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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%Sujet aimablement fourni par Olivier Péault du lycée français de Barcelone, merci à lui
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies du management et de la gestion}  
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{8 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Centres étrangers 8 juin 2016~\decofourright\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions ci-dessous,
une seule des réponses est exacte. Pour chaque question, indiquer le numéro de
la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une absence de
réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\smallskip

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on considère la fonction $f$ définie sur $[-6~;~4]$ dont la courbe représentative
$\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-5)(4,7)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-6,-5)(4,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-6,-5)(4,7)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{4}{x 3 exp 4 mul x dup mul 6 mul add 72 x mul  sub 37 div 1 add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{1 x 2 mul sub}
\uput[l](3.8,2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psdots(-1,3)(-2,5)
\uput[dl](-1,3){A}\uput[ur](-2,5){B}
\end{pspicture}
\end{center}

La droite T est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A$(-1~;~3)$. Elle passe par le point B$(-2~;~5)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre dérivé de $f$ en $- 1$ est égal à

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{2}$&
\textbf{b.~~} $- 2$&
\textbf{c.~~} $1$
\end{tabularx}
\medskip

\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) \leqslant 0$ est

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $[- 6~;~-3] \cup [2~;~4]$&
\textbf{b.~~} $[- 3~;~2]$&
\textbf{c.~~} $[- 6~;~- 5,2] \cup [0,5~;~3,2]$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Dans cette partie, on considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-2~;~5]$ par

\[g(x) = - 2x^3 + 3x^2 + 12x\]

et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x \in  [-2~;~5]$,

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $g'(x) = - 3x^2 + 2x + 12$&
\textbf{b.~~} $g'(x) = - 6x^2 + 6x + 12$&
\textbf{c.~~} $g'(x) = - 2x^2 + 3x + 12$
\end{tabularx}
\medskip

\item Le maximum de la fonction $g$ sur $[-2~;~5]$ est égal à

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 20&
\textbf{b.~~} 4&
\textbf{c.~~} $- 115$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}   

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au millième.}

\medskip

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A,\: p(A)$ la probabilité de $A$.

\medskip

En 2013, le parc automobile français s'élevait à $38,204$ millions de véhicules, parmi lesquels
on comptait $31,622$ millions de voitures particulières, les autres véhicules étant des utilitaires
légers ou des véhicules lourds (Source INSEE).

D'autre part, on sait que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 62\,\% des voitures particulières sont des véhicules diesel  ;
\item parmi les autres véhicules, 6\,\% sont des véhicules essence.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On choisit au hasard un véhicule dans le parc automobile français.

On considère les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ]$V$ : \og Le véhicule choisi est une voiture particulière. \fg
\item[ ]$D$ : \og Le véhicule est un véhicule diesel. \fg
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la probabilité $p(V)$, arrondie au millième, est égale à $0,828$.
\item Compléter l'arbre de probabilité donné en annexe 1.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le véhicule choisi soit une voiture particulière roulant au
diesel.
		\item Montrer que $p(D) = 0,675$.
		\item On suppose que le véhicule choisi roule au diesel.
		
Quelle est la probabilité que ce ne soit pas une voiture particulière ?
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard 10 véhicules dans un échantillon du parc automobile français
suffisamment important pour assimiler ce choix à dix tirages successifs avec remise.
	
Calculer la probabilité pour qu'exactement trois d'entre eux ne roulent pas au diesel.
\item Un constructeur automobile équipe ses véhicules diesel d'un nouveau moteur. La
durée de vie de ce moteur, exprimée en nombre de kilomètres parcourus, est
modélisée par une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $\mu = \np{200000}$
et d'écart-type $\sigma = \np{30000}$.
 
Calculer la probabilité que la durée de vie de ce moteur soit supérieure à \np{260000}~km.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}   

\medskip

\emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au centime d'euro.}

\medskip

Justine et Benjamin sont embauchés en 2014 dans la même entreprise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le salaire mensuel de Justine est de \np{1600}~\euro{} en 2014.

Son contrat d'embauche stipule que son salaire mensuel augmente chaque année de
1\,\% jusqu'en 2024.

On note $u_0$ le salaire mensuel (en euro) de Justine en 2014 $\left(u_0 = \np{1600}\right)$ et, pour tout
entier $n \leqslant 10$, on note $u_n$ son salaire mensuel (en euro) pour l'année $2014 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item Pour tout entier $n$ compris entre 0 et 9, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		\item Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier $n$ compris entre 0
et 10.
		\item À partir de quelle année le salaire mensuel de Justine dépassera-t-il \np{1700}~\euro{} ?
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Le salaire mensuel hors prime de Benjamin est de \np{1450}~\euro{} en 2014. Son contrat
d'embauche prévoit que, jusqu'en 2024, son salaire mensuel hors prime augmente
chaque année de 2\,\% et qu'il bénéficie en plus d'une prime mensuelle de 50~\euro.
	
On note $v_0$ le salaire mensuel (en euro) de Benjamin en 2014 $\left(v_0 = \np{1500}\right)$ et, pour
tout entier $n \leqslant 10$, on note $v_n$ son salaire mensuel (en euro) pour l'année $2014 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $v_1 = \np{1529}$ et calculer $v_2$.
		\item Parmi les algorithmes suivants, un seul permet de calculer le terme d'indice $n$ de
la suite $\left(v_n\right)$.
		
Déterminer lequel, en expliquant la réponse.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline		
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 1}} & \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 2}}&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 3}}\\ \hline
\textbf{Variables}				&\textbf{Variables}				&\textbf{Variables}\\
$k$ et $n$ sont des entiers		& $k$ et $n$ sont des entiers	& $k$ et $n$ sont des entiers\\
$v$ est un nombre réel 			&$v$ est un nombre réel			& $v$ est un nombre réel\\
\textbf{Entrée}					& \textbf{Entrée}				& \textbf{Entrée}\\
Valeur de $n,\: n \leqslant 10$	&Valeur de $n,\: n \leqslant 10$&Valeur de $n,\: n \leqslant 10$\\
\textbf{Traitement}				& \textbf{Traitement}			& \textbf{Traitement}\\
$v$ prend la valeur \np{1450}	&$v$ prend la valeur \np{1450}	& Pour $k$ allant de $1$ à $n$\\
Pour $k$ allant de $1$ à $n$	&Pour $k$ allant de $1$ à $n$	& $v$ prend la valeur \np{1450}\\
$v$ prend la valeur $v \times 1,02$&$v$ prend la valeur $v \times 1,02$&$v$ prend la valeur $v~\times~1,02 + 50$\\
$v$ prend la valeur $v + 50$	& FinPour						& FinPour\\
FinPour							& $v$ prend la valeur $v + 50$	& \textbf{Sortie}\\
\textbf{Sortie}					& \textbf{Sortie}				& Afficher $v$\\
Afficher $v$					& Afficher $v$					&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item À partir de quelle année le salaire mensuel de Benjamin dépassera-t-il \np{1700}~\euro{} ?
		\item Le salaire mensuel de Benjamin peut-il dépasser celui de Justine avant 2024 ?
		
Si oui, en quelle année?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}   

\medskip

On donne ci-dessous un extrait de feuille de calcul donnant le nombre d'accidents corporels
liés à la Sécurité routière en France métropolitaine, de 2005 à 2013.

La ligne 4 doit indiquer les taux d'évolution successifs entre deux années consécutives. Elle
est au format pourcentage à deux décimales.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\footnotesize}m{2.4cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F &G &H&I&J\\ \hline
1&Année&2005&2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013\\ \hline
2&Rang de l'année $x_i$&0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
3&Nombre d'accidents corporels $y_i$&\np{84525} &\np{80309} &\np{81272} &\np{74487} &\np{72315} &\np{67288} &\np{65024} &\np{60437} &\np{56812}\\ \hline
4&Taux d'évolution&&&&&&&&&\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\footnotesize \emph{Source: Observatoire National Interministériel de Sécurité Routière (ONISR)}}
\end{tabularx}
\end{center}

Les parties A et B sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le taux d'évolution (arrondi à 0,01\,\%) du nombre d'accidents corporels
entre 2005 et 2006.
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C4 pour obtenir, par recopie vers la
droite, les taux d'évolution successifs entre deux années consécutives?
\item Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'accidents corporels entre
2005 et 2013, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le repère donné en annexe 2.
\item Calculer le nombre moyen annuel d'accidents corporels entre 2005 et 2013.

\emph{On se propose d'étudier deux modèles d'évolution différents du nombre annuel
d'accidents corporels.}

\item  Premier modèle
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$
obtenue par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au
dixième.
		\item Pour simplifier les calculs, on prend comme équation de cette droite :

		\[y = - \np{3503}x + \np{85396}.\]
		
Tracer cette droite dans le repère donné en annexe 2.
		\item Suivant ce modèle, quel serait le nombre d'accidents corporels en 2020 en
France métropolitaine ?
 	\end{enumerate}
\item  Deuxième modèle
	
On admet qu'un autre ajustement du nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ sur l'intervalle [0~;~8] est
réalisé par la courbe représentative de la fonction définie par
	
\[f(x) = - 91x^2 - \np{2774}x + \np{84546}.\]
	
On s'interroge sur la pertinence de prolonger cet ajustement au-delà de 2013.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur ce modèle donne-t-il pour le nombre d'accidents corporels en 2013
en France métropolitaine ?
		\item Suivant ce modèle, le nombre d'accidents corporels en France métropolitaine
pourrait-il être nul ?
		
Si oui, en quelle année ?
		\item Commenter les résultats obtenus.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\large{\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 1, exercice 2}
\end{flushleft}

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V$~}\naput{0,828}}
	{\TR{$D$} \naput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V}$~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$D$} \naput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{\ldots}
	}
}
\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 2, exercice 4}
\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.002cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(16,7000)
\uput[r](0,7250){Nombre d'accidents corporels}
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,7000)}
\multido{\n=0+200}{36}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=2000,Dy=10000](0,0)(0,0)(16,7000)
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](0,6452.5)(1,6030.9)(2,6127.2)(3,5448.7)(4,5231.5)(5,4728.8)(6,4502.4)(7,4043.7)(8,3681.2)
\uput[d](14,-250){Rang de l'année}\multido{\n=0+1000,\na=20000+10000}{8}{\uput[l](0,\n){\small \na}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
