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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Sciences et technologies du management et de la gestion}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat STMG   Métropole \decofourright\\17 juin 2014 }}
\end{center}
    
\vspace{0,3cm}
 
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de  la qualité de la rédaction   dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,3cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}   

\medskip

Un parc d'attractions est ouvert au public de 9~h à 21~h. 
La courbe $C$ donnée ci-dessous représente l'évolution du nombre de visiteurs attendus durant une journée

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-1,-25)(14,550)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=8,Dy=50](0,0)(14,500)
\multido{\n=0.0+0.5}{29}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,500)}
\multido{\n=0+25}{21}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\uput[u](13,0){heure de la journée}
\uput[r](0,525){Nombre de visiteurs}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{1}{13}{x 8 add 232 mul x 8 add  dup mul 8 mul sub 1282 sub}
\end{pspicture}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier le tableau suivant et le compléter avec la précision permise par le graphique ci-dessus.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Heure de la journée&11 h&12 h\\ \hline 
Nombre de visiteurs attendus&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item Quel est le taux d'évolution, en pourcentage arrondi à 0,1\,\%, du nombre de visiteurs attendus entre 11 heures et 12 heures ?
	\end{enumerate} 
\item Lorsque le nombre de visiteurs est supérieur ou égal à 300, un fond musical est diffusé par les haut-parleurs du parc.
 
Un touriste aimerait faire la visite en profitant du fond musical.
 
Quels horaires peut-on conseiller à ce touriste pour se rendre au parc d'attractions ? 
\item La courbe $C$ ci-dessus est la représentation graphique sur l'intervalle [9~;~21] de la fonction $f$ définie par 

\[f(x) = - 8x^2 + 232x - \np{1282}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les nombres de visiteurs attendus à 11~h et à 12~h. 

Comment peut-on expliquer les éventuels écarts avec les résultats de la question 1. a. ? 
		\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. 
		\item En déduire, par le calcul, l'heure à laquelle le nombre de visiteurs attendus est maximal, et donner la valeur de ce maximum.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}   

\medskip
 
Dans une ville, on estime qu'à partir de 2013, le nombre de voitures électriques en circulation augmente de 12\,\% par an.
 
Au 1\up{er} janvier 2013, cette ville propose 148~places de parking spécifiques avec borne de recharge. La commune prévoit de créer chaque année 13 places supplémentaires.
 
La feuille de calcul ci-dessous doit rendre compte de ces données.
 
Les cellules sont au format \og nombre à zéro décimale \fg. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline 
1&Date&1\up{er} janvier 2013&1\up{er} janvier 2014&1\up{er} janvier 2015&1\up{er} janvier 2016 &1\up{er} janvier 2017&1\up{er} janvier 2018&1\up{er} janvier 2019\\ \hline
2&Nombre de voitures électriques &100& 112&&&&&\\ \hline 
3&Nombre de places spécifiques&148& 161&&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Préciser une formule qui, entrée en cellule C2, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir le contenu des cellules de la plage C2 : H2. 
\item Déterminer le pourcentage global d'évolution du nombre de voitures électriques en circulation entre 2013 et 2016, arrondi à 0,1\,\%. 
\item Soit $n$ un entier naturel. Le nombre de voitures électriques en circulation au 1\up{er} janvier de l'année $(2013 + n)$ est modélisé par le terme $V_{n}$ d'une suite géométrique.
 
Ainsi $V_{0} = 100$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la raison de la suite $\left(V_{n}\right)$. 
		\item Préciser l'expression de $V_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer $V_{8}$ et $V_{9}$ arrondis à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Préciser une formule qui, entrée en cellule C3, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir le contenu des cellules de la plage C3 : H3. 
\item Soit $n$ un entier naturel. On note $P_{n}$ le nombre de places de parking spécifiques au 1\up{er} janvier de l'année $(2013 + n)$. Ainsi $P_{0} = 148$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$\: :\: $P_{n} = 13n + 148$. 
		\item En quelle année le nombre de places de parking spécifiques dépassera-t-il pour la première fois $250$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
En utilisant les parties A et B, déterminer l'année à partir de laquelle on peut prévoir que le nombre de places de parking spécifiques sera insuffisant.
 
La méthode employée pour répondre à cette question devra être expliquée. 

\newpage
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}   

\medskip
 
Albert est un marin participant à une course à la voile en solitaire. Son bateau est très rapide, mais fragile en cas de tempête.
 
Les prévisions météo permettent d'estimer que, durant la course, la probabilité qu'une tempête survienne est égale à $0,05$. 

En cas de tempête, on estime que la probabilité qu'Albert soit vainqueur de la course est de $0,02$. En revanche, si aucune tempête ne survient, la probabilité de victoire d'Albert est de $0,8$.
 
Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.
 
On considère les évènements : 

\begin{description}
\item[ ] $T$ : \og une tempête survient pendant la course\fg 
\item[ ] $V$ : \og Albert est vainqueur de la course \fg.
\end{description}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant les données de l'énoncé, reproduire et compléter l'arbre ci-dessous : 

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$T$}\taput{0,05}}
	  { 
		  \TR{$V$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{V}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{T}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$V$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{V}$}\tbput{\ldots}	  
	  }
}
\end{center}

\item Quelle est la probabilité de l'évènement: \og Une tempête survient et Albert est vainqueur de la course \fg{} ? 
\item Montrer que la probabilité qu'Albert remporte la course est égale à $0,761$. 
\item Calculer la probabilité qu'une tempête soit survenue sachant qu'Albert a gagné la course.
 
On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}   

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
Pour chacune des cinq questions, une et une seule des réponses proposées est exacte.\\ 
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou pour une absence de réponse.\\ 
Aucune justification n'est demandée.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Après réalisation d'une enquête, on estime que le temps en minutes, consacré quotidiennement par un élève à faire ses devoirs scolaires, est une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale, d'espérance $60$ et d'écart type~$15$.
 
L'allure de la courbe de densité de cette loi normale est représentée ci-dessous. 

L'égalité $P(X \leqslant 40) = \np{0,0912}$ est illustrée graphiquement. 


\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=300cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-10,-0.002)(125,0.027)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.005,xsubticks=4,ysubticks=5](0,0)(-10,-0.002)(125,0.027)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{120}{0.398942 2.71828 x 60 sub 15 div   dup mul   2 div exp div 15 div}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{40}{0.398942 2.71828 x 60 sub 15 div   dup mul   2 div exp div 15 div}
\psline(40,0)(0,0)}
\rput(20,0.008){\np{0,0912}}
\psline{->}(20,0.007)(30,0.002)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La probabilité qu'un élève consacre quotidiennement plus de $80$~minutes à faire ses devoirs scolaires est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} \np{0,0912}& 
\textbf{b.~~} \np{0,8076}& 
\textbf{c.~~} 0,8 &
\textbf{d.~~} \np{0,9088}
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item La probabilité qu'un élève consacre quotidiennement moins d'une heure à faire ses devoirs scolaires est :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,5& 
\textbf{b.~~}0,6& 
\textbf{c.~~} 1& 
\textbf{d.~~} \np{0,1368}
\end{tabularx}
\end{center}
 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans un lycée, on a noté l'évolution du nombre d'élèves possédant un téléphone portable avec accès à Internet.
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item Entre 2011 et 2012, ce nombre a augmenté de 20\,\% ; 
\item Entre 2012 et 2013, ce nombre a baissé de 25\,\%.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution global entre 2011 et 2013 est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $- 5$\,\% &\textbf{b.~~}$- 10$\,\% &\textbf{c.~~}45\,\% &\textbf{d.~~}0,9\,\% 
\end{tabularx}
\end{center} 
\item Le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2013, arrondi à $0,1$\,\% , est: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,9\,\%& 
\textbf{b.~~} $- 2,5$\,\%& 
\textbf{c.~~} $- 5,1$\,\%& 
\textbf{d.~~} $- 5$\,\%
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On procède à un contrôle technique de $100$ scooters constituant un échantillon représentatif des scooters circulant dans une ville.
 
$27$ de ces scooters sont déclarés en mauvais état.
 
À partir de ce résultat, on souhaite estimer la proportion de scooters en mauvais état circulant dans la ville.
 
Un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95$\,\%, pour la proportion de scooters en mauvais état dans la ville est :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} [0,26~;~0,28] &\textbf{b.~~} [0,2~;~0,3]& 
\textbf{c.~~} [0,17~;~0,37]& \textbf{d.~~} [0,27~;~0,95] 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}