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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies du management et de la gestion}  
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{18 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Métropole--La Réunion 18 juin 2015~\decofourright}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,3cm}
 
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de  la qualité de la rédaction   dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,3cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip

Tous les ans, en août, Maïlys reçoit l'échéancier (document indiquant le montant de sa cotisation annuelle)  de sa mutuelle \og complémentaire santé \fg. Elle décide d'étudier
l'évolution de sa cotisation de 2011 à 2014.
 
Elle note dans une feuille automatisée de calcul le montant en euros de ses cotisations
annuelles de 2011 à 2014.
 
La ligne 4 est au format pourcentage à une décimale.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.8cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 						&B 		&C 		&D 			&E 		&F &G\\ \hline
1	&						&		&		&			&		&	&\\ \hline
2	& Année 				&2011 	&2012 	&2013 		&2014	&	&\\ \hline
3	& Cotisation (en euros)	& 868 	&976	&\np{1072}	& \np{1177}&	&\\ \hline
4	& Taux d'évolution annuel (en \%)&		&	&9,8	&9,8	&	&\\ \hline
5	&						&		&		&			&		&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution global de sa cotisation entre 2011 et 2014, exprimé en
pourcentage et arrondi à 0,1\,\%.\index{taux}
\item Quelle formule Maïlys a-t-elle pu saisir dans la cellule C4 pour y obtenir le taux
annuel d'évolution de 2011 à 2012, puis par recopie vers la droite jusqu'à la cellule
E4, les taux d'évolution annuels successifs jusqu'en 2014 ?
\item Montrer que le taux d'évolution moyen annuel de la cotisation de 2011 à 2014,
arrondi à 0,1\,\%, est de 10,7\,\%.
\item On fait l'hypothèse que la cotisation annuelle augmentera chaque année de 10,7\,\% à
partir de 2014.
	\begin{enumerate}
		\item Estimer le montant, arrondi à l'euro, de la cotisation annuelle prévue pour
2015.
		\item Déterminer en quelle année la cotisation annuelle aura doublé par rapport à
celle de 2011. Justifier la réponse.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}   

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

La série statistique à deux variables suivante décrit la superficie certifiée de production
biologique exprimée en hectares (ha) en France de 2004 à 2009 : $y_i$ est la superficie pour
l'année $2003 + x_i$.

Remarque: on ne dispose pas de données pour l'année 2005.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2004 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline
$x_i$& 1 &3 &4 &5 &6\\ \hline
$y_i$&468 &500 &497 &502 &526\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\scriptsize \emph{Source des données : Eurostat}}
\end{tabularx}
\end{center}

Le graphique donné en annexe représente le nuage de points associé à cette série.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $y$
en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.\index{ajustement affine}

Les coefficients seront arrondis à l'unité.
\item Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe.
\item Estimer la superficie totale consacrée à l'agriculture biologique en France en 2011,
arrondie à l'hectare.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

L'étude a également permis d'obtenir les données suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2010 	&2011 	&2012\\ \hline
$x_i$					&7 		&8 		&9\\ \hline
Superficie (en ha) $y_i$&572 	&701 	&856\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\scriptsize \emph{Source des données : Eurostat}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Placer les points associés aux données de ce tableau sur le graphique donné en
annexe.
\item Que peut-on dire de la validité de l'ajustement précédent ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Les données précédentes permettent de montrer que la superficie certifiée de production
biologique a augmenté de 22\,\% par an entre 2010 et 2012. 

On fait l'hypothèse que ce taux reste constant dans les cinq années suivantes.

On note $u_0$ la superficie certifiée de production biologique en hectares en France en 2012 et,
pour tout entier $n$, $u_n$ la valeur estimée par ce modèle de la superficie certifiée de production biologique en hectares en France en $2012 + n$. Ainsi $u_0 = 856$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables	&$k$ est un entier\\
			&$u$ est un réel\\ \hline
Entrée 		&Affecter à $u$ la valeur 856\\ \hline
Traitement 	&Pour $k$ allant de 1 à 5\\
			&Affecter à $u$ la valeur $1,22 \times u$\\
			&Afficher $u$\\
			&FinPour\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Interpréter les résultats affichés par l'algorithme.
\item Estimer la superficie certifiée de production biologique en hectares en France en
2017.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}   

\medskip
 
Les trois parties sont indépendantes
 
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour entrer dans un parc aquatique, il y a deux modes de paiement possibles :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item à distance par Internet;
\item sur place aux caisses du parc.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Le responsable marketing réalise une enquête auprès des visiteurs pour mesurer la part des
ventes de billets par Internet. Il distingue deux catégories de visiteurs : ceux qui résident
dans le département d'implantation du parc et ceux qui résident dans un autre département.

À l'issue de l'enquête le  responsable constate que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 35\,\% des visiteurs résident dans le département,
\item parmi les visiteurs résidant dans le département, 55\,\% ont  acheté leur billet aux caisses du parc ;
\item parmi les  visiteurs résidant dans un autre département, 80\,\% ont acheté  leur billet sur Internet.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On interroge au  hasard un visiteur présent dans le parc.

On note $C$ et $D$ les évènements :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $C$ : \og le visiteur a acheté son billet d'entrée aux caisses du parc \fg ;
\item $D$ : \og le visiteur réside dans le département d'implantation du parc \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est un évènement de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité conditionnelle de $E$ sachant $F$.\index{probabilités}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les probabilités $p(D)$ et $p_D(C)$.
		\item Compléter l'arbre de probabilités donné en annexe.\index{arbre}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire mathématiquement l'événement \og le visiteur ne réside pas dans le
département d'implantation du parc et a acheté son billet par Internet \fg, puis
calculer sa probabilité.
		\item Le directeur affirme qu'il est nécessaire de restructurer le site Internet car moins des trois-quarts des visiteurs achètent leur billet en ligne. Que pensez-vous de
cette affirmation ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une des attractions du parc, une descente de type rafting dans des bouées géantes, attire
beaucoup de visiteurs.

Les normes de sécurité imposent que le bassin d'arrivée contienne un volume d'eau compris
entre 150 et 170 m$^3$ d'eau. Chaque soir, à la fermeture du parc, l'équipe de maintenance
effectue des vérifications et décide, ou non, d'intervenir. Le volume d'eau (exprimé en m$^3$)
contenu dans le bassin, à la fin d'une journée d'exploitation de cette attraction, est modélisé
par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d'espérance $\mu = 160$ et d'écart type
$\sigma = 5$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(150 \leqslant X \leqslant 170)$.
		\item En déduire la probabilité que l'équipe de maintenance soit obligée d'intervenir
pour respecter les normes de sécurité.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que l'équipe de maintenance soit obligée, pour respecter les
normes, de rajouter de l'eau dans le bassin à la fin d'une journée d'ouverture?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour le repas du midi, les visiteurs restant toute la journée dans le parc peuvent :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item soit déjeuner dans l'un des restaurants du parc;
\item soit consommer, sur une aire de pique-nique, un repas qu'ils ont apporté.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La direction souhaite estimer la proportion $p$ de visiteurs déjeunant dans l'un des restaurants
du parc.

Un sondage est effectué à la sortie du parc : $247$ visiteurs parmi $625$ ont déjeuné dans l'un
des restaurants du parc.

Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion $p$ de
visiteurs déjeunant dans l'un des restaurants du parc.\hyperlink{Index}{*}
 
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}   

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chacune des cinq questions,  une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat
recopiera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune  justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse
n'enlève pas de point.\\
Les deux parties sont indépendantes.}\index{Q. C. M.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $C$ ci-dessous est la représentation d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~ 36].

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.005cm}
\begin{pspicture}(-2,-50)(36,1500)
\multido{\n=0+1}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1500)}
\multido{\n=0+100}{16}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(36,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=200](0,0)(0,0)(36,1500)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{36}{x 3 exp 0.2 mul x dup mul 14.41 mul sub 259.04 x mul add 30 add}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{36}{x 3 exp 0.13 mul  x dup mul 13.2 mul sub 259 x mul add 50 add}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{36}{993.5 87.6 11 x sub mul   2.71828 x exp div sub }

\psplot[plotpoints=4000]{0}{9}{120 x mul 390 add}
\psplot[plotpoints=4000]{0}{35.4}{1150 32.6 x mul sub}
\rput(2,700){$T_1$}\rput(2,1120){$T_3$}
\psline(0,1410)(36,1410)
\psdots(5,990)(12,1410)(33.5,53)
\uput[u](5,990){A}\uput[u](12,1410){B}\uput[dl](33.5,85){D}
\uput[u](34,1410){$T_2$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

A est le point de la courbe $C$ d'abscisse 5, B celui d'abscisse $12$ et D celui d'abscisse $33,5$.

$T_1$ est la tangente à la courbe $C$ au point A, $T_2$ celle au point B et $T_3$ celle au point D.\index{lecture graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'image de 12 par la fonction $f$ est environ

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0 &\textbf{b.~~} $760$ &\textbf{c.~~} \np{1410} &\textbf{d.~~} \np{1900}
\end{tabularx}
\medskip

\item  $f'(5)$ est environ égal à

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- 30$&\textbf{b.~~} 125&\textbf{c.~~} $- 125$&\textbf{d.~~}  1,25
\end{tabularx}
\medskip

\item   L'une des quatre courbes  suivantes représente la fonction dérivée de $f$. Laquelle ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} Courbe A&\textbf{b.~~} Courbe B\\
\psset{xunit=0.135cm,yunit=0.0075cm}
\begin{pspicture}(-5,-150)(36,300)
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-150)(\n,300)}
\multido{\n=-150+50}{10}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(36,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-150)(36,300)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](0,0)(5,130)(10,205)(15,250)(20,260)(25,262)(30,270)(36,300)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{36}{x 3 exp 0.02 mul x dup mul 1.34 mul sub 32.36 x mul add}
\end{pspicture}
&
\psset{xunit=0.135cm,yunit=0.0075cm}
\begin{pspicture}(-5,-160)(36,300)
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-150)(\n,300)}
\multido{\n=-150+50}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(36,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-150)(36,300)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{36}{x 3 exp 0.09 mul x dup mul 5.52 mul sub 90.45 x mul add 200 sub}
\end{pspicture}
\\
\textbf{c.~~} Courbe C&\textbf{d.~~} Courbe D\\
\psset{xunit=0.135cm,yunit=0.0075cm}
\begin{pspicture}(-5,-160)(36,300)
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-150)(\n,300)}
\multido{\n=-150+50}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(36,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-150)(36,300)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{36}{x dup mul 0.63 mul 29.74 x mul sub 263 add}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=0.135cm,yunit=0.0075cm}
\begin{pspicture}(-5,-150)(36,300)
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-150)(\n,300)}
\multido{\n=-150+50}{10r}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(36,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-150)(36,300)
\psline[linecolor=cyan](0,-50)(36,102)
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\end{enumerate}
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur [0~;~36] par :

\[g(x) = 0,2 x^3 - 14,4x^2  + 259,2x + 295,2.\]

\begin{enumerate}
\item La fonction dérivée $g'$ de $g$ sur [0~;~36] est définie par :\index{dérivée}

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $g'(x) = 0,5x2 - 28,8x + 259,2$&\textbf{b.~~}$g'(x) = 0,6x^2 - 28,8x + 259,2$\\
\textbf{c.~~} $g'(x) = 0,6x^2 - 28,8x + 554,4$&\textbf{d.~~} $g'(x) = 0,2x^2 - 144x + 554,4$
\end{tabularx}

\item Le maximum de $g$ sur [0~;~36] est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{a.~~}  295,2&\textbf{b.~~}  \np{1677,6}&\textbf{c.~~} 12&\textbf{d.~~} 36
\end{tabularx}\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe prendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\bigskip

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.0275cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(16,700)
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,700)}
\multido{\n=0+10}{71}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=300,Dy=100](0,0)(16,700)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1,168)(3,200)(4,197)(5,202)(6,226)
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{Annexe prendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{3cm}
{\Large
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=2cm,levelsep=4cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~}\taput{\ldots}}
	{\TR{$C$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~}\taput{\ldots}}
	{\TR{$C$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{\ldots}
	}
}
}
\end{center}
\end{document}