\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox,graphicx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx,multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.3cm, right=3.3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STMG},
pdftitle = {Métropole--La Réunion 7 septembre 2015},
allbordercolors = white}
\usepackage[frenchb]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies du management et de la gestion}  
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG   Métropole--La Réunion 7 septembre 2015~\decofourright}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,3cm}
 
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de  la qualité de la rédaction   dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,3cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}   

\medskip

Cet exercice est composé de deux parties indépendantes l'une de l'autre.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un conservatoire de musique propose deux parcours à ses élèves: un parcours diplômant et un
parcours loisir. On observe que 40\,\% des élèves choisissent le parcours diplômant.
Parmi ceux qui ont sélectionné le parcours diplômant, 30\,\% choisissent de faire partie d'un
orchestre. Parmi les élèves ayant choisi le parcours loisir, 25\,\% choisissent de faire partie d'un orchestre.

On sélectionne un élève de ce conservatoire au hasard.

On note:

\setlength\parindent{0.6cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$D$ l'évènement : \og L'élève sélectionné a choisi le parcours diplômant. \fg
\item[$\bullet~~$]$L$ l'évènement : \og L'élève sélectionné a choisi le parcours loisir. \fg
\item[$\bullet~~$]$O$ l'évènement : \og L'élève sélectionné a choisi de faire partie d'un orchestre. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant :\index{arbre}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$~}\taput{0,4}}
	  { 
		  \TR{$O$}\taput{0,3}
		  \TR{$\overline{O}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$L$~}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$O$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{O}$}\tbput{\ldots}
	  }
}

\end{center}
\item  Définir par une phrase l'évènement $D \cap O$ et calculer sa probabilité.\index{probabilités}
\item  Déterminer la probabilité de l'évènement $O$.
\item  On choisit au hasard un élève faisant partie d'un orchestre. Quelle est la probabilité,
arrondie au millième, qu'il suive un parcours diplômant?
\end{enumerate} 
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Pour le concert de fin d'année, l'auditorium du conservatoire dispose de $400$ places réservées
aux parents d'élèves. On s'intéresse au nombre $X$ de parents d'élèves assistant au concert de fin
d'année dans l'auditorium. 

On estime à $0,75$ la probabilité que chacun des $500$ parents d'élèves
assiste au concert. On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $500$ et $0,75$.\index{loi binomiale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance de $X$.
\item Déterminer la probabilité que le nombre de places réservées aux parents d'élèves soit
suffisant. On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}   

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre
réponses sont proposées et une seule est correcte.\\
Relever sur votre copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est attendue.\\
Une réponse correcte rapporte un point; une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

Entre 2004 et 2014, le SMIC (Salaire Minimum Interprofessionnel de Croissance) mensuel brut
est passé de \np{1154}~\euro{} à \np{1445}~\euro.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Selon une étude, le loyer moyen d'un studio en 2014 à Bordeaux est de 470~\euro. Quel
pourcentage du SMIC (arrondi à 0,1\,\%) cela représente-t-il ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}40,7\,\%&\textbf{b.~~} 4,7\,\%&\textbf{c.~~} 32,5\,\%&\textbf{d.~~} 3,07\,\%
\end{tabularx}
\medskip

\item Quel est le taux d'évolution du SMIC (arrondi à 0,1\,\%) entre 2004 et 2014 ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}18,8\,\%&\textbf{b.~~} 2,91\,\%&\textbf{c.~~} 20,1\,\%&\textbf{d.~~} 25,2\,\%
\end{tabularx}
\medskip

\item Quel est le taux d'évolution annuel moyen du SMIC (arrondi à 0,1\,\%) entre 2004 et 2014 ?\index{taux}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 2,3\,\%&\textbf{b.~~} 25,2\,\%&\textbf{c.~~} 1,4\,\%&\textbf{d.~~} 2,5\,\%
\end{tabularx}
\medskip

\item Entre 2013 et 2014, le SMIC a augmenté d'environ 1\,\%. En supposant que cette évolution
annuelle se poursuive dans les cinq prochaines années, quelle serait la valeur du SMIC
mensuel brut en 2019 (arrondie à l'euro) ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\np{1517}~\euro&\textbf{b.~~} \np{1450}~\euro&\textbf{c.~~} \np{2327}~\euro&\textbf{d.~~} \np{1519}~\euro
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip

Après une décision collective, les copropriétaires d'un immeuble votent la réalisation de travaux
sur la façade du bâtiment.

\bigskip

\textbf{Partie A : la facture}

\medskip

Recopier et compléter la facture suivante, reçue par la copropriétaire Madame M.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.73\linewidth}{|X|r|X|}\hline
\textbf{Prestations}	& Prix hors taxe	& Prix T.V.A. incluse\footnote{La valeur de la T.V.A. sur ce type de travaux est de 10\,\%}\\ \hline
- Travaux sur la façade	& \np{5002}~\euro	&\ldots \ldots\\
- Autres prestations	&\ldots \ldots		&\ldots \ldots\\ \hline
\textbf{Total}			&\ldots \ldots  	&Total : \np{9152}~\euro\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\bigskip

\textbf{Partie B : l'épargne de Madame M.}

\medskip

Madame M. dépose le 1\up{er} juin 2015 un capital de \np{5000}~\euro, sur un compte non rémunéré. À partir du 1\up{er} juillet 2015, elle versera sur ce compte un montant égal à 2,5\,\% du capital du mois précédent.

Ceci conduit à modéliser la valeur du capital $n$ mois après le 1\up{er} juin 2015 par le terme $v_n$ d'une suite géométrique.\index{suite géométrique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le premier terme et la raison de la suite $\left(v_n\right)$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Le capital constitué le 1\up{er} juin 2017 sera-t-il suffisant pour payer à cette date la facture des travaux ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}   

\medskip

Un restaurateur ne sert au déjeuner que des plats du jour. Il cherche à estimer l'effet du prix de
ce plat sur le nombre de ses clients à partir du tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix du plat du jour en euros 	$x$	& 7& 9 &11 &13 &15\\ \hline
Nombre de clients $y$				&82&78 &65 &41 &20\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude statistique}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement du nombre
de clients $y$ en fonction du prix $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.\index{ajustement affine}

On donnera la valeur exacte des coefficients.
\item Dans la suite du problème, on décide de modéliser le nombre $y$ de clients en fonction du prix $x$ par l'expression $y = -8 x + 146$.
	\begin{enumerate}
		\item D'après ce modèle, calculer le nombre de clients si le restaurateur fixe le prix du plat du jour à 12~\euro.
		\item D'après ce modèle, à combien le restaurateur doit-il fixer le prix du plat du jour pour espérer attirer 100 clients ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Optimisation de la recette}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse à la recette réalisée par ce restaurateur sur son plat du jour.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données du tableau du début de l'exercice, déterminer la recette réalisée
par le restaurateur pour un prix du plat du jour fixé à 13~\euro.
\item On note $f$ la fonction qui, au prix $x$ du plat du jour en euros, associe la recette du jour $f(x)$ en euros. On admet que $x$ appartient à l'intervalle [6~;~16].
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la modélisation de la question 2 de la partie A, montrer que

		\[f(x) = - 8x^2 + 146x.\]
		
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.\index{dérivée}
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [6~;~16].
		\item Quel prix (arrondi au dixième d'euro) le restaurateur doit-il fixer au plat du jour pour que la recette soit maximale ? Combien sert-il de plats du jour dans ce cas ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}