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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par l'académie de Martinique
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 12 septembre 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Antilles--Guyane ~\decofourright\\12 septembre 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
 Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.\\ 
Aucune justification n'est demandée.\\ 
Chaque bonne réponse rapporte un point.\\ 
Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
Le tableau suivant donne le chiffre d'affaires annuel d'une entreprise pour les années comprises entre 2008 et 2013.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2008 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline 
Chiffre d'affaire en milliers d'euros $y_{i}$ &251 &280 &320 &359 &405 &445\\ \hline 
Indice (base 100 : 2008) &100 &112 &127 &143 &161&\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip 

\begin{enumerate}
\item Le taux global d'évolution du chiffre d'affaires de 2008 à 2013, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,1\,\%, est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 43,6\,\%& 
\textbf{b.~~} 77,3\,\%& 
\textbf{c.~~} 177,3\,\%& 
\textbf{d.~~} 44,4\,\%
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item Le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires entre 2008 et 2013, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,1\,\%, est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 9,7\,\%& 
\textbf{b.~~} 12,1\,\%& 
\textbf{c.~~} 12,2\,\%& 
\textbf{d.~~} 15,5\,\%
\end{tabularx}
\medskip  
\item L'indice correspondant à l'année 2013, arrondi à l'unité, est égal à :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 144& 
\textbf{b.~~} 179 &
\textbf{c.~~}  176 &
\textbf{d.~~} 177
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, dans laquelle les coefficients ont été arrondis au dixième est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} $y = 39,5x + 204,9$& \textbf{b.~~} $y = - 21x + 208$\\ 
\textbf{c.~~} $y = 40,2x + 58$	& \textbf{d.~~} $y = 39,5x - \np{79157,6}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item On prévoit une augmentation de 12\,\% par an du chiffre d'affaires à partir de l'année 2013.
 
Le chiffre d'affaires de l'entreprise en 2016, arrondi au millier d'euros, sera alors de: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 481& 
\textbf{b.~~} 605& 
\textbf{c.~~} 700& 
\textbf{d.~~} 625
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip 

\emph{Les parties A, B et C sont dans une large mesure indépendantes}

\medskip
 
Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants $f_{1},\: f_{2}$, et $f_{3}$.

Certains de ces pantalons présentent un défaut.
 
Pour tout évènement $E$ on note $\overline{E}$ son évènement contraire et $p(E)$ sa probabilité.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
60\,\% du stock provient du fabricant $f_{1}$,  30\,\% du stock provient du fabricant $f_{2}$, et le reste du stock provient du fabricant $f_{3}$.
 
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{description}
\item[ ] 6\,\% des pantalons produits par le fabricant $f_{1}$ sont défectueux 
\item[ ] 4\,\% des pantalons produits par le fabricant $f_{2}$ sont défectueux 
\item[ ] 2\,\% des pantalons produits par le fabricant $f_{3}$ sont défectueux.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{description}
\item[ ] $F_{1}$ : \og le pantalon a été fabriqué par $f_{1}$ \fg{} ; 
\item[ ] $F_{2}$ : \og le pantalon a été fabriqué par $f_{2}$ \fg{} ; 
\item[ ] $F_{3}$ : \og le pantalon a été fabriqué par $f_{3}$ \fg{} ;
\item[ ] $D$  : \og le pantalon est défectueux \fg. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

\parbox{0.56\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $F_{3}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-contre. 
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $D$ 
est égale à $0,05$. 
		\item En déduire la probabilité de l'évènement : \og le 
pantalon est sans défaut \fg. 
	\end{enumerate} 
\item 
On prélève un pantalon parmi ceux qui présentent un défaut. 

Quelle est la probabilité qu'il ait été fabriqué par le fabricant $f_{1}$ ?  
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.36\linewidth}{\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F_{1}$}\taput{0,6}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{0,06}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$F_{2}$}\tbput{0,3}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{0,04}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}
	  }
	\pstree{\TR{$F_{3}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{0,02}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}
	  }	
}
\end{center}
}
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

Dans toute cette partie, on admet que le pourcentage de pantalons du stock présentant un défaut est égal à 5\,\%.
 
On choisit au hasard un lot de 3 pantalons dans le stock. On suppose que le stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à 3 tirages indépendants avec remise.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui dénombre les pantalons présentant un défaut dans le lot de 3 pantalons prélevés. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par X? 

Préciser ses paramètres. 
\item Quelle est la probabilité, arrondie au millième, que le lot prélevé comporte exactement un pantalon défectueux ? On pourra s'aider d'un arbre de probabilités faisant intervenir les 
évènements $D$ et $\overline{D}$. 
\item Quelle est la probabilité, arrondie au millième, que le lot prélevé comporte au moins un pantalon défectueux ? 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie C : étude de la production d'un fabricant}

\medskip
 
On s'intéresse dans cette partie à la production du fabricant $f_{2}$.
 
On s'intéresse uniquement au défaut de longueur et on considère qu'il y a un défaut sur un pantalon lorsque sa longueur est inférieure à 79~cm ou supérieure à 81~cm.
 
La longueur d'un pantalon, en centimètres, est modélisée par une variable aléatoire $L$. On admet que $L$ suit une loi normale de moyenne $80$ et d'écart type $0,5$.
 
On donne de plus : $p(L \leqslant 81) = 0,977$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $p(79 \leqslant L \leqslant 81)$. 
\item Ce résultat confirme-t-il les données de la partie A ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 8 points}

\medskip 

\emph{Les parties A, B et C sont dans une large mesure indépendantes}

\medskip
 
On s'intéresse à la production d'acier par un fabricant donné. La production journalière varie entre 0 et 18 tonnes d'acier.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : lecture graphique}

\medskip
 
La fonction $C$ représentée graphiquement ci-dessous donne le coût total de production en euros en fonction du nombre de tonnes d'acier produites par jour.

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.003cm}
\begin{pspicture}(-1,-100)(18,2600)
\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,2500)}
\multido{\n=0+100}{26}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=500](0,0)(18,2500)
\uput[u](0,2500){Coût en \euro}
\uput[u](12,0){Nombre de tonnes d'acier produites par jour}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{x 3 exp x dup mul 24 mul sub 217 x mul add 200 add}
\end{pspicture}
\end{center} 

À l'aide de cette courbe, répondre aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le coût total de production pour 12 tonnes d'acier produites par jour ? 
\item Combien de tonnes d'acier sont produites par jour pour un coût total de production de 1600~\euro{} ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude du bénéfice}

\medskip

La fonction coût de la partie précédente est la fonction définie sur l'intervalle [0~;~18] par :
 
\[C(x) = x^3 - 24x^2 + 217x + 200.\]
 
On suppose que, chaque jour, tout l'acier est vendu, au prix de 100~\euro{} la tonne.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la recette, en euros, réalisée pour la vente de 12 tonnes d'acier. 
		\item On appelle $R(x)$ la recette, en euros, réalisée pour la vente de $x$ tonnes d'acier.
		 
Déterminer l'expression de $R(x)$ en fonction de $x$. 
		\item On appelle $B(x)$ le bénéfice (éventuellement négatif), en euros, réalisé pour la vente de $x$ tonnes d'acier. Justifier que $B(x) = - x^3 + 24x^2 - 117x - 200$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une expression $B'(x)$ de la fonction dérivée de $B$ sur l'intervalle [0~;~18]. 
		\item Justifier le tableau de signes de $B'(x)$ suivant :
		
\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(8,1.6)
\psframe(8,1.6)
\psline(0,0.8)(8,0.8)
\psline(2,0)(2,1.6)
\uput[u](1,1){$x$} \uput[u](2.1,1){0} \uput[u](4,1){3} \uput[u](6,1){13}
\uput[u](7.8,1){18}
\uput[u](1,0.2){Signe de $B'(x)$} \uput[u](3,0.2){$-$} \uput[u](4,0.2){0} 
\uput[u](5,0.2){$+$} \uput[u](6,0.2){$0$} \uput[u](7,0.2){$-$}    
\end{pspicture}		
\end{center} 
		\item En déduire le tableau de variations complet de la fonction $B$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\parbox{0.47\linewidth}{
\begin{enumerate}[start=3] 
\item On a préparé une feuille de calcul où figure le bénéfice total (en euros), en fonction de la quantité d'acier produite par jour. 
	\begin{enumerate}
		\item Proposer une formule à saisir dans la cellule B2 permettant, par recopie vers le bas, de compléter les cellules de B3 à B20. 
		\item Proposer de même une formule à saisir dans la cellule D2, permettant, par recopie vers le bas, de compléter les cellules de D3 à D20.
	\end{enumerate} 
\item Utiliser les résultats figurant dans la feuille de calcul pour répondre aux questions suivantes: 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les productions, en nombres entiers de tonnes, permettant au fabricant de faire du profit? 
		\item Quelle est la quantité, en nombre entier de tonnes, qui assure un bénéfice total maximal ?
	\end{enumerate} 
\item Répondre par \og Vrai\fg{} ou par \og Faux\fg{} aux affirmations suivantes, en justifiant votre choix : 
	\begin{enumerate}
		\item Plus la production d'acier est grande, plus le bénéfice est grand. 
		\item Si la production est doublée, le bénéfice total est également doublé.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\rowcolor[gray]{0.7}&  A &B &C &D\\ \hline 
1&\footnotesize Tonnes d'acier par jour&\footnotesize Recette&\footnotesize Coût&\footnotesize Bénéfice total en \euro\\ \hline 
2 &0 &0 &200 &$- 200$\\ \hline 
3 &1 &100 &394 &$- 294$\\ \hline 
4 &2 &200 &546 &$- 346$\\ \hline 
5 &3 &300 &662 &$- 362$\\ \hline 
6 &4 &400 &748 &$- 348$\\ \hline 
7 &5 &500 &810 &$- 310$\\ \hline 
8 &6 &600 &854 &$- 254$ \\ \hline
9 &7 &700 &886 &$- 186$\\ \hline 
10 &8 &800 &912 &$- 112$\\ \hline 
11 &9 &900 &938 &$- 38$\\ \hline 
12 &10 &\np{1000} &970 &30\\ \hline 
13 &11 &\np{1100} &\np{1014} &86\\ \hline 
14 &12 &\np{1200} &\np{1076} &124\\ \hline 
15 &13 &\np{1300} &\np{1162} &138\\ \hline 
16 &14 &\np{1400} &\np{1278} &122\\ \hline 
17 &15 &\np{1500} &\np{1430} &70\\ \hline 
18 &16 &\np{1600} &\np{1624} &$- 24$\\ \hline 
19 &17 &\np{1700} &\np{1866} &$- 166$\\ \hline 
20 &18 &\np{1800} &\np{2162} &$- 362$\\ \hline
\end{tabularx}} 
\end{document}