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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
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\thispagestyle{empty}
\lhead{\small STMG }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2015}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{.}}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~STMG Antilles-Guyane septembre  2015 \decofourright}}

\medskip \textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Dans un supermarché ouvert de 9 h à 20 h, on a relevé le nombre de clients présents en caisse à différentes heures de la journée. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Heure   &10   &11   &12   &13   &14   &15   &16   &17   &18   &19   &20\\ \hline   
Nombre de clients&  68   &32   &22   &55   &52   &79   &108   &131   &144   &138   &110\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
   
Le nuage de points associé à ces relevés est donné en annexe. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi il n'est pas pertinent d'envisager un ajustement affine de ce nuage de points.\index{ajustement affine} 

Dans toute la suite de l'exercice, on modélise le nombre de clients présents en caisse à l'instant $t$ exprimé en heures par la fonction $N$ définie sur [10~;~20] par : 

\[N(t) = - t^3 + 45,375t^2 - 657t + \np{3100}.\]
 
\item Estimer, selon ce modèle, le nombre de clients attendus en caisse à 15 h 30. 
\item Déterminer l'expression algébrique de $N'(t)$, où $N’$ désigne la fonction dérivée de $N$ sur l'intervalle [10~;~20]. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur [10~;~20] l'équation $N’(t) = 0$. 
		\item En déduire le signe de $N’$ sur l'intervalle [10~;~20]]. 
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $N$ sur [10~;~20]. 
	\end{enumerate}
\item  Le gérant affirme que le nombre de clients est maximal entre 18 h et 18~h~30. 

Est-ce confirmé par le modèle ? 
\item Une valeur du tableau peut être considérée comme aberrante par rapport au modèle choisi. Laquelle ? Justifier votre choix. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

La population mondiale était d'environ \np{5321} millions en 1990. 

L'évolution de cette population tous les cinq ans depuis 1990 est donnée par le tableau ci-dessous : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année									&1990  &1995   &2000   &2005   &2010\\ \hline   
Rang de l'année $x_i$					&0   &1   &2   &3   &4 \\ \hline   
Taux d'évolution   (arrondi à 0,01\,\%)	&	& + 7,91\,\% &+ 6,72\,\% &+ 6,30\,\% &+ 6,17\,\% \\ \hline   
Effectif $y_i$ (arrondi au million)		&\np{5321}  &\np{5742}   &\np{6128}&     &\np{6916}\\ \hline    
\multicolumn{6}{r}{Source : INSEE}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Exemple de lecture : la population mondiale a augmenté de 7,91\,\% entre 1990 et 1995. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculer l'effectif de la population mondiale en 2005, arrondi au million. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le taux d'évolution de la population mondiale entre 1990 et 2010 ? On donnera le résultat en pourcentage arrondi à 0,01\,\%.\index{taux} 
		\item Calculer le taux d'évolution annuel moyen de l'année 1990 à l'année 2010, arrondi à 0,01\,\%. 
		\item On suppose que la population augmente chaque année de 1,3\,\% à partir de 2010. 

Estimer la population mondiale attendue en 2020, arrondie au million.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip  

\begin{enumerate}
\item Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement $D$ de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au dixième.\index{ajustement affine} 
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite D d'équation $y = 396x + \np{5332}$. 

Selon ce modèle, estimer l'effectif de la population mondiale en 2020. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Un employeur donne le choix à un salarié à temps partiel entre deux modes de rémunération: 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item proposition A : salaire mensuel brut de \np{1200}~\euro{} au premier janvier 2015 puis, chaque année au premier janvier, augmentation de 15~\euro{} du salaire mensuel brut ; 
\item proposition B : salaire mensuel brut de \np{1000}~\euro{} au premier janvier 2015, puis, chaque année au premier janvier, augmentation de 4\,\% du salaire mensuel brut. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On se propose d'étudier quelle est la proposition la plus intéressante pour ce salarié. 

On note, pour tout $n \in \N$ : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}\index{suite}
\item $u_n$ le salaire mensuel brut au premier janvier de l'année $(2015 + n)$ pour la première proposition ; 
\item $v_n$ le salaire mensuel brut au premier janvier de l'année $(2015 + n)$pour la deuxième proposition. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1,\:u_2,\: v_1$ et $v_2$. 
\item Donner la nature et la raison de chacune des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.\index{suite arithmétique} \index{suite géométrique} 
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n,\: u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$. 
\item Calculer, pour chacune des deux propositions, le salaire mensuel brut en 2023. 

Les résultats seront arrondis à l'euro. 
\item Une feuille de calcul a été élaborée dans le but de calculer le salaire mensuel brut, au premier janvier de chaque année, pour chacune des deux propositions de rémunération. 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash\small}X|}}\hline
    &A   &B   &C   &D   &E   &F   &G   &H   &I    &J&K   &L   &M   &N\\ \hline   
1&Année&2015 &2016&2017&2018&2019&2020&2021&2022&2023&2024&2025&2026&2027\\ \hline  
2&$u_n$&   \np{1200}&   \np{1215}&&&&&&&&&&&\\ \hline                         
3&$v_n$&   \np{1000}&   \np{1040}&&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
                        
	\begin{enumerate}
		\item Préciser une formule qui, entrée en cellule C2, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir le contenu de la plage C2 : N2. 
		\item Préciser une formule qui, entrée en cellule C3, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir le contenu de la plage C3 : N3. 
	\end{enumerate}
\item À partir de quelle année le salaire mensuel brut obtenu avec la proposition B dépasse-t-il celui de la proposition A ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip 

Un distributeur de tomates est approvisionné par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70\,\% de l'approvisionnement de ce distributeur, le reste provenant, à parts égales, des deux autres producteurs. 

\medskip

Avant d'être conditionnées, les tomates sont calibrées par une machine qui les trie selon leur diamètre. Les tomates dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont conservées, les autres, dites \og hors calibre \fg, sont rejetées. 

Il a été constaté que 5\,\% des tomates fournies par le premier producteur sont hors calibre, 20\,\% des tomates fournies par le second producteur sont hors calibre et 4\,\% des tomates fournies par le troisième producteur sont hors calibre. 

Chaque jour les tomates livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l'étude qui suit, on convient qu'elles sont bien mélangées. 

Un contrôle de qualité sur les tomates est effectué de la manière suivante: un contrôleur choisit au hasard une tomate dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de \og bon calibre\fg ou \og hors calibre \fg.\index{probabilités} 

On note $A_1,\: A_2,\: A_3$ et $C$ les évènements: 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $A_1$ : \og la tomate prélevée provient du premier producteur\fg{} ; 
\item $A_2$ : \og la tomate prélevée provient du deuxième producteur \fg{} ; 
\item $A_3$ : \og la tomate prélevée provient du troisième producteur\fg{} ; 
\item $C$ : \og la tomate prélevée est de bon calibre \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
(Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ son évènement contraire et $p(E)$ sa probabilité. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données de l'énoncé, compléter l'arbre donné en annexe.\index{arbre} 
\item Justifier que $p\left(A_2\right) = 0,15$. 
\item Déterminer la probabilité que la tomate prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur. 
\item Montrer que la probabilité que la tomate prélevée ait le bon calibre est égale à 0,929. 
\item La tomate prélevée est hors calibre. Le contrôleur affirme : \og Cette tomate provient très probablement du deuxième producteur \fg. A-t-il raison ? Justifier. 
\item Le contrôleur prélève au hasard un lot de sept tomates. Le nombre de tomates est suffisamment grand pour assimiler ces prélèvements à des tirages indépendants avec remise. 

À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité, à $0,001$ près, qu'il y ait exactement cinq tomates de bon calibre dans le lot. 
\item Le diamètre en cm d'une tomate de bon calibre est modélisé par la loi normale d'espérance $\mu = 6$ et d'écart type $\sigma = 0,5$.\index{loi normale} 

On choisit une tomate de bon calibre au hasard. À l'aide de la calculatrice, déterminer à 0,01 près : 
	\begin{enumerate}
		\item la probabilité que la tomate ait un diamètre compris entre 5~cm et 7~cm ; 
		\item la probabilité que la tomate ait un diamètre inférieur ou égal à 5,5~cm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie Annexe (Exercice 1) }

\medskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(11,150)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline(\n,0)(\n,150)}
\multido{\n=0+10}{16}{\psline(0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=10,Dy=10](0,0)(10,150)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,68)(1,32)(2,22)(3,55)(4,52)(5,79)(6,108)(7,131)(8,144)(9,138)(10,110)
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Annexe (Exercice 4)}

\bigskip
           
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A_1$~}\taput{0,7}}
	{\TR{$C$}
	\TR{$\overline{C}$}
	}
\pstree{\TR{$A_2$~}}
	{\TR{$C$}
	\TR{$\overline{C}$}
	}
	\pstree{\TR{$A_3$~}}
	{\TR{$C$}
	\TR{$\overline{C}$}
	}
}  
\end{center}
\end{document}