\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\usepackage{ulem}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-math,pst-tree}
% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Christelle Bart et Vincent Tolleron
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\textwidth}{15cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 18 juin 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Antilles--Guyane ~\decofourright\\18 juin 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est composé de deux parties indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\
Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.}

\medskip

Une agence de voyage, propose  un itinéraire touristique pour lequel  chaque voyageur effectue un aller-retour en utilisant soit le train, soit le bus. Le choix du mode de transport peut changer entre l'aller et le retour.

À l'aller, le train est choisi dans 70\,\% des cas.

Lorsque le train a été choisi à l'aller, il l'est également pour le retour 9 fois sur 10.

Lorsque le bus a été choisi à l'aller le train est préféré pour le retour dans 80\,\% des cas.

On interroge au hasard un voyageur.

Pour tout évènement $E$ on note $\overline{E}$ son évènement contraire et $p(E)$ sa probabilité.

On considère les évènements :

$T_{A}$ : \og Le voyageur choisit de faire l'aller en train \fg

$T_{R}$ : \og Le voyageur choisit de faire le retour en train \fg.

Pour répondre aux questions posées, on pourra compléter l'arbre ci-dessous et s'en aider.

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$T_{A}$}\taput{0,7}}
	  { 
		  \TR{$T_{R}$}\taput{0,9}
		  \TR{$\overline{T_{R}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{T_{A}}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$T_{R}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{T_{R}}$}\tbput{\ldots} 
	  }	
}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le voyageur fasse le retour en bus sachant qu'il a fait l'aller en train est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,07& 	\textbf{b.~~} 0,13 &	\textbf{c.~~} 0,1& 	\textbf{d.~~} 0,2 
\end{tabularx}
\medskip

\item La probabilité que le voyageur fasse l'aller-retour en train est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,63& 	\textbf{b.~~} 1,6& 	\textbf{c.~~} 0,9& 
\textbf{d.~~} 0,8 
\end{tabularx}
\medskip
\item  probabilité que le voyageur utilise le bus pour le retour est égale à :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,07& 	\textbf{b.~~} 0,13& 	\textbf{c.~~} 0,1& 
\textbf{d.~~} 0,2
\end{tabularx}
\medskip 

\item La probabilité que le voyageur utilise les deux moyens de transport proposés est égale à :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,63& 	\textbf{b.~~} 0,06 &	\textbf{c.~~} 0,69& 	\textbf{d.~~} 0,31
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\bigskip  

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pour l'itinéraire en train, le temps de trajet, exprimé en minutes, est modélisé par une variable aléatoire $T$. On admet que $T$ suit une loi normale de moyenne $38$ et d'écart type $2$.
 
Le tableau ci-dessous présente les valeurs arrondies au dix-millième des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance $38$ et d'écart type $2$.

\[\begin{array}{|c|c|}\hline 
a& p(T \leqslant  a)\\ \hline
34 & \np{0,0228}\\ \hline 
36 & \np{0,1587}\\ \hline 
38 & \np{0,5000}\\ \hline 
40 & \np{0,8413}\\ \hline 
42 & \np{0,9773}\\ \hline
\end{array}\]

On pourra utiliser la calculatrice ou le tableau précédent.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le temps de trajet soit inférieur à $38$ minutes ? 
\item Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que le temps de trajet soit compris entre $36$ et $40$~minutes ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est composé de deux parties indépendantes.} 

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne l'évolution, par tranches de cinq années, de la population mondiale (en milliards) entre 1980 et 2010.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& 1980& 1985& 1990& 1995& 2000& 2005& 2010\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$& 1& 2&  3& 4&  5& 6& 7\\ \hline 
Nombre d'habitants (en milliards) : $y_{i}$& 4,4& 4,8& 5,3& 5,7& 6,1& 6,5& 6,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé au tableau ci-dessus sur le repère donné en annexe 1. 
\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients obtenus seront arrondis au centième. 
\item On modélise l'évolution de l'effectif $y$ de la population mondiale, exprimé en milliards, en fonction du rang $x$ de l'année par l'expression $y = 0,4x + 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement, dans le repère donné en annexe 1, la droite traduisant cette évolution. 
		\item En utilisant le modèle ci-dessus, estimer l'effectif de la population mondiale en 2015. 
		\item Selon ce modèle, à partir de quelle année la population mondiale devrait-elle dépasser $8$~milliards d'habitants?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
À partir des données fournies dans le tableau de la partie A :

\medskip
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux global d'évolution de la population mondiale entre 1980 et 2010, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01\,\%. 
\item Calculer le taux moyen annuel d'évolution de la population mondiale entre 1980 et 2010, exprimé en pourcentage et arrondi à $0,01\,\%$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\medskip

On s'intéresse à la propagation d'une maladie dans une ville de \np{130000}~habitants. La fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~40] par
 
\[f(t) = - 30t^2 + \np{1200}t + \np{4000}\]
 
modélise le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de $t$ jours de suivi de la propagation.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude graphique}

\medskip
 
\emph{On donne en annexe 2 la courbe représentative de la fonction $f$.\\ Répondre aux questions ci-dessous par lecture graphique.\\ 
Les résultats seront justifiés en commentant le travail réalisé sur le graphique et en y laissant les traits de construction.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de 15 jours de suivi de la propagation. 
\item Le conseil municipal a décidé de fermer les crèches de la ville lorsque plus de 10\,\% de la population est touchée par la maladie. Pendant combien de jours les crèches ont-elles été fermées ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude algébrique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~40], l'expression de $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. 
\item Étudier le signe de $f'(t)$ pour $t$ variant dans l'intervalle [0~;~40].
 
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Au bout de combien de jours de suivi de la propagation le nombre de personnes touchées par la maladie est-il maximal ? 

Combien y a-t-il alors de personnes touchées ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est composé de deux parties indépendantes l'une de l'autre.}

\medskip
 
\textbf{Partie A : les économies \ldots}

\medskip
 
Afin de se constituer un capital, un épargnant place \np{1000}~euros sur un compte non rémunéré et, chaque mois, verse 75~euros sur ce compte.
 
On note $u_{n}$ le montant en euros du capital accumulé au bout de $n$ mois. 

Ainsi $u_{0} = \np{1000}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1},\: u_{2}$ et $u_{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ en justifiant la réponse. 
		\item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
Au bout de combien de temps le capital accumulé est-il supérieur à 3 500 euros ? 

Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : et les dépenses \ldots}

\medskip
 
Cet épargnant doit surveiller ses dépenses. En janvier 2014 il a dépensé 660~\euro{} et, jusqu'à présent, ses dépenses ont augmenté chaque mois de 4\,\%. On suppose que cette évolution va se poursuivre à l'avenir.
 
Cette évolution conduit à modéliser le montant en euros des dépenses mensuelles au cours du $n$-ième mois après janvier 2014 par le terme $v_{n}$ d'une suite géométrique.
 
Ainsi $v_{0} = 660$.

\smallskip
 
Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centime d'euro. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $v_{1} = 1,04v_{0}$.
 
Calculer $v_{3}$ et interpréter le résultat. 
\item Calculer le montant des dépenses au mois de décembre 2014. 
\item Selon ce modèle, quand l'épargnant devrait-il doubler ses dépenses par rapport à janvier 2014 ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{1cm} 
\textbf{ANNEXE 1 (Exercice 2)}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(9,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(9,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(9,9)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(9,9)
\end{pspicture} 

\vspace{1cm}

\textbf{ANNEXE 2 (Exercice 3)}
 
\vspace{1cm} 

\psset{xunit=0.27cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-4,-50)(40,18500)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=2500](0,0)(-4,-50)(40,17500)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=2500]{->}(0,0)(-4,-50)(40,17500)
\multido{\n=0+1}{41}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,17500)}
\multido{\n=0+500}{36}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(40,\n)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{40}{1200 x mul 4000 add x dup mul 30 mul sub}
\uput[u](35,0){Nombre de jours}
\uput[r](-5,18300){Nombre de personnes touchées}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}