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%Tapuscrit : Pierre-Alexandre Fournié et Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies du management et de la gestion}  
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
\label{Metropole}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Métropole--La Réunion 16 juin 2016~\decofourright}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,3cm}
 
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de  la qualité de la rédaction   dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,3cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des quatre
questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Pour chaque question,
indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse
choisie. \\Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point.
Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur [0~;~6] dont la
dérivée est notée $f'$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3) \psline(0,2)(10,2) \psline(0,2.5)(10,2.5)
\psline(2.5,0)(2.5,3)
\uput[u](1.25,2.4){$x$} \uput[u](2.6,2.4){$0$} \uput[u](5,2.4){$1$} \uput[u](7.5,2.4){$4$} \uput[u](9.85,2.4){$6$}
\uput[u](1.25,1.9){Signe de $f'(x)$}\uput[u](3.75,2){$-$} \uput[u](5,2){$0$} \uput[u](6.25,2){$+$}
\uput[u](7.5,2){$0$} \uput[u](8.75,2){$-$}
\rput(1.25,1){Variations de $f$}\uput[d](2.65,2){10}\uput[u](5,0){4,5}\uput[d](7.5,2){18}\uput[u](9.7,0){$- 8$}
\psline{->}(3,1.5)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7,1.5)  \psline{->}(8,1.5)(9.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $4$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y = 18x$&\textbf{b.~~} $y = 0$ &\textbf{c.~~} $y = 18$ &\textbf{d.~~} $y = 4$
\end{tabularx}
\medskip\index{lecture graphique}

\item Une expression possible de $f'(x)$, pour tout $x \in [0~;~6]$, est :\index{dérivée}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = - 3x^2 + 15x - 12$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = 3x^2 - 15x + 12$\\
\textbf{c.~~} $f'(x) = - 3x^2 - 15x - 12$ &\textbf{d.~~} $f'(x) = 3x^2 + 15x + 12$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un test d'aptitude est évalué sur $100$ points. Il faut obtenir au moins $60$~points pour le réussir.

Le score d'un candidat est modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale
d'espérance $\mu = 66$ et d'écart type $\sigma$ inconnu.\index{loi normale}

La probabilité, pour un candidat pris au hasard, d'obtenir un score compris entre $60$ et $72$
points est égale à $0,95$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les valeurs ci-dessous, la plus proche de $\sigma$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 3 &\textbf{b.~~} 6 &\textbf{c.~~} 5 &\textbf{d.~~} 9
\end{tabularx}
\medskip

\item  Pour réussir le test, il faut obtenir $60$ points ou plus. La probabilité pour un candidat
d'échouer à ce test est de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,9 &\textbf{b.~~} 0,1 &\textbf{c.~~} 0,05 &\textbf{d.~~} 0,025
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}   

\medskip

Une entreprise automobile produit l'ensemble de ses véhicules électriques sur deux sites A
et B.

En 2015, la production annuelle a été de \np{95000} véhicules, répartie de la façon suivante :
\np{42000} véhicules sur le site A et \np{53000} véhicules sur le site B.

La direction décide de diminuer la production annuelle sur le site A au profit du site B, tout en
maintenant constante la production totale.

\begin{center}\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

Par rapport à 2015, le nombre de véhicules électriques produits sur le site A en 2016 a
diminué d'un certain nombre de véhicules électriques.

La direction décide de maintenir cette diminution jusqu'à une production nulle en 2027.
Pour tout entier $n$ compris entre $0$ et $12$ on note $u_n$ le nombre de véhicules électriques
produits sur le site A lors de l'année $2015 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après les données de l'énoncé, quelles sont les valeurs de $u_0$ et de $u_{12}$ si la
planification de l'entreprise est respectée ?
\item Pour satisfaire aux exigences de la direction, de combien de véhicules électriques
doit-on diminuer chaque année la production sur le site A ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Par rapport à 2015, le nombre de véhicules électriques produits sur le site B en 2016 a
augmenté de 5\,\%.

La direction décide de maintenir chaque année cette augmentation de 5\,\% par rapport à la
production de l'année précédente.

On modélise le nombre de véhicules électriques produits sur le site B à partir de 2015 par
une suite géométrique $\left(v_n\right)$.\index{suite géométrique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser son premier terme et sa raison.
\item Pour tout entier positif $n$, déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer le nombre de véhicules électriques produits sur le site B en 2016 et en
2017.
\item On donne l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline
Variables	&$v$ est un nombre réel\\
			&$k$ est un nombre entier\\ \hline
Traitement	& $v$ prend la valeur \np{53000}\\
			&$k$ prend la valeur $0$\\
			&Tant que $v < \np{95000}$\\
			&\hspace{0,5cm}$v$ prend la valeur $v \times 1,05$\\
			&\hspace{0,5cm}$k$ prend la valeur $k + 1$\\
			&Fin Tant que\\
			&Afficher $k$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Interpréter le nombre $k$ affiché en sortie.
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip

Le tableau ci-dessous indique la quantité de gaz à effet de serre émise annuellement en France entre 2004 et 2011. Cette quantité est exprimée en million de tonnes et arrondie au centième.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \small}l|*{8}{>{\centering \small \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009 	&2010 	&2011 \\ \hline
Rang de l'année: $x_i$ 	&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 \\ \hline
Quantité émise: $y_i$ 	&557,21 &558,78 &546,98 &537,66 &532,85 &509,25 &516,45 &490,01 \\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source: Agence Européenne de l'Environnement}}
\end{tabularx}

\medskip
Le but de l'exercice est de prévoir la quantité émise en 2016 à partir de deux modélisations différentes.

Les parties A et B sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une représentation graphique du nuage de points $(x_i~;~y_i)$ est donnée en annexe 1, à rendre avec la copie.

On décide de modéliser cette évolution par un ajustement affine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine du nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
\item Dans la suite du problème, on décide d'ajuster le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ par la droite $D$ d'équation $y = - 9,5x + 574$.\index{droite d'ajustement}

Construire la droite $D$ sur le graphique donné dans l'annexe 1.
\item En utilisant l'ajustement de la question précédente, quelle quantité de gaz à effet de serre émis en France peut-on prévoir pour l'année 2016?
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
Déterminer le taux d'évolution global, exprimé en pourcentage et arrondi au centième, entre 2004 et 2011, de la quantité de gaz à effet de serre émise en France.\index{taux}
\item Justifier alors que la baisse annuelle moyenne d'émission de gaz à effet de serre sur cette période, arrondie au centième, est égale à 1,82\,\%.
\item On fait l'hypothèse que les émissions de gaz à effet de serre continuent de baisser annuellement de 1,82~\%. Selon cette hypothèse, quelle devrait être la quantité de gaz à effet de serre, exprimée en million de tonnes et arrondie au centième, émise en France en 2016 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}   

\medskip

Une agence lance une campagne publicitaire sur une durée de 15 semaines, dans une ville donnée, afin de promouvoir une nouvelle marque de boissons gazeuses.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude montre qu'après $x$ semaines de campagne publicitaire, le pourcentage de personnes résidant dans cette ville ayant pris connaissance de la marque est donné par l'expression

\[f(x) = \dfrac{75x}{x+2}\]

où $x$ est un réel compris entre 0 et 30.

La courbe représentative de $f$ est fournie en annexe 2.

L'objectif fixé à l'agence par l'entreprise qui produit cette nouvelles marque de boissons est qu'au moins 70~\% des habitants de la ville aient pris connaissance de cette marque.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Peut-on affirmer qu'après 10 semaines de publicité, l'objectif fixé est atteint ?

Justifier la réponse.
\item Déterminer graphiquement le nombre de semaines nécessaires pour que le pourcentage d'habitants ayant pris connaissance de la marque passe de 50~\% à 60~\%.\index{lecture graphique}

On laissera apparents les tracés utiles.
\item On note $f'$ la dérivée de $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~15]$,\index{dérivée}

\[f'(x) = \dfrac{150}{(x + 2)^2} \]

\item En utilisant le signe de sa dérivée, déterminer les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~15]$.

\item Après ces 15 semaines de campagne, l'agence demande un délai supplémentaire.

Justifier cette demande.

\item Combien de semaines supplémentaires seront nécessaires à l'agence pour atteindre l'objectif fixé par l'entreprise ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on admet que 20~\% des consommateurs ayant pris connaissance de cette nouvelle marque sont prêts à acheter la boisson et que 96~\% des personnes ignorant cette marque jusqu'ici ne l'achèteront pas.

Après 3 semaines de publicité, on interroge un habitant de la ville au hasard.

On note $C$ et $A$ les évènements :

\begin{itemize}
\item $C$ : \og l'habitant connaît la marque de boisson \fg
\item $A$ : \og l'habitant est prêt à acheter la boisson \fg
\end{itemize}

\medskip
\emph{Dans les questions suivantes, pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$ et $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En utilisant les informations de la partie A, justifier que $p(C) = 0,45$ puis recopier et compléter sur la copie l'arbre donné ci-dessous.\index{arbre}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
	{
\pstree{\TR{$C$~} \taput{\ldots}}
		{
		\TR{$A$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
		}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~} \tbput{\ldots}}
		{
		\TR{$A$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
		}		
	}
\end{center}

\item Déterminer la probabilité qu'un habitant ait pris connaissance de cette nouvelle marque de boissons et soit prêt à l'acheter.\index{probabilités}
\item Justifier que $p(A) = 0,112$.
\item Le résultat précédent permet de formuler l'hypothèse qu'après 3 semaines de campagne publicitaire, 11,2~\% des habitants de cette ville sont prêts à acheter la nouvelle marque de boisson de l'entreprise. L'agence de publicité décide de tester la validité de cette hypothèse.

Elle interroge un échantillon de $500$ habitants de la ville pris au hasard. Parmi eux, $44$ se disent effectivement prêts à acheter cette nouvelle boisson.

Au regard de ce sondage, peut-on rejeter, au risque de 5~\%, l'hypothèse formulée ci-dessus. Justifier la réponse.\index{intervalle de fluctuation}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Annexe 1, exercice 3}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,44)(13.1,60.1)
\savedata{\volume}[{1,557.21},{2,558.78},{3,546.98},{4,537.66},{5,532.85},{6,509.25},{7,516.45},{8,490.01}]
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,subgridcolor=gray](0,45)(13,60)
\psset{yunit=0.1cm}
\psaxes[linewidth=1.2pt,labelFontSize=\scriptstyle,Oy=450,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{-}(0,450)(0,450)(13,600)[Rang de l'année,140] [Quantité émise (en millions de tonnes),-40]
\dataplot[plotstyle=dots,showpoints=true,dotstyle=x,dotsize=10pt]{\volume}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\textbf{Annexe 2, exercice 4}

\bigskip

\begin{center}
\psset{yunit=0.15cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-1,-6)(11.5,80)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,subgridcolor=gray,gridwidth=0.15pt](0,0)(11,75)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(11,75)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{75*x/(x+2)}
\uput[d](9.5,-3){Nombre de semaines}
\uput[r](0,77){Pourcentage de personnes}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}