\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-tree,pstricks-add}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,25cm}
\textheight 25.cm
\topmargin -2cm 
\headheight15 mm
\headsep 5 mm
\footskip 10 mm
\textwidth 165 mm
\oddsidemargin -15 mm
\evensidemargin -15 mm
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{11 septembre 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Métropole 11 septembre 2014~\decofourright}\\\textbf{STMG}} 
\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chacune des quatre questions, une et une seule des réponses proposées est exacte.\\
 Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. \\
 Chaque bonne réponse rapporte un point.\\
Aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou pour une absence de réponse.\\
Aucune justification n’est attendue.}
 
 \medskip
 
En 2012, le prix d’un litre de carburant était de 1,40~\euro.
 
Ce prix a connu une augmentation de 3\,\% entre 2012 et 2013.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le prix d’un litre de carburant en 2013 était alors de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 1,82~\euro& \textbf{b.~~} 1,442~\euro &\textbf{c.~~} 1,43 ~\euro&\textbf{d.~~} 4,40~\euro
\end{tabularx}
\medskip

\item Ce prix augmente à nouveau de 10\,\% entre 2013 et 2014.

 Entre 2012 et 2014, le prix a globalement augmenté de :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}13\,\% &\textbf{b.~~} 13,3\,\%& \textbf{c.~~}43\,\%&\textbf{d.~~} 11,33\,\%
\end{tabularx}
\medskip
\item On prévoit que, sur la période 2014 – 2016, le prix du litre de carburant va augmenter globalement de 12,36\,\%.

Le taux d’évolution annuel moyen sur cette période sera alors de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 6\,\% &\textbf{b.~~}  6,18\,\% &\textbf{a.~~}  3,52\,\% &\textbf{d.~~}  3,09\,\%
\end{tabularx}
\medskip
\item  En supposant que, durant les quatre années précédant 2012, le prix d’un litre de carburant a augmenté de 5\,\% par an, le prix d’un litre de carburant en 2008, au centime près, était de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 1,14~\euro&\textbf{b.~~}   1,20~\euro&\textbf{c.~~}  1,12~\euro&\textbf{d.~~} 
 1,15~\euro
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.\\
Les résultats des probabilités seront donnés sous forme décimale.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un magasin vend des appareils électroménagers. Une enquête statistique sur ses clients a montré que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 10\,\% des clients achètent un réfrigérateur ;
\item[$\bullet~~$]  parmi les clients qui achètent un réfrigérateur, 30\,\% achètent aussi un four à micro-ondes ;
\item[$\bullet~~$]  parmi les clients qui n’achètent pas de réfrigérateur, 15\,\% achètent un four à micro-ondes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard un client du magasin.

On considère les évènements $R$ et $M$ suivants :

$R$ : \og le client achète un réfrigérateur \fg

$M$ : \og le client achète un four à micro-ondes \fg.

Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ l’évènement contraire de $E$ ; si de plus $F$ est un évènement de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de l’évènement $E$ sachant que $F$ est réalisé.

\medskip

￼\parbox{0.7\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les valeurs de $p(R),\, p_R(M)$ et $p_{\overline{R}}(M)$.
		\item Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci- contre.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Définir, à l’aide d’une phrase, l'évènement
$R \cap M$.
		\item Calculer la probabilité de l’évènement $R \cap M$.
		\item Montrer que la probabilité qu’un client choisi au hasard achète un four à micro-ondes est égale à $0,165$.
		\item Calculer la probabilité qu’un client choisi au hasard n’achète pas de réfrigérateur sachant qu’il a acheté un four à micro-ondes. On arrondira le résultat au millième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
￼\parbox{0.24\linewidth}{
\psset{unit=1.2cm}
\pstree[linecolor=red,treemode=R,nodesep=3pt,levelsep=2cm]{\Tr{}} 
{ 
\pstree{\Tr{$R$}\taput{\ldots}} 
	{\Tr{$M$} \taput{\ldots}
	\Tr{$\overline{M}$} \tbput{\ldots}} 
\pstree{\Tr{$\overline{R}$}\tbput{\ldots}}
	{\Tr{$M$} \taput{\ldots}
	\Tr{$\overline{M}$}\tbput{\ldots}} 
}
}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un produit de nettoyage conditionné dans des flacons est aussi vendu par le magasin.

Le volume de produit contenu dans un flacon, en millilitres (mL), est modélisé par une variable aléatoire $V$. On admet que $V$ suit une loi normale d’espérance $250$ et d’écart type $5$.

Pour procéder à un contrôle, on prélève un flacon au hasard dans le stock du magasin.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité que le volume de produit contenu dans le flacon prélevé soit compris entre 240~mL et 260~mL.
\item Donner la probabilité que le volume de produit contenu dans le flacon prélevé soit inférieur ou égal à 240~mL.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

On s'intéresse à la population d'une ville et on étudie plusieurs modèles d’évolution de cette population.

En 2013, la population de la ville était de \np{15000}~habitants.

\medskip

\textbf{Partie A - Étude de deux modèles d’évolution}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Hypothèse 1}

\medskip

En analysant l’évolution récente, on fait d’abord l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de \np{1000}~habitants par an.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’habitants pour l’année $2013 + n$. On a ainsi $u_0 = \np{15000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Que représente $u_1$ ? Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n \right)$ ? Justifier.
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n,\, u_n$ en fonction de $n$.
		\item Selon ce modèle, quelle devrait être la population en 2018 ?
		\item Selon ce modèle, en quelle année la population devrait-elle atteindre \np{30000}~habitants ?
	\end{enumerate}	
\item \textbf{Hypothèse 2}
	
\medskip

On fait à présent l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de 4,7\,\% par an.

Le nombre d’habitants pour l’année $(2013 + n)$ est modélisé par le terme $v_n$ d’une suite géométrique. Ainsi $v_0  = \np{15000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs des termes $v_1$ et $v_2$ arrondies à l’unité.
		\item Déterminer la raison de la suite $\left(v_n \right)$ ?
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n,\, v_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer, selon ce modèle, le nombre d’habitants de la ville en 2028.
		\item En examinant l’évolution de villes comparables à celle que l’on étudie ici, des experts ont estimé que sa population allait augmenter de 50\,\% en 15 ans. Le résultat trouvé à la question précédente est-il en accord avec les prévisions des experts ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip
	
\textbf{Partie B - Analyse des résultats sur tableur}

\medskip

On utilise un tableur pour comparer l’évolution de la population suivant les deux modèles. Les cellules sont au format \og nombre à zéro décimale \fg.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline
1&Année&2013&2014&2015&2016&2017&2018&2019&2020\\ \hline
2&Rang&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline
3&Population selon l’hypothèse 1&\np{15000}&&&&&&&\\ \hline
4&Population selon l’hypothèse 2&\np{15000}&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3, pour obtenir, par recopie vers la droite, les termes successifs de la suite $\left(u_n \right)$ pour $n$ variant de 1 à 7 ?
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C4, pour obtenir, par recopie vers la droite, les termes successifs de la suite $\left(v_n \right)$ pour $n$ variant de 1 à 7 ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle [4~;~16] par :

\[f(x) = - x + 20 - \dfrac{64}{x}.\]
 
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x$ de l’intervalle [4~;~16],  on a  :

\[f’(x) =\dfrac{64 - x^2}{x^2}.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le tableau de signes de $f’$ sur l’intervalle [4~;~16] est :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2)
\psframe(7,2)
\psline(0,1)(7,1)
\psline(1,0)(1,2)
\uput[u](0.5,1.2){$x$} \uput[u](1.15,1.2){4} 
\uput[u](4,1.2){8}  \uput[u](6.7,1.2){16} 
\uput[u](0.5,0.2){$f’(x)$} \uput[u](2.5,0.2){+} 
\uput[u](4,0.2){0} \uput[u](6,0.2){$-$} 
\end{pspicture}
\end{center}

		\item  Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l’intervalle [4~;~16].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise produit et commercialise entre 4 et 16 tonnes d’engrais par jour.

On admet que toute sa production est vendue.

Le bénéfice total (exprimé en centaines d’euros) réalisé pour une production de $x$ tonnes d’engrais, est modélisé à l’aide de la fonction $B$ définie par :

\[B(x) = - x^2 + 20x - 64.\]

\begin{enumerate}
\item En étudiant les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle [4~;~16], déterminer la production permettant de réaliser un bénéfice total maximal.
Quel est ce bénéfice total ?
\item Le bénéfice unitaire pour une production de $x$ tonnes d’engrais est donné par $\dfrac{B(x)}{x}$.

Le bénéfice total et le bénéfice unitaire sont-ils maximaux pour la même production d’engrais ? On pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.
\end{enumerate}
\end{document}