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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oijk{$\left(\text{O}v~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 15 juin 2016}
\label{Antilles}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Antilles--Guyane 15 juin 2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

On observe, depuis quelques années, un modification des canaux de distribution du
tourisme en faveur du tourisme en ligne.

C'est ainsi que plus de 30 millions de Français ont consulté des sites internet pour préparer
leurs vacances en 2013.

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du chiffre d'affaire, noté CA, du marché du tourisme
en ligne de 2006 à 2013 en France.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 							&2006 	&2007 	&2008 	&2009 	&2010 	&2011 	&2012 	&2013\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$			& 1 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline
CA en milliard d'euros : $y_i$	& 4,2 	&5,3 	&7 		&8 		&9,6 	&10,9 	&11,7 	&12,4\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Étude XERFI, FEVAD}}\\
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes}

\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le taux d'évolution, exprimé en pourcentage, du chiffre d'affaire du
tourisme en ligne entre 2006 et 2009.
\item Calculer le taux d'évolution annuel moyen, exprimé en pourcentage, du tourisme en
ligne en France entre les années 2006 et 2009.\index{taux}
\item On suppose que, de 2013 à 2016, le chiffre d'affaire du tourisme en ligne en France a
augmenté de 9\,\% par an. Donner une estimation du chiffre d'affaire du tourisme en
ligne en France pour l'année 2016.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la série statistique à deux variables $\left(x_i~;~y_i\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série statistique dans le repère de l'annexe 1.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés. Les coefficients
seront arrondis au centième.\index{droite d'ajustement}
		\item On décide de réaliser un ajustement de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ à l'aide de la droite $D$ d'équation $y = 1,2x + 3,1$.
		
Tracer la droite $D$ dans le repère de l'annexe 1.
 	\end{enumerate}
\item  À l'aide de la question précédente, donner une estimation du chiffre d'affaire du
tourisme en France en 2016.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
Parallèlement à l'essor du tourisme en ligne, on a pu observer que le nombre de plaintes des
consommateurs dans le secteur du tourisme en ligne est en augmentation depuis 2011.

Les données recueillies par la Direction Générale de la Concurrence, de la Consommation et
de la Répression des Fraudes (DGCCRF) permettent d'analyser l'évolution des plaintes des
consommateurs en France.

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de plaintes enregistrées par la DGCCRF
en France dans le secteur du tourisme en ligne entre les années 2011 et 2013.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 										&2011 		&2012 		&2013\\ \hline
Nombre de plaintes enregistrées en France 	&\np{1036} 	&\np{1293}	&\\ \hline
Indice 										&100 		&			&183,4\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source: Ministère de l'économie, de l'industrie et du numérique}}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer l'indice du nombre de plaintes enregistrées en 2012, arrondi au dixième.\index{indice}
\item Déterminer le nombre de plaintes enregistrées en 2013.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

On s'intéresse à une modélisation de la propagation de l'épidémie de la grippe en France
durant l'hiver 2014 - 2015.

Les relevés statistiques, fournis par le réseau Sentinelle, du nombre de cas pour \np{100000}
habitants sur la période du 29 décembre 2014 au 1\up{er} mars 2015 ont permis de mettre en
évidence une courbe de tendance, à l'aide d'un tableur.

Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x \in  [2~;~10]$, par 

\[f(x) = - 30x^2 + 360x - 360.\]\index{fonction polynôme}

On admet que $f(x)$ modélise le nombre de malades déclarés pour \np{100000} habitants au bout
de $x$ semaines écoulées depuis le début de l'épidémie. On note $C$ sa courbe représentative
dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

À partir du graphique de l'annexe 2, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Selon ce modèle, au bout de combien de semaines le pic de l'épidémie a-t-il été
atteint ?\index{lecture graphique}
\item Déterminer le nombre de semaines pendant lesquelles le nombre de malades a été
supérieur ou égal à $600$. On laissera les traits de justification apparents sur le
graphique de l'annexe 2, à rendre avec la copie.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f(x) \geqslant 600$ équivaut à $- x^2 + 12x - 32 \geqslant 0$.
		\item En déduire les solutions sur [2~;~10] de l'inéquation $f(x) \geqslant 600$.
		\item Comparer avec le résultat obtenu dans la question 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [2~;~10] puis
résoudre l'inéquation $f' (x) \geqslant 0$ sur cet intervalle.\index{dérivée}
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [2~;~10].
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre dérivé de $f$ en 3.\index{nombre dérivé}
		\item Tracer la tangente à $C$ au point d'abscisse 3 dans le repère de l'annexe 2.
	\end{enumerate}
\item On admet que le réel $f'(x)$ représente la vitesse de propagation de l'épidémie au
bout de $x$ semaines.

La grippe se propage-t-elle plus vite au bout de $3$ semaines ou de $4$~semaines ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise familiale fabrique de la confiture de fraises biologiques. Elle achète ses fruits
auprès de deux fournisseurs locaux A et B.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] 25\,\% des fruits proviennent du fournisseur A et les autres du fournisseur B.
\item[ ] 95\,\% des fruits provenant du fournisseur A sont retenus pour la fabrication de la confiture.
\item[ ] 80\,\% des fruits provenant du fournisseur B sont retenus pour la fabrication de la confiture.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\emph{Dans la suite, on notera $p(E)$ la probabilité d'un évènement $E$, et pour tout évènement $F$ de
probabilité non nulle, $p_F(E)$ la probabilité de l'évènement $E$ sachant que $F$ est réalisé.}\index{probabilités}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On choisit un pot de confiture au hasard dans la production.

On note $A$, $B$, $C$ les évènements:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]$A$ : \og les fruits utilisés proviennent du fournisseur A \fg
\item[ ]$B$ : \og les fruits utilisés proviennent du fournisseur B \fg
\item[ ]$C$ : \og les fruits sont retenus pour la fabrication de la confiture \fg
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip
Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilité décrivant la situation.\index{arbre}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap C$.
		\item Calculer $p(A \cap C)$.
		\item Les évènements $A$ et $C$ sont-ils incompatibles ? Interpréter la réponse dans le
contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité $p(C)$, arrondie au centième, est égale à $0,84$.
		\item Les évènements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.\index{évènements indépendants}
	\end{enumerate}
\item  Calculer $p_C(A)$. Interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse dans cette partie à la masse des pots de confiture.

On admet que la masse $M$ (en gramme) d'un pot de confiture prélevé au hasard dans le
stock est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $250$ et
d'écart type $2,5$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $p(245 \leqslant M \leqslant 255)$.
\item En déduire la probabilité qu'un pot de confiture ait une masse comprise entre $250$~g
et $255$~g.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions ci-dessous,
une seule des réponses est exacte. Pour chaque question, indiquer le numéro de
la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une absence de
réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

Un village comptait \np{1100}~habitants en 2010. On a constaté depuis cette date une diminution
annuelle de la population d'environ 5\,\%.

On modélise le nombre d'habitants de ce village à partir de 2010 par une suite géométrique
$\left(u_n\right)$.\index{suite géométrique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $u_n = \np{1100} \times  0,95^n$&\textbf{b.~~} $u_n = \np{1100} \times (1,05)^n$&\textbf{c.~~} $u_n = \np{1100} - 0,95n$
\end{tabularx}
\medskip
		
\item  La feuille de calcul ci-dessous, extraite d'un tableur, permet d'estimer le nombre
d'habitants de ce village à partir de 2010.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C\\ \hline
1	&Année& Rang &\small Nombre d'habitants\\ \hline
2	&2010 &0	& \np{1100}\\ \hline
3	&2011 &1	&\\ \hline
4	&2012 &2	&\\ \hline
5	&2013 &3	&\\ \hline
6	&2014 &4	&\\ \hline
7	&2015 &5	&\\ \hline
8	&2016 &6	&\\ \hline
9	&2017 &7	&\\ \hline
10	&2018 &8	&\\ \hline
11	&2019 &9	&\\ \hline
12	&2020 &10	&\\ \hline
13	&2021 &11	&\\ \hline
14	&2022 &12	&\\ \hline
15	&2023 &13	&\\ \hline
16	&2024 &14	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le format de cellule a été choisi pour que tous les nombres de la colonne C soient
arrondis à l'unité.

Une formule que l'on peut saisir dans la cellule C3 pour obtenir, par recopie vers le
bas, les valeurs de la plage de cellules C3 : C9 est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}=C2*1,05 &\textbf{b.~~} =C2*0,95 &\textbf{c.~~} =C\$2*0,95
\end{tabularx}
\medskip

\item  Le nombre $u_n$ d'habitants aura diminué de moitié à partir de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} L'année 2024 &\textbf{b.~~} L'année 2014 &\textbf{c.~~} L'année de rang 13
\end{tabularx}
\medskip

\item  Selon le modèle retenu, l'algorithme qui donne la première année pour laquelle le
nombre d'habitants aura diminué de moitié est:\index{algorithme}
	\begin{enumerate}
		\item Algorithme 1
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline		
Entrées 	&$A$ entier naturel\\
			&$u$ réel\\ \hline
Traitement 	&$u$ prend la valeur \np{1100}\\
			&$A$ prend la valeur 2010\\
			&Tant que $u > 550$\\
			&\hspace{0,5cm}$u$ prend la valeur $0,95 \times u$\\
			&\hspace{0,5cm}$A$ prend la valeur $A + 1$\\
			&Fin de Tant que\\
			&Afficher $A$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Algorithme 2
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline		
Entrées &$A$ entier naturel\\
&$u$ réel\\\hline
Traitement& $u$ prend la valeur \np{1100}\\
&$A$ prend la valeur 2010\\
&Tant que $u \leqslant 550$\\
&\hspace{0,5cm}$u$ prend la valeur $0,95 \times u$\\
&\hspace{0,5cm}$A$ prend la valeur $A + 1$\\
&Fin de Tant que\\
&Afficher $A$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Algorithme 3
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline			
Entrées &$A$ entier naturel\\
&$u$ réel\\\hline
Traitement& $u$ prend la valeur \np{1100}\\
&$A$ prend la valeur 2010\\
&Tant que $u > 550$\\
&\hspace{0,5cm}$u$ prend la valeur $0,95 \times u$\\
&Fin de Tant que\\
&Afficher $A$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}

{\large \textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 1, exercice 1}
\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(13,21)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=lightgray](0,0)(13,21)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(13,21)[Rang de l'année,140][C. A. en milliards d'euros,40]
\end{pspicture}

\newpage

{\large \textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}}

\vspace{0,5cm}
\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 2, exercice 2}

\end{flushleft}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.0175cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(12,700)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,600)}
\multido{\n=0+50}{13}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=200,Dy=50](0,0)(0,0)(12,600)[Nombre de semaines,100][Nombre de malades déclarés pour \np{100000} habitants,30]
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{10}{360 x mul 560 sub x dup mul 30 mul sub}
\uput[ur](8,400){\blue $C$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}