de Rennepont en 1682 par mon grand-père et placés successivement
par lui, mon père et moi, à intérêt de 5\,\% (annuels), [$\dots$ ] en capitalisant les intérêts, ont produit \np{225 950 000} francs \fg.

On modélise la situation présentée dans le texte par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison 1,05 où $u_n$
représente le capital acquis l'année (1682 + $n$), où $n$ est un entier naturel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de $u_0$ ?
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $u_{150}$.
\item Recopier et compléter les lignes 3 et 5 de l'algorithme suivant pour qu'à la fin de son exécution,
la variable $C$ contienne l'année à partir de laquelle le capital initial a été au moins multiplié
par 10.
\begin{center}
\smallskip
\begin{tabular}[]{|m{3.5cm}|}
\hline
$A \leftarrow   \np{1682}$\\
$C  \leftarrow  \np{150000}$\\
Tant que $C < \dotfill$\\
$A\leftarrow    A + 1$\\
$C \leftarrow   \dotfill$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0.5cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\end{center}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1}

\begin{center}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=3cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~~}\taput{$\dots$}}
	{
	\TR{$F$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$F$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2}


\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.0002cm,labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-0.25,-10)(10,58500)
\multido{\n=0+0.2}{50}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,58000)}
\multido{\n=0+1000}{59}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(9.8,\n)}
\multido{\na=0+5000}{12}{\uput[l](0,\na){\scriptsize \np{\na}}}
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,58000)}
\multido{\n=0+5000}{12}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray](0,\n)(9.8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=60000,]{->}(0,0)(10,58000)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.6,dotangle=45,linecolor=blue](0,4700)(1,6810)(2,10950)(3,15750)(4,24270)(5,35700)
\uput[r](0,56000){\footnotesize Chiffre d'affaires}
\uput[r](0,54000){\footnotesize (en million d'euros)}
\uput[d](8.8,- 1500){\footnotesize Rang du mois}

\end{pspicture}
\end{center}



\end{document}