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%Tapuscrit : Denis Vergès
%sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon 
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STMG }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{19 novembre 2015}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréatt STMG  Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la consommation de soins et de biens médicaux (CSBM) en
France, en milliards d'euros :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&2000 	&2004 	&2005 	&2009 	&2011\\ \hline
CSBM en milliards d'euros 	&114,6 	&		&		&171,1	& 180\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{Source : Drees, Comptes de la santé}}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sachant que l'augmentation entre 2000 et 2005 a été de 29,2\,\%, calculer la CSBM en France en 2005.

\emph{On arrondira le résultat au dixième.}
\item Déterminer le taux d'évolution global de la CSBM en France entre 2000 et 2011.\index{taux}

\emph{On donnera le résultat sous forme de pourcentage arrondi au dixième.}
\item Démontrer alors que le taux annuel moyen d'augmentation de la CSBM en France entre
2000 et 2011, arrondi au dixième, est égal à 4,2\,\%.
\item Dans cette question, on admet que le taux annuel d'augmentation de la CSBM en
France entre 2000 et 2011 reste constamment égal à 4,2\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la CSBM en France en 2004. On arrondira le résultat au dixième.
		\item L'affirmation \og si l'évolution se poursuit ainsi, la CSBM en France dépassera 200 milliards d'euros en 2015 \fg{} est-elle vraie ?
	\end{enumerate}
\item Entre 2006 et 2011, une étude plus détaillée donne l'évolution de la CSBM en France.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
Année 	&2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline
Rang de l'année : $\left(x_i\right)$& 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
Consommation (CSBM) en milliards d'euros : $\left(y_i\right)$&153,7 &160,4 &165,7 &171,1 &175,4 &180\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item À l' aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine du nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ obtenu par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.\index{ajustement affine}
		\item On admet que la droite d'équation $y = 5,2x + 149,5$ réalise un bon ajustement du nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$. 
		
En utilisant cet ajustement affine, indiquer si la CSBM à laquelle on peut s'attendre, en France, en 2015 dépassera 200 milliards d'euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Jean envisage de mettre de l'argent de côté en vue d'un achat. Il imagine deux plans
d'épargne sur 12 mois.

\smallskip
 
\textbf{Plan 1 :} le premier versement mensuel est de 400~\euro{} et, chaque mois, les versements mensuels diminuent de 30~\euro{} par rapport au mois précédent.

\smallskip

\textbf{Plan 2 :} le premier versement mensuel est de 400~\euro{} et, chaque mois, les versements mensuels diminuent de 10\,\% par rapport au mois précédent.
\newpage
\begin{center}
\textbf{Partie 1 : utilisation d'un tableur}
\end{center}

Jean utilise un tableur pour comparer les deux plans et on donne, dans \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}, un extrait de la feuille de calcul qu'il a créée.

La colonne C est au format nombre décimal à deux décimales.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle formule, à recopier dans la plage C4\negthinspace:C13, Jean a-t-il saisie dans la cellule C3 ?
\item Quelle valeur pourra-t-on lire dans la cellule C4 ?
\item Quelle formule Jean peut-il saisir dans la cellule B14 pour obtenir le montant total des 12 versements mensuels du \textbf{plan 1}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie 2 : comparaison de deux suites}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On note $u_n$ le montant du $n$-ième versement mensuel du \textbf{plan 1}. 

Ainsi on a : $u_1 = 400$  et $u_2 = 370$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Déterminer sa raison.\index{suite arithmétique}
		\item Calculer $u_{12}$.
		\item Compléter la colonne B du tableau de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie.}
	\end{enumerate}
\item On note $v_n$ le montant du $n$- ième versement mensuel du \textbf{plan 2}. Ainsi on $v_1 = 400$ et $v_2 = 360$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle  est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ? Déterminer sa raison.\index{suite géométrique}
		\item Calculer $v_{12}$. On arrondira le résultat au centime d'euro.
		\item À l'aide de la calculatrice, compléter la colonne C du tableau de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}. \emph{On arrondira les résultat au centime d'euro}.
	\end{enumerate}
\item Quel est le plan qui assure à Jean  la somme épargnée la plus élevée ?

Expliquer la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chacune des quatre questions, de Q1 à Q4, trois réponses sont proposées, une seule
réponse est correcte.\\
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier
sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \\
Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'arbre de probabilités suivant :\index{arbre}

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,15}}
	{\TR{$B$}\taput{0,2}
	\TR{$\overline{B}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{0,85}}
	{\TR{$B$}\taput{0,6}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,4}
	}
}
\end{center}

\textbf{Q1} : $P_A\left(\overline{B}\right)$ a pour valeur :\index{probabilités}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}}
0,85 &0,4&0,8\\
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Q2} : $p(B)$ a pour valeur :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}}
0,54 &0,8&0,12\\
\end{tabularx}
\medskip

\item $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 59$ et d'écart type $\sigma = 0,2$.\index{loi normale}

\textbf{Q3} : $p(X < 59)$ vaut :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}}
0,5 &0,35&0,16\\
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Q4} : Un intervalle de fluctuation au seuil approximatif de 95\,\% de la variable $X$ est l'intervalle :\index{intervalle de fluctuation}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}}
[58,8~;~59,2] &[58,6~;~59,4]&[58,4~;~59,6]\\
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des croquettes pour chiens. Chaque jour, elle en fabrique entre $0$ et $80$ tonnes. Le coût de fabrication, en euros, de $x$ tonnes est modélisé par la fonction $f$ dont la représentation graphique est donnée en annexe à rendre avec la copie.

\bigskip

\textbf{Partie A : lecture graphique}\index{lecture graphique}

\medskip

À l'aide du graphique de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}, répondre aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique. \emph{On laissera apparents les traits de construction.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien coûte la production de $50$ tonnes de croquettes ?
\item Quelle quantité de croquettes peut-on produire pour un coût de fabrication de \np{100000}~\euro{} ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la recette}

\medskip

Une tonne de croquettes est vendue \np{1900}~\euro. La recette, pour $x$ tonnes vendues, est donc donnée par la fonction $R$ définie sur l'intervalle [0~;~80] par $R(x) = \np{1900}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer sur le graphique donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}, la représentation graphique de la fonction $R$.
\item L'entreprise réalise-t-elle un bénéfice en vendant $10$~tonnes de croquettes ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : étude du bénéfice}

\medskip

On admet que le bénéfice réalisé par la vente de $x$ tonnes de croquettes est donné par la fonction $B$ définie sur l'intervalle [0~;~80] par 

\[B(x) = - x^3 + 105x^2 - \np{1800}x - \np{4000}.\]\index{fonction polynôme}

\begin{enumerate}
\item Calculer $B'(x)$ où $B'$ désigne la dérivée de la fonction $B$.
\item Justifier que le signe de $B'(x)$ est donné par le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(12,2)
\psframe(12,2)\psline(0,1.5)(12,1.5)
\psline(3,0)(3,2)
\rput(1.5,1.7){$x$}  \rput(3.15,1.7){$0$}  \rput(6,1.7){$10$}  \rput(9,1.7){$60$}  \rput(11.8,1.7){$80$}
\rput(1.5,0.75){Signe de $B'(x)$} 
\rput(4.5,0.75){ $-$} \rput(6,0.75){$0$} \rput(7.5,0.75){$+$} \rput(9,0.75){$0$} \rput(10.5,0.75){$-$}   
\end{pspicture}
\end{center}

\item En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~80].
\item Quelle doit être la quantité de croquettes que l'entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Que vaut ce bénéfice ?
\item On rappelle que le coût de fabrication de $x$ tonnes de croquettes est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~80] par $f(x) = R(x) - B(x)$.

On envisage d'augmenter le prix d'une tonne de croquettes défini dans la partie B afin
d'obtenir un bénéfice supérieur ou égal à \np{90000}~\euro.

Proposer une démarche permettant de trouver un prix d'une tonne de croquettes aboutissant à ce résultat.
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A	&B							&C\\ \hline
1	&							&Plan 1	&Plan 2\\ \hline
2	&1\up{er} versement mensuel	&400	&400,00\\ \hline
3	&2\up{e} versement mensuel	&370	&360,00\\ \hline
4	&3\up{e} versement mensuel	&		&\\ \hline
5	&4\up{e} versement mensuel	&		&\\ \hline
6	&5\up{e} versement mensuel	&		&\\ \hline
7	&6\up{e} versement mensuel	&		&\\ \hline
8	&7\up{e} versement mensuel	&		&\\ \hline
9	&8\up{e} versement mensuel	&		&\\ \hline
10	&9\up{e} versement mensuel	&		&\\ \hline
11	&10\up{e} versement mensuel	&		&\\ \hline
12	&11\up{e} versement mensuel	&		&\\ \hline
13	&12\up{e} versement mensuel	&		&\\ \hline
14	&TOTAL						&		&\np{2870,28}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\vspace{1cm}
\psset{xunit=0.18cm,yunit=0.00006cm}
\begin{pspicture}(-1,-1000)(81,160000)
\multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,160000)}
\multido{\n=0+10000}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(80,\n) \uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=200000]{->}(0,0)(0,0)(81,160000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=200000](0,0)(81,160000)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{80}{x 3 exp x dup mul 105 mul sub 3700 x mul add 4000 add}
\uput[u](78,0){tonnes}\uput[r](0,163000){euros}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}