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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies du management et de la gestion}  
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{11 juin 2015}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Centres étrangers 11 juin 2015~\decofourright}}
\end{center}
    
\vspace{0,3cm}
 
La calculatrice (conforme à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de  la qualité de la rédaction   dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\\index{Q. C. M.}
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est correcte.\\
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse
choisie.\\
Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point.\\
Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un laboratoire pharmaceutique fabrique des gélules contenant une substance S. La masse
de substance S, exprimée en milligrammes (mg), contenue dans une gélule est modélisée
par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $8,2$ et d'écart type $0,05$.\index{loi normale} 

La norme de fabrication impose que la masse de substance S dans une gélule soit comprise
entre 8,1~mg et 8,3~mg. La probabilité qu'une gélule soit hors norme après la fabrication
est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,2&\textbf{b.~~} 0,05 &\textbf{c.~~}0,8 &\textbf{d.~~} 0,95
\end{tabularx}
\medskip

\item Un maire souhaite estimer la proportion d'habitants de sa commune satisfaits des décisions
qu'il a prises depuis son élection. Un récent sondage effectué sur 800~habitants montre que
560~personnes sont satisfaites. 

Un intervalle de confiance au niveau de confiance 95\,\% pour la proportion d'opinions favorables est :\index{intervalle de confiance}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} [0,66~;~0,74]&\textbf{b.~~} [0,69~;~0,71]&\textbf{c.~~} [0,60~;~0,80]&\textbf{d.~~} [0,71~;~0,79]
\end{tabularx}
\medskip

\item L'arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où $A$ et $B$ sont deux
évènements. Les évènements contraires de $A$ et de $B$ sont respectivement notés $\overline{A}$ et $\overline{B}$.

Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$ et pour tout évènement $F$ de
probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité conditionnelle de $E$ sachant $F$.\index{arbre}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,4}}
	{\TR{$B$} \taput{0,1}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$B$} \taput{0,2}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\hspace{1cm}\textbf{3. 1.}  $p(B)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,3&\textbf{b.~~} 0,0048&\textbf{c.~~}  0,12 &\textbf{d.~~}  0,16
\end{tabularx}
\medskip

\hspace{1cm}\textbf{3. 2.}   $p_B(A)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  0,25&\textbf{b.~~} 0,4&\textbf{c.~~} 0,04 &\textbf{d.~~} 0,1
\end{tabularx}
\medskip\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}   

\medskip

On a relevé le nombre d'oiseaux d'une espèce particulière, les limicoles, séjournant sur l'île de Ré.

Les résultats figurent dans le tableau fourni en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter ce tableau. On arrondira les taux d'évolution à 1\,\%.\index{taux}
		
Que remarque-t-on ?
		\item On suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit de la même façon après
2014. Un seuil d'alerte est déclenché si le nombre d'oiseaux passe en dessous de 100.
		
Selon cette hypothèse, l'alerte sera-t-elle déclenchée avant 2020 ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Au début de l'année 2014, des scientifiques mettent en place des mesures de protection
des oiseaux et d'aménagement du territoire, ce qui a pour effet de limiter la diminution des
effectifs de limicoles à 6\,\% par an. Par ailleurs, la région décide de réintroduire 20
nouveaux oiseaux de cette espèce le premier janvier de chaque année, à partir de 2015.
	\begin{enumerate}
		\item À combien peut-on estimer le nombre de limicoles au premier janvier 2015 ?
		\item On utilise un tableur pour estimer la population de limicoles séjournant sur l'île de Ré à partir de 2014. On donne ci-dessous une copie d'écran d'une partie du tableau utilisé.
Les cellules sont au format \og  nombre sans décimale \fg.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A			&B		&C		&D		&E		&F		&G		&H\\ \hline
1	&Année		&2014	&2015	&2016	&2017	&2018	&2019	&2020\\ \hline
2	&Effectif	&164	&174	&184	&193	&201	&209	&217\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
Quelle formule a-t-on pu entrer dans la cellule C2 pour obtenir, par recopie vers la
droite, les autres valeurs de la ligne 2 ?
		\item Les mesures prises par les scientifiques vous semblent-elles adaptées à la survie de cette espèce sur l'île de Ré ? Justifier la réponse.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}   

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'indice du nombre annuel d'immatriculations de
voitures neuves équipées d'un moteur diesel de 2001 à 2011, base 100 en 2001.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2001	&2002	&2003	&2004	&2005&2006&2007&2008&2009&2010&2011\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&0 		&1 		&2 		&3 		&4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline
Indice $y_i$			&100 	&106,8 	&106,8 	&109,9 	&112,7 &112,6 &120,3 &124,9 &126,0 &122,7 &122,9\\ \hline
\multicolumn{12}{r}{\footnotesize Source: d'après INSEE}
\end{tabularx}
\end{center}

Le nuage des points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de 0 à 10 est donné en annexe, à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide du tableau, le taux d'évolution du nombre d'immatriculations de voitures neuves équipées d'un moteur diesel entre 2001 et 2011 exprimé en
pourcentage.
		\item On sait que \np{1268}~milliers de voitures neuves équipées d'un moteur diesel ont été immatriculées en 2001. Calculer le nombre de voitures de ce type immatriculées en
2011.\index{taux}
	\end{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution moyen annuel entre 2009 et 2011, exprimé en pourcentage et
arrondi à 0,01\,\%.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au
centième.\index{ajustement affine}
		\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 2,5x + 102,6$.
		
Tracer cette droite sur le graphique figurant en annexe.
		\item À l'aide de ce modèle, estimer les indices du nombre de voitures neuves équipées d'un moteur diesel immatriculées en 2012 et en 2013.
	\end{enumerate}
\item Le tableau ci-dessous donne le nombre d'immatriculations de voitures neuves (exprimé en
milliers) équipées d'un moteur diesel de 2009 à 2013.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
Année &2009 &2010 &2011 &2012 &2013\\ \hline
Nombre d'immatriculations (en milliers)&\np{1597,7}& \np{1555,4}& \np{1558,2}& \np{1354,9}& \np{1182,2}\\ \hline
Indice $y_i$, base 100 en 2001& 126,0& 122,7& 122,9&& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Faut-il remettre en question l'estimation faite à la question 3. c. ?
		\item Si la tendance observée sur le tableau entre 2011 et 2013 se poursuit, combien de
voitures neuves équipées d'un moteur diesel devront être immatriculées en 2015?
Expliquer la démarche entreprise.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}   

\medskip

Une entreprise fabrique des bouteilles en verre. La production quotidienne, exprimée en tonnes,
varie entre 0 et 10.

Pour l'entreprise, le coût correspondant à la fabrication de $x$ tonnes de bouteilles, exprimé en
milliers d'euros, est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~~10] par :
\[f(x) = 0,5 x^3 - 4x^2 + 20x + 72.\]\index{fonction polynôme}

On a représenté ci-dessous la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan.

\begin{center}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.025cm}
\begin{pspicture}(-1,-20)(10,410)
\multido{\n=0.0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,400)}
\multido{\n=0+10}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(10,410)
\uput[r](0,405){Coût total (en milliers d'euros)}
\uput[u](7.4,0){Production (en tonnes de bouteilles)}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 0.5 mul x dup mul 4 mul sub 20 x mul add 72 add}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, par lecture graphique, le coût correspondant à la fabrication d'une tonne de
bouteilles.\index{lecture graphique}
\item Déterminer, par lecture graphique, la production de bouteilles correspondant à un coût de
fabrication de 130~milliers d'euros.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On appelle coût moyen la fonction $C_M$ définie sur l'intervalle $]0~;~10]$ par :

\[C_M(x) = \dfrac{f(x)}{x}.\]


\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $C_M$, notée $C_M'$.\index{dérivée}
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~10]$,\: $C_M'(x)$ peut s'écrire 

\[C_M'(x) = \dfrac{(x - 6)\left(x^2 + 2x + 12\right)}{x^2}.\]

\item Justifier que $C_M'(x)$ est du signe de $x - 6$ pour $x$ variant dans l'intervalle $]0~;~10]$ et en déduire le tableau des variations de la fonction $C_M$.
\item Déterminer la production de bouteilles correspondant à un coût moyen minimal.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'entreprise vend ses bouteilles de verre au prix de 40 milliers d'euros la tonne.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $B$ la fonction bénéfice, exprimée en milliers d'euros. Montrer que l'expression de $B(x)$ sur l'intervalle [0~;~10] est :

\[B(x) = -0,5x^3 + 4x^2 + 20x - 72.\]

\item Calculer le bénéfice associé à une production de 6,5~tonnes.
\item Que pensez-vous de l'affirmation \og le bénéfice est maximal lorsque le coût moyen est
minimal \fg ? Justifier la réponse.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}

\textbf{Exercice 2}

\vspace{0.5cm}

\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&Effectif&Taux d'évolution annuel\\ \hline
2010&250&\\ \hline
2011&225&\\ \hline
2012&202&\\ \hline
2013&182&\\ \hline
2014&164&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{Annexe Exercice 3}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(12,150)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,140)}
\multido{\n=0+10}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(12,150)
\psdots(0,100)(1,106.8)(2,106.8)(3,109.9)(4,112.7)(5,112.6)(6,120.3)(7,124.9)(8,126)(9,122.7)(10,122.9)
\uput[u](8,0){Nombre d'immatriculations (en milliers)}
\uput[r](0,145){Indice (base 100 en 2001)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}