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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Guadeloupe
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 18 juin 2015}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Antilles--Guyane 18 juin 2015~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ 
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.\\
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse
n'enlève aucun point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le prix d'un article soldé est de 41,40~\euro. L'étiquette indique
\og -40\,\% \fg. Le prix de l'article avant les soldes était de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 69 \euro &\textbf{b.~~}  81,40 \euro &\textbf{c.~~}  58 \euro
\end{tabularx}
\medskip

\item Une entreprise produit un grand nombre d'ampoules. La proportion d'ampoules
défectueuses dans la production est de $0,03$. On prélève successivement et de façon
indépendante quatre ampoules dans la production.

Une valeur approchée au millième de la probabilité que, parmi ces quatre ampoules,
exactement deux soient défectueuses est:\index{loi binomiale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}  0,250 &\textbf{b.~~}   0,060 &\textbf{c.~~} 0,005
\end{tabularx}
\medskip

\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par :

\[f(x) = \dfrac{x^2 + 5x}{3x + 4}.\]


La dérivée de la fonction $f$ est donnée par:\index{dérivée}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = \dfrac{2x + 5}{3}$&\textbf{b.~~} $f'(x) = \dfrac{9x^2 + 38x + 20}{ (3x + 4)^2}$&\textbf{c.~~} $f'(x) = \dfrac{3x^2 + 8x + 20}{(3x + 4)^2}$
\end{tabularx}
\medskip
\item On considère la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x$ par :

\[g(x) = 2x^3 + 4x + 2.\]\index{fonction polynôme}

Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 2 est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $y = 26x + 2$ &\textbf{b.~~} $y = 28x - 30$ &\textbf{c.~~}  $y = 28x + 26$
\end{tabularx}
\medskip\hyperlink{Index}{*}

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le nombre d'habitants en millions de la population française en
fonction de l'année.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&Rang $x_i$&Nombre $y_i$ d'habitants en millions\\ \hline
2000& 0& 60,5\\ \hline
2001& 1& 60,9\\ \hline
2002& 2& 61,4\\ \hline
2003& 3& 61,8\\ \hline
2004& 4& 62,3\\ \hline
2005& 5& 62,7\\ \hline
2006& 6& 63,2\\ \hline
2007& 7& 63,6\\ \hline
2008& 8& 63,9\\ \hline
2009& 9& 64,3\\ \hline
2010& 10& 64,6\\ \hline
\multicolumn{3}{r}{\emph{Source: INSEE}}
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Partie A : premier modèle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de
$y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis
au centième).\index{ajustement affine}
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation
$y = 0,4x + 60,6$. Sur la base de ce modèle, donner une estimation du nombre
d'habitants en France en 2050.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : deuxième modèle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution global du nombre d'habitants de la population française,
exprimé en pourcentage et arrondi à 0,001\,\%, entre les années 2000 et 2010.\index{taux}
\item En déduire le taux d'évolution annuel moyen sur cette même période, exprimé en
pourcentage et arrondi à 0,001\,\%.
\item Dans la suite de l'exercice, on suppose qu'à partir de 2010, le nombre d'habitants
augmente de $0,66$\,\% par an.

Cette évolution conduit à estimer le nombre d'habitants, exprimé en millions, au cours
de l'année $2010 + n$ ($n$ désignant un entier naturel), à partir de la valeur du $n$-ième
terme d'une suite géométrique $\left(u_n\right)$.\index{suite géométrique}
	\begin{enumerate}
		\item Quels sont le premier terme et la raison de la suite $\left(u_n\right)$ ?
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Montrer que, selon ce modèle, il y aura environ $84$ millions d'habitants en France
en 2050.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

D'après certains experts, la population mondiale devrait atteindre neuf milliards en 2050.

Justifier, par un calcul, la phrase suivante :

\og En 2050, il y aura moins d'une personne sur cent de la population mondiale qui vivra en
France. \fg\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique un modèle de meuble en bois. Elle peut produire au maximum 100
meubles par jour.

Pour $x$ meubles fabriqués et vendus, le coût de production journalier (exprimé en euros),
noté $C(x)$, est donné par :

\[C(x) = 2,25x^2 - 6x + 20.\index{fonction polynôme}\]

Chaque meuble est vendu 299~\euro.

L'entreprise est ouverte cinq jours par semaine.

Le chef d'entreprise a réalisé la feuille de calcul suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	& A		& B			& C		& D\\ \hline
1	& $x$ 	&Recette 	&Coût 	&Bénéfice\\ \hline
2	& 0 	&0 			&20 	&$- 20$\\ \hline
3	& 10 	&\np{2990}	& 185 	&2805\\ \hline
4	& 20	&			&		&\\ \hline
5	& 30	&			&		&\\ \hline
6	& 40	&			&		&\\ \hline
7	& 50	&			&		&\\ \hline
8	& 60	&			&		&\\ \hline
9	& 70	&			&		&\\ \hline
10	& 80	&			&		&\\ \hline
11	& 90	&			&		&\\ \hline
12	& 100	&			&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une formule qui, saisie dans la cellule B2, permet d'obtenir par recopie
vers le bas, la recette en fonction du nombre de meubles fabriqués et vendus
chaque jour.
		\item Donner une formule qui, saisie dans la cellule C2, permet d'obtenir, par
recopie vers le bas, le coût en fonction du nombre de meubles fabriqués et vendus chaque jour.
		\item Calculer les valeurs associées aux cellules B7, C7 et D7.
	\end{enumerate}
\item Montrer que le bénéfice journalier correspondant à la production et la vente de $x$
meubles ($x \in [0~;~100]$) est donné par 
	
	\[B(x) = -2,25x^2 + 305x - 20.\]
	
\item Calculer $B'(x)$ et donner le tableau de variations de $B$ sur [0~;~100].
\item Combien de meubles faut-il produire et vendre pour réaliser un bénéfice journalier
maximal ?
	
Déterminer le bénéfice maximal que peut réaliser l'entreprise sur une période de
quatre semaines.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\medskip

\parbox{0.69\linewidth}{\textbf{Partie A}

Une entreprise de \np{2000}~salariés compte \np{1200}
techniciens et 800 ingénieurs.\index{probabilités}

Parmi les techniciens, 25\,\% déjeunent dans le
restaurant de l'entreprise.

Parmi les ingénieurs, 20\,\% déjeunent dans ce même
restaurant.

On interroge un salarié au hasard.

On note $I$ l'évènement \og le salarié interrogé est
ingénieur\fg{} et $R$ l'évènement \og le salarié interrogé
déjeune dans le restaurant de l'entreprise \fg.

\smallskip

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ son évènement
contraire et $p(E)$ sa probabilité.\index{arbre}

\medskip

}\hfill
\parbox{0.29\linewidth}
{
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
	{
\pstree{\TR{$I$~} \taput{\ldots}}
		{
		\TR{$R$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{R}$}\tbput{\ldots}
		}
\pstree{\TR{$\overline{I}$~} \tbput{\ldots}}
		{
		\TR{$R$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{R}$}\tbput{\ldots}
		}		
	}

}

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités
ci-dessus.
\item  Montrer que $p(R) = 0,23$.
\item  Un salarié sort du restaurant de l'entreprise après y avoir déjeuné.

Calculer la probabilité, arrondie au millième, pour qu'il soit ingénieur.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip

On rappelle que cette entreprise est composée de \np{1200} techniciens et de $800$ ingénieurs.

On modélise le salaire mensuel, exprimé en euros, d'un technicien de l'entreprise par une
variable aléatoire $X_T$ suivant une loi normale d'espérance $m_T$ et d'écart type 200.\index{loi normale}

On modélise le salaire mensuel, exprimé en euros, d'un ingénieur de l'entreprise par une
variable aléatoire $X_I$ suivant une loi normale d'espérance $m_I$ et d'écart type 150.

On donne ci-dessous la représentation graphique des fonctions de densité des variables $X_T$ et $X_I$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.012cm,yunit=500cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-100,-0.001)(900,0.009)
\multido{\n=-100+100}{11}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,0.009)}
\multido{\n=0.000+0.001}{10}{\psline[linewidth=0.15pt](-100,\n)(900,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1600,Dx=100,Dy=0.001](0,0)(-100,-0.0009)(900,0.009)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-100}{500}{x 200 100 GAUSS}
\psplot[plotpoints=3000,linestyle=dashed]{-100}{900}{x 600 50 GAUSS}
\psline(800,0.006)(900,0.006)\psline[linestyle=dashed](800,0.004)(900,0.004)
\rput(950,0.006){$X_T$}\rput(950,0.004){$X_I$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $m_T$ et $m_I$.
\item Donner une valeur arrondie au centième de $p\left(X_T \leqslant  \np{1600}\right)$.
\item En déduire une estimation du nombre de techniciens dont le salaire mensuel est
inférieur ou égal à \np{1600}~\euro{} par mois.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\medskip

Une restructuration de l'entreprise a permis de promouvoir $250$~techniciens au statut
d'ingénieur. Les deux tableaux suivants rendent compte de cette évolution.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{1.5mm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3}\cline{5-7}
Avant restructuration& Techniciens &Ingénieurs&&Après restructuration&Techniciens &Ingénieurs\\ \cline{1-3}\cline{5-7} 
Effectif &\np{1200}& 800&&Effectif& 950& \np{1050}\\ \cline{1-3}\cline{5-7}
\multicolumn{1}{|m{2cm}|}{Salaire mensuel moyen}&\np{1800} &\np{2200}&&\multicolumn{1}{|m{2cm}|}{Salaire mensuel moyen}&\np{1764} &\np{2156}\\ \cline{1-3}\cline{5-7}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution, exprimé en pourcentage, du salaire mensuel moyen
des techniciens.\index{taux}
		\item Calculer le taux d'évolution, exprimé en pourcentage, du salaire mensuel moyen
des ingénieurs.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la masse salariale (c'est-à-dire le montant total des salaires de tous les
employés) avant et après la restructuration.
		\item Comment expliquer que la masse salariale a augmenté alors que le salaire
mensuel moyen de chaque catégorie a diminué ?\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}